2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版.pptx

1、3.2.2复数代数形式的乘除运算,1.掌握复数代数形式的乘除运算. 2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.,1.复数代数形式的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法运算法则. 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,dR). (2)复数乘法的运算律. 对于任意z1,z2,z3C,有,名师点拨1.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并. 2.实数范围内整数指数幂的运

2、算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数n,m,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n,【做一做1-1】 已知复数z1=2+i,z2=1-i,则z=z1z2在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:因为z=z1z2=(2+i)(1-i)=3-i, 所以它所对应的点位于第四象限. 答案:D 【做一做1-2】 (4-2i)2=. 解析:(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i. 答案:12-16i,2.共轭复数的概念 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共

3、轭复数 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 【做一做2】 若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,yR,则x=,y=.,答案:-11,3.复数代数形式的除法运算法则 复数的除法法则是:,归纳总结在进行复数的除法运算时,通常先把(a+bi)(c+di),A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限,答案:D,1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则? 剖析(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除法法则一致. (2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)两个复数的乘除可以推广到多个复数进行乘除法运

4、算.,温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集中不一定成立.如: (1)当zR时,|z|2=z2;当zC时,|z|2R而z2C,所以|z|2=z2不一定成立,也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的必要不充分条件.,2.如何理解共轭复数?,(2)几何特征:互为共轭复数的两个复数的对应点关于实轴对称; 代数特征:互为共轭复数的两个复数的虚部互为相反数,实部相等. (3)一个重要性质.,知识拓展共轭复数的性质:设z=a+bi(a,bR),则,3.虚数单位i的幂值的周期性. 剖析虚数单位i的幂值具有以下性质: (1)若nN*,则i4n+1=i,i4n+2=-

5、1,i4n+3=-i,i4n=1. (2)若nN*,则in+in+1+in+2+in+3=0.,题型一,题型二,题型三,复数代数形式的乘除运算 【例1】 计算下列各题:,分析:按照复数的乘法与除法的运算法则进行计算. 解:(1)(3+2i)(-2-4i)+(5-2i)2 =(-6-12i-4i+8)+(25-20i-4)=23-36i.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.复数的乘法运算的技巧: (1)复数的乘法与实数多项式的乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可. (2)三个或三个以上的复数相乘,可按从左到右的顺序运

6、算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致. (3)在进行复数的乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如:(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等. (4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化运算. 2.复数的除法运算的技巧: (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数的除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 计算下列各题: (1)(1-i)(1+i)+(-1+i)

7、; (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;,解:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,共轭复数的概念,分析:设出z1,z2的代数形式化简A,B判断A,B是否同为实数结论 解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi) =

8、ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd.,=|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2, BR.故A与B可以比较大小.,题型一,题型二,题型三,方法二:z1,z2C, 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).,AR. 故A与B可以比较大小. 反思1.共轭复数是复数除法运算的基础. 4.若z0,且z+ =0,则z为纯虚数,利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.,题型一,题型二,题型三,解:z=1+i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i. a,b都是实数,故所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.,题型一,题型二,题型三,虚数单位i的幂的周期性 【例3】 计算:i+i2+i3+i2 018. 分析:可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简.,方法二:i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0, in+in+1+in+2+in+3=0(nN*). 原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012) +(i2 013+i2 014+i2 015