线性代数教学资料线性代数14

1、,第十四次课,5.2相似矩阵 5.3实对称矩阵对角化（一）,目的要求： 1、理解相似矩阵的概念与性质 2、会利用相似矩阵解决简单问题,定义5.2:设A，B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵p，使p-1Ap=B 则称B是A的相似矩阵，或称A相似于B。 记作AB,5.2相似矩阵,一、基本概念,例如：,或AB,又取：,说明A的相似矩阵不唯一,p选得好，可使A与一个对角矩阵相似 若 则B的特征值为1,2,n,或A,其中为对角矩阵。,1、反身性：对任一方阵A，都有AA 证明：取p=I I-1AI=A AA 2、对称性：对于方阵A.B,若AB，则BA。 证明：若AB，则存在可逆阵p，使p-1Ap=B，从而有pB

2、p-1=A 令p-1=Q得 Q-1BQ=ABA 3、传递性：对于方阵A，B，C。若AB，BC，则AC。 证明：若AB，BC，则存在可逆阵p、Q 使p-1Ap=B Q-1BQ=C 而有 p-1Ap=QCQ-1 于是 Q-1p-1ApQ=C, (pQ)-1A(pQ)=C 令R=pQ 得R-1AR=C AC 性质1，2，3统称为等价律，相似关系满足等价律。 因此，相似关系也是等价关系。,二、性质,4、单位矩阵I的相似矩阵是其本身，数量矩阵aI的相似矩阵也是其本身。 5、若AB，则A，B有相同的多项式，从而有相同的特征值。,证明：由p-1Ap=B 有,推论1：若AB 则,（特征值相同，故积相同。） 相

3、似矩阵有相等的行列式,推论2：若AB 则R(A)=R(B) 相似矩阵的秩相等。 证明：由定义:p-1Ap=B 即A经过有限次初等变换可变为B，不改变秩。用类似的方法可证明：“乘可逆矩阵，秩不变”。可逆矩阵总可表示为若干初等矩阵的乘积。,定义5.4 n阶方阵A的主对角元素之和称为A的迹。 记为 tr(A)=a11 a22+ ann 推论3：相似矩阵的迹相等 即 若 AB 则 tr(A)=tr(B) 对于同阶方阵A，B，有 （1）tr(A+B)=tr(A)+tr(B) （2）tr(kA)=ktr(A) （3）tr(AT)=tr(A) （4）tr(AB)=tr(BA) （5）tr(ABC)=tr(B

4、CA)=tr(CAB) （6）若A的n个特征值为1,2,n，则 tr(A)=1+2+n,性质6：相似矩阵有相同的可逆性，且当它们可逆时，其逆也相似。 A-1B-1 证明：设AB 则 故A，B具有相同的可逆性，当A，B都可逆时，由 AB 从而 p-1Ap=B有 B-1=(p-1Ap)-1= p-1A-1p A-1B-1 性质7：相似矩阵的幂仍相似，即若 AB 则AkBk K为任意非负整数。,例1：试判断矩阵A，B是否相似？ 设,解：,A与B不相似 能否利用性质判断两矩阵是否相似？ 答案：只能由性质不成立，判断两矩阵不相似。,例2：设 且AB求x，y,解：AB 故,=-(y-x)2=0 x=y 又

5、由于AB A，B有相同的特征值，而B有一个特征值为1， 故,得x=0 故x=y=0,推论4：若为对角阵，且 A Ak k 即 Ak=p-1kp,推论5：若AB f(A)=a0I+ a1A+ akAk 则f(A)f(B) 特别地若,则 于是,例3：若A可逆，且AB 证明：AB 证明：已知A可逆， 且AB。,两边同乘,根据性质有 和A-1B-1从而有,性质8：若p-1A1p=B1 p-1A2p=B2 则有 （1）p-1(A1+A2)p=B1+B2 （2）p-1(A1A2)p=B1B2 （3）p-1(kA1)p=kB1,例4：已知AB，且A=A2 证明：B=B2 证明：AB 存在可逆矩阵p，使 B=

6、p-1Ap B2=(p-1Ap)(p-1Ap) =p-1A2p =p-1Ap =B,B=B2,例5：设A，B都是n阶方阵，且 证明：ABBA 证明： 故A可逆 对于AB 左乘A-1，右乘A A-1ABA=BA ABBA,例6：设A，B都是n阶方阵。 试证：若AB 则ATBT 证明：由已知存在可逆矩阵p， 使p-1Ap=B 故BT=(p-1Ap)T =pTAT(p-1)T,例7：设是n阶可逆矩阵A的一个特征值。 证明：（1） （2）,是A-1的特征值,是A的伴随矩阵,A的特征值。,证明：（1）是A的一个特征值,是A-1的一个特征值。,（2）是A的一个特征值。,是A的特征值。,例8：设A为n阶实矩

7、阵，满足AAT=I（I为单位矩阵） 试求A的伴随矩阵A的一个特征值。 证明：AAT=I AAT+A=I+A A(AT+I)=A+I,两边取行列式，得,=-1是A的一个特征值,又 A的一个特征值为1,5.3 实对称矩阵对角化（一）,目的要求： 1、了解方阵对角化条件 2、掌握实对称矩阵对角化 方法,若 则A可对角化,一、方阵对角化条件,定理5.2：n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明：设A为n个特征向量,即,即Ap=p,定理5.2同时给出了求p的方法 注：定理说明若能求出A的n个线性无关的特 征向量，则A可对角化；且对角阵主对角 元素恰好是特征向量依次对应的特征值。

8、推论1：若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则n阶方阵A必可对角化。 推论2：n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的k重特征根有k个线性无关的特征向量。,例9：判断下列矩阵是否可对角化？若 可对角化，求出p，使p-1Ap= （1） （2） （3）,解：（1）由特征方程,特征值1=4 2=-2由于特征值互异，A可对角化 对于 1=4 解齐次线性方程组,对于 得同解方程组x1=x2 令x2=1 得到特征向量,对于1=-2 解齐次线性方程组 对于 同解方程组,令 得到特征向量 令,（2）特征方程 特征值 1=2=-2（二重根） 3=4,对于1=2=-2 解齐次线性方程组 对于,同解方程组 x1=x2-x3,

9、R(-2I-A)=1于是基础解系中有两个线性无关的解向量 对于3=4 解齐次线性方程组,R(4I-A)=2,可得基础解系为 则,（3）由特征方程 特征值1=2=2（二重根） 3=1 对于1=2=2 解齐次线性方程组,对于,R(2I-A)=2 属于1=2=2的线性无关的特征向量的个数，应该等于对应齐次线性方程组的基础解系中所含向量的个数 即3-R(2I-A)=3-2=1不等于根的重数2 因此，方阵A不能对角化。,例10：已知 是矩阵 的一个特征向量。 （2）试说明矩阵A能否对角化,（1）试确定参数a，b及特征向量所对应的 特征值,解：（1）设是特征向量所对应的特征 值，则由定义,解得 =-1 a=-3 b=0,从而可得,（2）A能否对角化关键在于A是否有三个线性无关的特征向量 由特征方程,=33231(1)30 -1是A的三重根 因为特征方程组为 (-I-A)X=0的系数矩阵的秩 R(-I-A)=2 所以只能求得一个线性无关的特征向量。故A不能对角化。,例11：设 （1）判定A，B是否相似？ （2）若A，B相似， 求p,使得p-1Ap=B,解：（1）由特征方程 得A的特征值为1=2,2=1,3=-1 由,得B的特征值为1=2,2=1,3=-1 A，B均有三个互异的特征值，因此