(03)第3章 用统计量描述数据.ppt

1、第 3 章 用统计量描述数据,3.1 水平的度量 3.2 差异的度量 3.3 分布形状的度量,July 30, 2010,哪名运动员的发挥更稳定?,在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运动员首先进行每组10抢共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决赛的8名运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击，再将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次 在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10枪的决赛成绩如下表,July 30, 2010,哪名运动员的发挥更稳定?,最会的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环夺

2、得金牌，预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利娅帕杰林娜以总成绩498.1环获得银牌，预赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮诺萨卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌，而预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫蒙赫珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名 由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得好的成绩，发挥的稳定性至关重要。那么，怎样评价一名运动员的发挥是否稳定呢？通过本章内容的学习就能很容易回答这样的问题,July 30, 2010,数据分布的特征,3.1 水平的度量 3.1.1 平均数 3.1.2 中位数和分位数 3.1.3 用哪个值代表一组数据？,第 3 章 用统计量描述数据,3.1.1 平均数,3

3、.1 水平的度量,July 30, 2010,平均数(mean),也称为均值，常用的统计量之一 消除了观测值的随机波动 易受极端值的影响 根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x,July 30, 2010,简单算数平均(Simple mean),设一组数据为：x1 ，x2 ， ，xn (总体数据xN),样本平均数,总体平均数,July 30, 2010,加权平均数 (Weighted mean),设各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,样本加权平均：,总体加权平均：,July 30, 2010,加权平均数

4、 (例题分析),July 30, 2010,加权平均数(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f ）：8 1 1,统计函数AVERAGE,3.1.2 中位数和分位数,3.1 水平的度量,July 30, 2010,中位数(median),排序后处于中间位置上的值。不受极端值影响,2. 位置确定,3. 数值确定,July 30, 2010,中位数的计算 (数据个数为奇数),【例】 9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 7

5、50 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,July 30, 2010,中位数的计算 (数据个数为偶数),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,统计函数MEDIAN,July 30, 2010,四分位数用3个点等分数据(quartile),排序后处于25%和75%位置

6、上的值,不受极端值的影响,July 30, 2010,四分位数的计算(位置的确定),定义算法,July 30, 2010,四分位数的计算 (数据个数为奇数),【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算) 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,统计函数QUARTILE,July 30, 2010,众数(mode),一组数据中出现次数最多的变量值 适合于数据量较多时使用 不受极端值的影响 一组数据可能没

7、有众数或有几个众数,统计函数MODE,3.1.3 用哪个值代表一组数据？,3.1 水平的度量,July 30, 2010,众数、中位数和平均数的关系,July 30, 2010,众数、中位数、均值的比较,July 30, 2010,众数、中位数、平均数的特点和应用,平均数 易受极端值影响 数学性质优良，实际中最常用 数据对称分布或接近对称分布时代表性较好 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时代表性接好 众数 不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时代表性较好,3.2 差异的度量 3.2.1 极差和四分位差 3.2.2 方差和标准差 3.2.3 比较几组数据的离

8、散程度： 离散系数,第 3 章 用统计量描述数据,July 30, 2010,怎样评价水平代表值？,假定有两个地区每人的平均收入数据，其中甲地区的平均收入为5000元，乙地区的平均收入为3000元。你如何评价两个地区的收入状况？ 如果平均收入的多少代表了该地区的生活水平，你能否认为甲地区的平均生活水平就高于乙地区呢？ 要回答这些问题，首先需要搞清楚这里的平均收入是否能代表大多数人的收入水平。如果甲地区有少数几个富翁，而大多数人的收入都很低，虽然平均收入很高，但多数人生活水平仍然很低。相反，乙地区多数人的收入水平都在3000元左右，虽然平均收入看上去不如甲地区，但多数人的生活水平却比甲地区高，原

9、因是甲地区的收入差距大于乙地区,July 30, 2010,怎样评价水平代表值？, 仅仅知道数据的水平是远远不够的，还必须考虑数据之间的差距有多大。数据之间的差距用统计语言来说就是数据的离散程度。数据的离散程度越大，各描述统计量对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。,甲,乙,3.2.1 极差和四分位差,3.2 差异的度量,July 30, 2010,极差(range),一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布 计算公式为：R = max(xi) - min(xi),July 30, 2010,四分位差(quartile devia

10、tion),也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差：Qd = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,25%,75%,3.2.2 方差和标准差,3.2 差异的度量,July 30, 2010,方差和标准差(variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值 反映各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s),July 30, 2010,样本方差和标准差 (sample variance and stand

11、ard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,July 30, 2010,总体方差和标准差 (Population variance and Standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,July 30, 2010,自由度 (degree of freedom),自由度的概念由统计学家R.A Fisher提出 是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差 从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若

12、样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k,July 30, 2010,自由度 (degree of freedom),样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 为什么样本方差的自由度为什么是n-1呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值x ，而x则是附件给离差平方和的一个约束，

13、因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,July 30, 2010,样本标准差 (例题分析),【例】计算计算9名员工的月工资收入的方差和标准差 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,方差,标准差,统计函数STDEV,July 30, 2010,标准分数(standard score),1. 也称标准化值 2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.可用于判断一组数据是否有离群点(outlier) 用

14、于对变量的标准化处理 均值等于0，方差等于1 计算公式为,July 30, 2010,标准分数(用于数据变换),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1,July 30, 2010,用SPSS对数据进行标准化,第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择 【Descriptive statistics - Descriptive 】 选项进入主对话框 第2步：在主对话框中将变量选入【Variables】， 然后选中【Save standardized values as variables】。

15、点击【OK】(SPSS会将标准化 后的变量以“Z”开头存放在原始变量工作表中),用SPSS对数据标准化,July 30, 2010,标准分数 (例题分析),July 30, 2010,经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,July 30, 2010,经验法则(例题分析), 9名员工月工资收入的经验法则,July 30, 2010,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这

16、时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少” 对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数,July 30, 2010,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality),对于k=2，3，4，该不等式的含义是 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内,3.2.3 比较几组数据的离散程度离散系数,3.2 差异

17、的度量,July 30, 2010,离散系数(coefficient of variation),1.标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为,July 30, 2010,离散系数 (例题分析),【 例 】评价哪名运动员的发挥更稳定,发挥比较稳定的运动员是塞尔维亚的亚斯娜舍卡里奇和中国的郭文珺，发挥不稳定的运动员蒙古的卓格巴德拉赫蒙赫珠勒和波兰的莱万多夫斯卡萨贡,3.3 分布形状的度量 偏态与峰态,第 3 章 用统计量描述数据,July 30, 2010,数据分布的形状偏态与峰态,偏态,峰态,

18、July 30, 2010,偏态(skewness), 统计函数SKEW,统计学家Pearson于1895年首次提出。是指数据分布的不对称性 测度统计量是偏态系数(coefficient of skewness) 2.偏态系数=0为对称分布；0为右偏分布；0为左偏分布 偏态系数大于1或小于-1，为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低 计算公式,July 30, 2010,峰态(kurtosis),统计学家Pearson于1905年首次提出。数据分布峰值的高低 测度统计量是峰态系数(coefficient of kurtosis) 峰态系数=0扁平峰度适中 峰态系数0为尖峰分布 计算公式, 统计函数SKEW,July 30, 2010,Excel中的统计函数,MODE计算众数 MEDIAN计算中位数 QUARTILE计算四分位数 AVERAGE计算平均数 HARMEAN计算简单调和平均数 GEOMEAN计算几何平均数 AVEDEV计算平均差 STDEV计