高中数学空间几何体的表面积与体积知识总结+练习

1、.空间几何体的表面积与体积知识框架高考要求空间几何体的表面积与体积要求层次重难点球、棱柱、棱锥的表面积和体积a了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）例题精讲板块一：空间几何体的表面积（一） 知识内容1直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半，其中为底面边长，为斜高；，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；精品.3正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；，

2、其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；4球面面积等于它的大圆面积的四倍，为球的半径1除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来2要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化5柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；6棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；7台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；8球的体积：，为球的半径对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的祖暅原理：幂势相同，

3、则积不容异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：长方体的体积；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；精品.利用两个

4、锥体做差可得台体的体积公式（二）典例分析： 【例1】 轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积 【例2】 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积【例3】 已知圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长【例4】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积【例5】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为，则三棱锥的全面积是多少？【例6】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为，则三棱锥的全面积是多少？【例7】 平面截球得到半径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的

5、表面积是（ ）精品.a b c d【例8】 正方体全面积为，求它的外接球和内切球的表面积【例9】 将一个边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为 【例10】 正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长【例11】 正四棱台的斜高为，侧棱长为，侧面积为，求棱台上、下底的边长【例12】 正三棱台中，已知，棱台的侧面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，为棱台的斜高，求上底面的边长【例13】 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）a b c d【例14】 棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截

6、得的线段长为（ ）a b c d【例15】 如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中）精品.圆锥的侧面展开图是半径为的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积【例16】 圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长【例17】 圆台的内切球半径为，且圆台的全面积和球面积之比为，求圆台的上，下底面半径（）【例18】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为求圆锥的表面积【例19】 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面

7、积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是 【例20】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【例21】 正四面体棱长为，求其外接球和内切球的表面积【例22】 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为【例23】 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 【例24】 若，两点在半径为2的球面上，且以线段为直径的小圆周长为，则此球的表面积为_，两点间的球面距离为_精品.【例25】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）a b c d【例26】 球面上有三点，组成这个球的一个截面的内接三

8、角形三个顶点，已知球的半径为，且，两点的球面距离为，两点及，两点的球面距离均为，球心到这个截面的距离为，求球的表面积【例27】 设圆锥的底面半径为，高为，求：内接正方体的棱长；内切球的表面积【例28】 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（）a b c d【例29】 一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为、若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（）abcd【例30】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）abcd精品.【例31】 已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为

9、、，设四面体的表面积为，则等于（ ）abcd【例32】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）a1bcd2【例33】 已知球的表面积为，球面上有、三点如果，则球心到平面的距离为（ ）a1bcd2【例34】 棱长为1的正方体被以为球心，为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）a b c d【例35】 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【例36】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为 【例37】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_【例38】 若一个正

10、三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）ab cd精品.【例39】 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 【例40】 如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）a b c d的大小关系不能确定【例41】 如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）abcd，的大小关系不能确定板块二：空间几何体的体积

11、（一） 知识内容1柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；2棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；3台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；4球的体积：，为球的半径对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的祖暅原理：幂势相同，则积不容异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡

12、瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年精品.课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：长方体的体积；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；利用两个锥体做差可得台体的体积公式（二）典例分析： 【例1】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为的正四面体的体积是_；【例2】 已知正六棱台的上，下底面边长分别为和，高为，则其体积为_【例3】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长

13、为，则球的表面积和体积的比为_【例4】 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点，连结，则三棱锥的体积（ ）abcd【例5】 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 【例6】 已知三棱台中，高求三棱锥的体积精品.求三棱锥的体积求三棱锥的体积【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为角，则此三棱柱的体积为（ ）ab cd 【例8】 在体积为的斜三棱柱中，是上的一点，的体积为3，则三棱锥的体积为（ ）a1 b c2 d3【例9】 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点，连结，则三棱锥的体积（ ）abcd【例10】 正三棱柱内接于

14、半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 【例11】 在体积为的球的表面上有三点，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为 【例12】 若三棱柱的一个侧面是边长为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）精品.a b c d【例13】 平行六面体中，在从点出发的三条棱上分别取其中点，则棱锥的体积与平行六面体体积的比值为_【例14】 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）a b c d【例15】 如图，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，那么 【例16】 求球

15、与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比（等边圆锥是指轴截面是等边三角形的圆锥）【例17】 如图，在四边形中，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积【例18】 如图所示，已知等腰梯形的上底，下底，底角，现绕腰旋转一周，求所得的旋转体的体积精品.【例19】 在中，（如图所示），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）a bc d【例20】 在体积为的球的表面上有，三点，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为 【例21】 图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球，求证：在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的【例22】 正

16、四棱锥的底面边长与各侧棱长都为，点、都在同一球面上，则该球的体积为_精品.【例23】 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为【例24】 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【例25】 如图，在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与，分别截于、，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分别是，则必有（ ）a b c d的大小关系不能确定【例26】 如图，在长方体中，分别过，的两个平行截面将长方体分成三部

17、分，其体积分别记为，若，则截面的面积为 精品.【例27】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形求该几何体的体积；求该几何体的侧面积【例28】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _【例29】 如图，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图） 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大 【例30】 设、是球面上的四个点，且在

18、同一平面内，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）a b c d【例31】 如图所示，正四面体的外接球的体积为，求四面体的体积精品.【例32】 已知正三棱锥，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为，底面边长为，内接正三棱柱的侧面积为求正三棱柱的高；求正三棱柱的体积；求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比【例33】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_【例34】 将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值

19、为（ ）abcd【例35】 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）有下列四个命题：a正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半b将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点c任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点d若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【例36】 给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图

20、1、图2中，并作简要说明；精品.试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明【例37】 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）a个b个c个d无穷多个【例38】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 【例39】 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ） abcd【例40】 球

21、的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）a b1 c2 d3【例41】 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）a b12a2c18a2d24a2【例42】 直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ）精品.a5 b15 c25d125【例43】 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离，求该球的表面积与体积【例44】 已知一个球的直径为，一个正方体的棱长为，如果它们的表面积相等，则（ ） a 且 b 且 c 且 d 且【例45】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可

22、得这个几何体的体积是_【例46】 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积【例47】 已知正三棱锥的侧面积为18 cm，高为3cm 求它的体积【例48】 如图，在等腰梯形中，为的中点，将 与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积（ ） 精品. ab c d【例49】 已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，求正四棱锥的全面积与体积【例50】 将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积【例51】 正三棱柱侧面的一条对角线长为，且与底面成角，求此三棱柱的体积【例52】 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离

23、，求该球的表面积与体积【例53】 如图，在等腰梯形中，为的中点，将 与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积（ ） 精品. ab c d【例54】 正六棱锥中，为的中点，则三棱锥与三棱锥体积之比为（ ）ab cd【例55】 如图，体积为的大球内有个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）a bc d【例56】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，那么这个球的体积为_【例57】 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）abcd 精品.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高养路处拟建一个更大的圆锥形仓