信号09-3.ppt

1、3-1 信号的正交函数表示,一、矢量正交概念,则称这两个矢量正交。,1、平面空间：若矢量,2、三维空间：,第三章 连续信号频域分析,若矢量,3、n维空间：,若矢量,则称f1(t) 和f2(t)为正交函数。,二、正交函数：,若实函数f1(t) 和f2(t)在( t1 ，t2)上满足:,1、实变函数：,2、复变函数：,3、完备正交函数集：,n个复变函数fi(t) （i=1，n）在区间( t1，t2)上满足:,若f1(t) ， fn(t) 在区间( t1，t2)上为正交函数集，不再存在任意函数(t)与其正交。则f1(t) ， fn(t) 称为完备正交函数集。,定理1. 若f1(t) ， fn(t)

2、在区间( t1，t2)上为完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t)可用表示为：,三.用完备正交函数集表示任意信号,其中,定理2. 若f(t)可用完备正交函数集 f1(t) ， fn(t) 表示，则:,（Parserval定理）,物理意义：,一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。,1、三角交函数集:,四.常用完备正交函数集,( t0，t0 +T ),2、指数函数集:,( t0，t0 +T ),3、抽样函数集:,4、Walsh函数集:,( - ， ),( 0，1 ),一. 三角形式傅立叶级数:,直流分量,余弦分量幅度,正弦分量幅度,其

3、中：,3-2 周期信号傅立叶级数展开,周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成：,余弦形式,两种形式系数间的关系：,周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。,三角函数形式,例题：,求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。,解：,傅里叶级数展开式为：,基波,直流,谐波,二.指数形式傅立叶级数,周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件时，可展成：,其中：,(n0),(n0),系数与三角形式傅立叶级数的关系：,三周期信号对称性与傅里叶级数的关系,（1） f(t)为奇函数,对称于坐标原点,奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余 弦项为零，正弦项

4、不为零。,（2） f(t)为偶函数,对称于坐标纵轴,偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零， 直流分量和余弦项不为零。,波形移动T/2后，与原波形横轴对称。,f(t)的傅氏级数偶次谐波为零,奇次谐波：,（3）f(t)为奇谐函数,n=1,3,5,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零,（4）f(t)为偶谐函数,波形移动T/2后，与原波形重合。,偶次谐波：,n=0,2,4,四傅里叶级数的性质（第2版p83),1）,2）,3）,4）,5）,3-3 周期信号频谱,一、周期信号的频谱图,周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化的图形。,振幅频谱：描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。,相位频谱：描述

5、傅氏级数相位随频率变化的图形。,余弦形式：,指数形式：,单边频谱,双边频谱,1）,2）,例1：,请画出信号f（t）的幅度谱和相位谱。,【解】,化成余弦形式：,（单边频谱）,化成指数形式：,（双边频谱）,求图示周期信号的傅里叶级数展开式。,【解】,例2:：,：求图示冲激序列的付里叶级数展开式。,例3,本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。,二. 周期矩形脉冲的频谱,1）频谱的结构,(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性,(3) 其最大值在 n=0 处,2.频谱特点,例：语音信号频率约为 300 3400Hz 音乐信号频率约为 50 15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,0

6、00Hz,（5） 有效频谱宽度：第一个零频率。,（4） 存在使得Fn=0的频率。,占有频带,设f(t) E不变，不变，当周期变化时，频谱如何变化。,3.频谱随参数的变化,周期函数 非周期函数,（2）矩形脉冲信号的频带宽度：,离散频谱 连续频谱,（3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性,或,占有带宽与脉宽成反比,对于一般信号，频带宽度定义为幅值下降为,讨论：,定义：,4、周期信号的功率,计算：,例：求图示信号f(t)的功率。,【解】,3-3 非周期信号频域分析,一.频谱密度函数,单位频带上的频谱值,周期信号的傅氏级数：,周期信号的频谱：,（2）可写为：,令,则：,f(t)的频谱密度函数，简

7、称频谱函数。,周期信号 非周期信号,离散谱 连续谱，幅度无限小,（1）可写为：,令,则：,二. 傅立叶变换对,象函数,原函数,正变换：,反变换：,1、F(j)反映单位频率上幅值与相位分布情况， 故称频谱密度函数。,讨论：,2、 F(j)为复变函数,3、付氏变换存在的充分条件：,4、f(t)的分解,l任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续指数信号之和。,l任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续余弦信号之和。,l任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。,1、单边指数信号,三.典型非周期信号频谱函数,2、单位阶跃信号,3、偶双边指数信号,4、直流信号,5、奇双边指数信

8、号,6、符号函数信号,7、单位冲激函数,8、矩形脉冲信号,小结：,3-4 傅立叶变换的基本性质,一.线性性质,例：,若：,则：,二、折叠性,例1：,三、对称性,解：,（非常有用）,例2：,解：,例3：,解：,例：,解：,四、时频展缩性（尺度变换）,五、时移性,例：,六、频移性,例1：,解：,则有,则有：,解：,例2,十一.时域卷积定理,则有,十二.频域卷积定理,则有,时域卷积定理证明：,卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值。,（得证）,解：,例,七、时域微分性,例2：,八、时域积分性,例1：,解：,则有,则有,解：,例3,注意：当已知f

9、(t)的频谱求其微分后的频谱时可用微分性； 当已知f(t)微分后的频谱求f(t)频谱时用积分性。,九、频域微分性,例1：,十、 频域积分性,则有,则有,当f（0）=0时，,即求：,例2,解:,1）利用傅立叶变换定义求,2）利用微积分性质求,3）利用频域卷积定理求解,其中:,十三、帕塞瓦尔定理,推广：,意义： 能量守恒:信号时域能量等于频域能量。,解：,例1：,由Parserval定理可得：,3-5 周期信号的傅立叶变换,一、基本周期信号的傅立叶变换,二、单位冲激序列信号的傅立叶变换,三、任意周期信号的傅立叶变换,展为傅立叶级数：,解：方法1：,例：,方法2：,3-6 功率信号与能量信号的频谱,一、功率信号与能量信号,1、功率有限的信号称为功率信号,2、能量有限的信号称为能量信号，即,例：周期信号、部分非周期信号U(t)、Sgn(t)等信号;,例：G(t)、单个三角信号、 指数衰减信号等,二、 功率谱 ：,功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的功率,简称功率谱 。记为D().,周期信号：,( 功率谱 ）,三、 能量谱 ：,能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能量，简称能量谱 。记为G().,例1：,( 能量谱 ）,解：,本章要点：,1、了解信号