理论力学 第十六章 虚位移原理.ppt

1、,第十六章 虚位移原理,教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室,2,在静力学中，从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。 在本章里，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。,动力学,引 言,3,161 质点系的自由度 约束与广义坐标 162 虚位移和理想约束 163 虚位移原理 164 用虚位移原理求约束力 165 动力学普遍方程,第十六章 虚位移原理

2、,动力学,4,动力学,一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。,平面单摆,例如：,曲柄连杆机构,16-1质点系的自由度 约束与广义坐标,5,动力学,根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：,二、约束的分类,1、几何约束和运动约束,限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。,当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时，接触点的速度始终为零。,6,动力学,几何约束： 运动约束：

3、,当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。,2、定常约束和非定常约束,例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t,7,动力学,如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。,3、完整约束和非完整约束,

4、如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。,8,在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。 只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。,动力学,4、单面约束和双面约束,几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。,双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。,9,一个自由质点在空间的位置：（ x, y

5、, z ) 3个 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。 其自由度为 k=3n-s 。 例如, 前述曲柄连杆机构例子中, 确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程, (BY,OA,AB) 因此有一个自由度。,动力学,三 自由度和广义坐标,确定一个受完整约束的质点系的位置所需独立坐标的数目， 称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。,10,动力学,一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为,通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系

6、的位置，用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,广义坐标,11,动力学,例如1 ：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：,广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。,例如2：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。,两个自由度取广义坐标，,12,动力学,一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、

7、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,13,动力学,16-2虚位移和理想约束,一 虚位移 在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。,M,14,动力学,虚位移与真正运动时发生的实位移不同： 1）实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 2）实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 3）实位移是在一定的时间内发生的；虚

8、位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,15,动力学,质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法：,(一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即,因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。,(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为,16,动力学,例 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ),解：此为一

9、个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。,1、几何法,17,动力学,将C、A、B点的坐标表示成 广义坐标 的函数，得,2、解析法,对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：,18,动力学,如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。,质点系受有理想约束的条件：,二 理想约束,力 在质点发生的虚位移 上所作的功称为虚功， 记为 。,19,动力学,理想约束的典型例子如下：,1、光滑支承面,2、光滑铰链,3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动,FN,FN,20,动力学,16-3 虚位移原理,一、虚位移原理 具有定常

10、、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即：,解析式：,21,动力学,证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有,质点系处于平衡 选取任一质点Mi也平衡。,对质点Mi 的任一虚位移 ，有,由于是理想约束,所以,对整个质点系：,22,动力学,(2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。,在 方向上产生实位移 ，取 ，则,与前题条件矛盾,故 时质点系必处于平衡。,反证法：若 ，而质点系不平衡，则至少有 第i个质点不平衡。,23,动力学,1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；

11、3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；,二、虚位移原理的应用,关于求主动力之间的关系,解：几何法：以系统为研究对象，受的主动力图。给系统一组虚位移如图。,AB作平面运动，瞬心在 点，则,将以上关系代入前式得,由于 ，于是得,动力学,解法2：解析法。建立如图坐标。,由于,且,对上两式作变分，得,即,由于 ，于是得,动力学,例2杠杆系统如图，已知OA/OB=1/3，求此系统在主动力作用 下F1和压力F2作用下的平衡关系。,由虚位移原理得:,因虚位移在BC杆 上投影相等，故有,再由AB杆知,动力学,解析法：选取坐标如图， 并设BC=CD=l 则得：,由虚位移原理:,动力学,28,动力学,解：

12、这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标。,例3 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。,应用虚位移原理,解析法：,29,动力学,代入(a)式，得：,由于 是彼此独立的，所以：,由此解得：,例4 求图所示无重组合梁支座的约束力，,16-4 虚位移原理求约束反力,动力学,求解方法：解除约束原理：解除某些约束，取而代之的是相 应的约束力，并将这些约束力当成主动力看待，然后再按照 虚位移原理进行求解。,解：解除A处约束，代之 ，给虚位移，如图（b）,代入虚功方程,得,动力学,

13、32,动力学,1、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得虚功方程：,由 的任意性，得,练1 椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。,解：研究整个机构。系统所有约束都是完整、定常、理想的。,33,动力学,2、解析法 由于系统为单自由度， 可取为广义坐标。,由于 任意，故,练2 图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W 的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。,解：以系统为研究对象，建立如图的坐标。,系统受力有主动力 ，以及非理想约束的弹性

14、力 和 ，将其视为主动力。其弹性力的大小为:,主动力作用点的坐标及其变分为：,动力学,主动力在坐标方向上的投影为：,即,亦即,因 ，故,将F代入，化简得：,动力学,36,动力学,练3 多跨静定梁，求支座B处反力。,解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。,而：,解: 给虚位移,由图中关系有：,代入虚功方程得,练4 如图示机构，求M与F之间的关系？,动力学,用虚速度法:,用建立坐标,取变分的方法,有,解得,动力学,求:支座的水平约束力.,练5图示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直向上的力,动力学,解:解除B端水平约束,以力 代替,如图 (b),带入虚功方程,动力学,41,动力学,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点,1、正确选取研究对象：,小 结,42,动力学,2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确