14 圆的基本性质教师2015暑假 初三数学培优进度一

1、第十四讲圆的基本性质【圆的基本概念】1 圆的概念：在平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，则另一端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆（circle）.固定的端点O 叫做圆心（centerof a circle），线段OP （ = r ）叫做半径（radius）.以点O 为圆心的圆，记O ”，读作“圆O ”.作“【推广】 （1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径 r ）.（2）到定点O 的距离等于定长 r 的所有点都在一个圆上.2 点与圆的位置关系：（1） 点 P 在O 上 OP = r .O 内 OP r .3 弧：圆上任意两点间的部分称为圆弧（arc），简称弧.用符号

2、“”表示.AB如右图所示，以 A 、 B 为端点的弧记作 AB ，读作“弧 AB ”.4 弦：连接圆上任意两点间的线段，如图中的 AB 、CD ，叫做弦（chord），经过圆心的弦叫做直径（diameter）.DCO同圆中：（1）半径相等；（2）直径等于半径的 2 倍.（1） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（2） 大于半圆的弧（一般用三个字母表示，如图中的 ACB ）叫做优弧.（3） 小于半圆的弧（如图中的 AB 、 AC 或 BD ）叫做劣弧.（4） 由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形，如右图中弦 AB 分别与 AB 及 ACB 组成的两个不同的弓形.5 圆心角：

3、顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle）. 如图AOB.6 圆周角：顶点在圆周上的角叫做圆周角（angle in a circular segment）. 如图ACB.A7 定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半.（会证明）B8 弦心距：弦到圆心的距离. 推论：在同（等）圆中，等弦所对的弦心距相等.O9 同（等）圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等.C【思考】同（等）圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，如果某一组相等，是否能得到其余各组量都相等？【答案】能.10圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆.【垂径定理】1 定理 1（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且

4、平分这条弦所对的两条弧.CBAOD【思考】如果直径平分弦，那么“直径垂直于弦，且直径平分弦所对的弧”能否成立？【答案】成立.DCDB ；如图，在O 中， AB = CD ， AD 、 BC 相交于点 E .求证：（1） DABD【例题1】（2） OE 平分AEC .BD解： AB = CD AB + BD = BD + CD AD = BC AD = BC EACAB = CD DABD DCDBOAB = CD B DBD = BD GHECAO（2）作OG AO, OH BCAD = BC DG = OHOE = OE RtDOGE RtDOHE OEG = OEHG = H = RtD如

5、图，O 是 DABC 的外接圆， AE 平分 DABC 的外角 DAC ， OM AB ，【例题2】ON AC ，垂足分别是点 M、N ，且OM = ON .求证：（1） AE / /BC ；（2） AO AE .OM = ONDAE AB = AC B = C0 OMA = ONA = 90NMODAC = B +C DAC = 2B = 2CDAC = 2DAEDBECADAE = B AE / /BC（2）可证.MNOBCRtDOAM DRtOAM 1 = 2 AO BC AO AEAB = AC AE / /BC 【例题3】【例题3】如图，已知 AB、CD 是O 的弦，且 AB = C

6、D ， OM AB ， ON CD ，垂足分别是点 M 、 N ， BA 、 DC 的延长线交于点 P .PA = PC .1求证：BMA证：由题意， AM =AB21POCNCN =CD, 且 AB = CD AM = CND2PO = POAB = CD OM = ON PM = PN PA = PCOMP = ONP = 900AB 与弦CD 平行， AB = 6, CD = 8 ，求 AB 与CD 之间的距O 的半径长为 5，弦【例题4】已知EBA离.CDFO解：如图一， BE = 4, OF = 3 ，距离= OE + OF = 7EABO如图二：距离= OE -OF =1（题目不给

7、图）DCF【例题5】如图所示，点 P 为O 弦 AB 的中点，PC OA ，垂C .求证： PA PB = AC OA .足为BP解：原题即：P 为 AB 中点，OP ABPA PA = AC OABPAOCAOC即证明 PA2 = AC AO易证： DPAC DOAP如图所示，已知O 直径为 10，弦 AB = 6, P 为 AB 上一动点，求OP 的取值范围.【例题6】解：作OP1 AB 于 P1OABP可得OP =OA2 - AP2 = 4 4 OP 511【例题7】如图所示，已知以点O 为圆心的两同心圆，大圆弦 AB 交小圆于C 、 D 两点.（1）求证： AC = BD ；（2）若

8、AB = 8 ， CD = 4 ，求圆环的面积.解：（1）同（6）题OA（2） CE = 2, AE = 4BCEDOE2 = OA2 - AE2 = OC 2 - CE 2OA2 -16 = OC 2 - 4 OA2 - OC 2 = 12 S = p (OA2 - OC 2 ) = 12pBACDDABC 中， AB = AC = 10, BC = 12 ，求其外接圆半径.【例题8】A（不给图）OBCDO 的直径 AB 和弦 CD 相 交 于 点 E ， 已 知【例题9】AE = 6cm ， EB = 2cm ， CEA = 30 ，求CD 的长.CFO EBAD【例题10】ABCD 是直

9、角梯形，以斜腰 AB 为直径作圆，交CD 于 E 、 F ，交 BC 于G ，求证：（1） DE = CF ；（2） AE = GF 【例题11】AB 是O 的直径，弦CD 与 AB 相交，过 A 、 B 向CD 引垂线，垂足分别为 E 、 F ，求证： CE = DF BOECDMFAO 的弦 AB 、 CD 互相垂直于 E ，且 AE = 5cm ， BE =13cm ， O 到 AB 的距离为【例题12】2 10cm ，求CD 到圆心O 的距离， O 到 E 的距离，及圆的半径DGOABECFDOGEBAFCO 的弦，从圆上任一点引弦CD AB ，作OCD 的平分线交O 于 P 点，【例

10、题13】已知 AB 为联结 PA 、 PB ，求证： PA = PB .COABDP【例题14】O 中， AB 为直径， CO AB ， D 是CO 的中点， DE / AB ，求证： EC = 2EA .CCABOBAOE DED【例题15】在DABC 中，ACB = 90 ，B = 25 ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交 AB 于 D ，求BAD 的度数.BDDACAC【例题16】已知 AD 为90 的弧， B 、C 将 AD 三等分，弦 AD 与半径OB 、OC 相交于 E 、 F .求证： AE = BC = FD .OAEFDCB【例题17】已知 AB 是O 的直径， M 、 N

11、分别是OA 、OB 的中点， CM 垂直于 AB ，CDDC求证： AC = BD .AOBNMAMBONO 是DABC 的外心， BOC = 130，求A 的度数.【例题18】AOBCA（不给图）【例题19】以O 的直径 BC 为边作等边 DABC ， AB 、BD = DE = EC .AAC 交O 于 D 、 E . 求证：AD EEDBCBCOO【例题20】如图，在O 中，弦 AB 、CD 垂直相交于 E ，求证： BOC + AOD = 180 .CABDEO【例题21】在O 中，半径OA 垂直于OB ，弦 AC 垂直于 BD 于 E ，求证： AD / /BC .DADAEOEOCCBB【作业1】求证：菱形四条边中点在对角线的交点为圆心的同一个圆上.O 的半径为4 ， AB = 6 ， CD = 2 ，求梯已知梯形 ABCD 内接于O ， AB / /CD ，【作业2】形 ABCD 的面积.DCEF OAB（不给图）如图，O 是等腰DABC 的外接圆， AB = AC ， D 是弧 AC 的中点， E 是 BA 延长线【作业3】上的点， EB / /CD ，已知EAC =144 ，求DAC 的度数，并证明四边形 ABCD 是等腰梯形.EA DOBC如图，在O 的弦 AB 上取 AC = BD