《数学物理方法》第十一章分离变量法

1、继续努力 坚持不懈 愉快学习,第十一章 分离变量法,本章前三节依次讨论直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中的分离变量法； 11.4节介绍施图姆一刘维尔本征值间题,它是分离变量法的理论基础.通过这一节的讨论,让我们从新的理论高度认识分离变量法,3,本章基本要求,掌握有界弦的自由振动解及其物理意义,着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题-本征值问题,掌握求解非齐次方程的本征函数展开法,掌握将非齐次边界条件齐次化的方法,4,分离变量法（本征函数展开法）:其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题,(1) 叠加原理：几种不同的原因的综合所产

2、生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理角度)叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学角度),(2) 分离变量法物理来源驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。 u1=A cos(t-kx)，u2=A cos(t+kx) u=u1+u2=2A cos(2t) cos(2kx) 时间变量与空间变量分离,5,驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性,(3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分

3、方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 (4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广),5,11.1 直角坐标系中的分离变量法,本节先讨论齐次方程及齐次边界条件的定解问题, 随后讨论对非齐次方程及非齐次边界条件的处理, 最后讨论高维的情形.,7,11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问题,首先通过实例说明用分离变量法解题的六个基本步骤. 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律. 解 定解问题为,1.分离变量 令 u(x,t)X(x)T(t) (11.1.4),8,泛定方程：,边界条件：,初始条件：,对于确定的频率，解是驻波：,研究两端固定的弦的自

4、由振动,定解问题,波腹,波节,每一点绕平衡位置振动,振幅随位置变化,驻波解：,这是解的分离变量,8,11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问题,9,x, t 是相互独立的变量,1、分离变量,代入波动方程,变量分离：,得出两个常微分方程：,代入边界条件：,9,把,得,公共常数：,10,(1),(2),(3),非零解,C2是积分常数,2、求解本征值问题,几种常用的常系数微分方程的解,12,附 录 几种常用的常系数常微分方程的解,(一)齐次方程 1方程 y- l2y 0 的通解, 将尝试解 y erx 代入方程得 r2 - l2 0 特征根为l， 将r l代入尝试解得方程的二个特解，其线性组合即

5、为通解 y c1elx+c2e-lx (1),13,2方程 y+ l2y 0 的通解有三种形式.将尝试解 y erx 代入方程得 r2 + l2 0 特征根为il，将r il 代入尝试解得方程的二个特解，其线性组合即为通解 y c1eilx+c2e-ilx (2) 利用尤拉公式 e士ilx coslx士 isinlx 代入(2)式，可得 y D1coslx + D2sinlx (3) 令D1 Esind 及 D2 Ecosd ，其中E及d为待定常数，则(3)式可写为 y E sin (lx + d) (4),14,3方程 y py qy 0 的特征方程为 r2 pr q 0 设它的根为r1,r

6、2，则 1)当r1 r2 (实根)时，通解为 y c1er1x+c2er2x (5) 2)当r1 r2 r(实根)时，通解为 y (c1+ c2x)erx (6) 3)当 r1 a + ib , r2 a - ib 时，通解为 y eax (c1cosbx + c2sinbx) (7),15,(二)非齐次方程 y py qy f(x) (8) 设 与(8)式相应的齐次方程 y py qy 0 的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解 y c1 y1(x), + c2y2(x) 与非齐次方程的特解之和,16,2常数变易法将c1 变为u(x), c2变为

7、v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9) 将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件 (uy1+vy2)+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)f(x) (10) 确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定u(x) , v(x)的条件,17,为此，对 y u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两边求导，得 y (u y1+ vy2) + (uy1+vy2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为零，即 uy1+ vy2 0 (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y

8、2(x)是齐次方程的解，即有 uy1+ vy2 f(x) (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出,18,uy1+ vy2 0 (12 ) uy1+ vy2 f(x) (13),19,uy1+ vy2 0 uy1+ uy1+ v y2 + vy2 0 uy1+ vy2 - (uy1+ v y2) (uy1+vy2)+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)f(x) (10) (uy1+vy2) (uy1+2uy1+ uy1) + (vy2+2vy2+ vy2) p(uy1+vy2) p(uy1+ uy1)+ p(vy2+ vy2) q(uy1+vy2),20, (uy1 +2uy1+

9、 uy1)+ p(uy1 +uy1) + quy1 + (vy2 +2vy2+ vy2)+ p(vy2+ vy2) + qvy2 (uy1 + puy1 + quy1) + (vy2+ pvy2+ qvy2) + uy1+2uy1+ puy1 +vy2 + 2vy2+ pvy2 uy1+vy2 + 2(uy1+ vy2)+p(vy2 + uy1 ) uy1 + vy2 f(x),21,回到主题,23,(1),(2),(3),非零解,C2是积分常数,2、求解本征值问题,24,25,n=1,2,3,解方程,所以有特征解：,A、B 是积分常数,3、先求特解，再叠加求出通解,本征振动的线性叠加,特解,

10、通解,26,初始条件：,4 、利用本征函数的正交性确定待定系数,5、物理意义：,是驻波，（固有振动模式）,相邻节点之间距离等于半波长,波长=,27,（4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）,6、 分离变量法概要：,（1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程,（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题,（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解,28,分离变量流程图,29,1. 补充：三角函数的正交性,30,31,32,33,34,【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆内初始温度分布为j(x), 求杆内温度随时间的变化规律,解 定解问题为,35,1. 分离变量,令 u(

11、x,t)X(x)T(t) (11.1.24) 将式(11.1.24)代入泛定方程，得 X(x) + l X(x) 0 (11.1.25) T(t) + la2T(t) 0 (11.1.26) 将式(11.1.24)代入边界条件式(11.1.22)，可得 X(0)0，X(l)0 (11.1.27) 2. 求解本征值问题 (11.1. 25)与(11.1.27)构成常微分方程的边值问题 X(x) + l X(x) 0 X(0)0, X(l)0,36,同样，将l的取值分三种情况讨论,(1) 若l 0, 这时方程X(x)+lX(x) 0的通解为 由边界条件X (0) X (l) 0,可得 这是关于A,

12、B的线性齐次方程组, 由于系数行列式不为零,故AB0. 因此l 0时, X(x)无非零解.,37,(2) 若l 0, 这时方程成为X (x) 0, 它的通解为 X(x) Ax+B 由边界条件X(0) 0, 得A 0, 故 X(x) B， X(l) 0 因而对B没有任何限制 为方便起见，取B 1，并记作 X0(x) 1 (11.1.28) B若取零，则得平庸解，不予考虑 若 l 0, X0(x) 1,38,(3)若l 0,方程的通解为,由边界条件X (0) 0,得B 0. 由X (l) 0，得 非零解要求A 0,故 本征值(加上脚标n)及相应的本征函数分别为 (11.1.29),39,综合式(1

13、1.1.28)及式(11.1.29)，本征值与本征函数为,3. 求解T(t)的常微分方程 将ln代入式(11.1.26)得,(11.1.30),40,4. 作特解的线性叠加,满足方程及边界条件的一系列特解为 将特解线性叠加为,这说明，经过相当长的时间，均匀杆各点的温度均等于初始温度的平均值,41,5. 由初始条件确定系数,将式(11.1.33)代入初始条件 利用余弦函数的正交性，可得 将式(11.1.34)及式(11.1.35)代入式(111.33)即得定解问题的解,42,6. 解的物理意义,杆内各点温度随时间变化的规律由式(11.1.33)给出。初始时刻，杆内各点温度分布已知：u(x,0)j

14、(x)；当t 时, 杆内各点温度相等. 实际上，在式 (11.1.33)两端取t 的极限，并将 代入，即有,经过相当长的时间，均匀杆各点的温度均等于初始温度的平均值C0,43,44,这两个例题可得出 X(x) + l X(x) 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表11-1).细心的读者容易发现如下的规律: (1)若齐次边界条件含X(0)0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X(0) 0，则本征函数为余弦函数 (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为 若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为,45,k=1,2,3,k=0,1,2,3,4

15、5,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,46,表11-1在本征函数展开法中有重要的作用,X(x) + l X(x) 0,47,例+：细杆热传导。初始时杆的一端温度为零度，另一端温度u0，杆上温度梯度均匀。零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。,零度保持不变；第一类边界条件,与外界绝热； 第二类边界条件,泛定方程和边界条件皆是齐次的, 可以应用分离变数法,解：杆上温度u(x,y,z)满足泛定方程,初始条件：,边界条件：,杆上温度梯度均匀,48,1分离变数形式试探解:,分离变量:,48,定解问题转化为:,关于时间与位置的二个方程:,2 X(x)方程和边界条件构成本征问

16、题解:,由边界条件：,49,相应本征函数,49,3 T方程 ： 改写为,此方程的解,4 u(x,t)的一般解,50,5 Ck的确定,由初始条件,利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有,6 答案,51,11.1.2 非齐次方程 及齐次边界条件 的定解问题,对非齐次方程的定解问题；由于满足泛定方程和边界条件的特解的线性组合，不可能满足非齐次方程，因此分离变量法不能直接应用。 这里用本征函数展开法求解解题的方法通过下述例题说明。,52,【例3】求两端固定弦的强迫振动的规律,解 本征函数展开法的基本步骤为 (1) 确定相应齐次问题的本征函数系本题相应的齐次方程为 utt- a2uxx 0，

17、分离变量后得到常微分方程X(x) + l X(x) 0 分离变量后边界条件为X(0) 0，X(l) 0. 由表11-1可知本征函数为,53,(2) 将u(x,t)及方程的非齐次项f(x,t)按本征函数系 展开,显然， u(x,t)自动满足边界条件(11.1.37)。 由 的正交性可得,54,将式(11.1.39)代入式(11.1.38)得,55,(3)将两级数代入泛定方程 求展开系数Tn(t),就构成了常微分方程的初值问题,56,由常数变易法可求得,(11.1.47) 将式(11.1.47)代入式(11.1.39)即为所求 本征函数展开法是为求解非齐次方程的定解问题提出来的当然也可用来求解齐次

18、方程的定解问题，读者可用本征函数展开法重解例11. 1. 1及例11. 1.2.,57,11.1.3 非齐次方程 及 非齐次边界条件的定解问题,现在，采用“边界条件齐次化”的方法求解，即把非齐次边界条件的定解问题转化为齐次边界条件的定解问题，再用本征函数展开法来求解，它的基本步骤为：,设定解问题为,58,(1)设解u(x,t) v(x,t)+w(x, t)，为了让v(x, t)满足齐次边界条件，适当选取w(x,t)，使它满足u(x,t)的边界条件 w(0,t)u1(t)， w(l,t)u2(t) (11.1.51) 既然w(x,t)要满足式(11. 1. 51)的两个方程，为了确定w(x,t)

19、 ，通常引入两个待定函数A(t)和B(t).两者最简单的结合就是 w(x,t) A(t)x + B(t) (11.1.52) 将w(x,t)代入式(11.1.51)，求出A(t)和B(t)，得,59,(2)求解v(x,t)的定解问题,将 u v+w 代入式(11.1.48)、式(11.1.49)、式(11.1.50)可得 利用本征函数展开法可求得v(x,t)，再由式(11.1. 53)即可求出u(x,t).,60,对于非齐次项比较简单的题目，还可以让w(x,t)同时满足u(x,t)的方程和边界条件，这样v(x,t)的定解问题就可简化为齐次方程及齐次边界条件的问题了.,61,【例11.1.4】求

20、定解问题,解 (1) 设解 u(x,t) v(x,t) + w(x, t)，且 wtt- a2wxx a2/5；w(0,t)0，w(l,t)l/5 w(x, t)要满足上述三个方程，不妨设 w(x, t) f2x2 + f1x + f0 (含三个待定系数) 代入上式，求出 f2 , f1 , f0 ，可得,62,(2) v(x,t)的定解问题为,这是齐次方程、齐次边界条件的定解问题，可解出v(x,t)-留作练习 加上w(x,t)后，即得u(x,t).,63,总之,对齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可直接用分离变量法或用本征函数展开法； 对于非齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可用本征函数展开

21、法； 对于非齐次边界条件的定解问题，在非齐次边界条件齐次化后用本征函数展开法。 上面讨论的都是一维情形的分离变量法，最后讨论二、三维情形的分离变量法,64,9.1.4 高维的定解问题,下面以一个长方体中的热传导方程的定解问题说明高维情形的分离变量法. 【例11.1.5】 求边长分别为a，b，c的长方体中的温度分布，设物体表面温度保持零度，初始温度分行为 u(x,y,z,0) j (x,y,z),65,解 定解问题为,(1) 时空变量的分离 令 u(x,y,z,t) v(x,y,z)T(t) 代入式 ( 11. 1. 57) 可得 T (t) + l2kT(t) 0 (11.1.62) vxx+

22、vyy+vzz + l2 v 0 (11.1.63),66,(2) 空间变量的分离,令 v(x,y,z)X(x)w(y,z), 代入式(11.1.63)及式 (11.1.58)可得关于X(x)的常微分方程及边界条件, 构成本征值问题,同时, w(y,z) 遵守,再令w(y,z)Y(y)Z(z) 代入式(11.1.66)及式(11.1.59)、式(11.1.60)可得另外两个本征值问题,67,三维分离变量法 三个本征值问题,68,(3)求解本征值问题,这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为,把上面三个式子相加, 得到关于v的,69,(4) 求解关于T(t)的常微分方程,将式(11.1.74)代

23、入式(11.1.62),可求得T(t)的通解 (5) 作特解的线性叠加.满足方程及边界条件的一系列特解为 由此得特解的线性叠加,(11.1.78),70,(6)由初始条件确定系数,将式(11.1.74)代入式(11.1.62)可得 这是三重傅里叶级数 由本征函数系的正交性可得 将式(11.1.80)代入式(11.1.78)即得本定解问题的解.,(11.1.79),(11.1.80),71,在电动力学讨论谐振腔和波导管的问题时，将要用类似的方法求解亥姆霍兹方程的边值问题,72,作业- 11.1 第220-1页,11.2 柱坐标系中的分离变量法,本节首先讨论波动方程、热传导方程及拉普拉斯方程在柱坐

24、标系的分离变量; 然后分别讨论圆形域及柱形域中定解问题的分离变量法,74,11.2.1 柱坐标系中三类典型数理方程的分离变量,1. 时空变量的分离 (1) 波动方程为,作时空变量的分离,令 w(x,y,z,t)u(x,y,z)T(t) (11.2.2) 代入式(11.2.1),整理后得,75,上式左边与t无关,右边与x,y,z无关,故只能等于一个常数(设为-b ), 由此得 T+ a2b T 0 (11.2.3) 2u + b u 0 (11.2.4) T(t)的方程是二阶常微分方程, u(x,y,z) 满足的方程(11.2.4), 称为亥姆霍兹方程.,76,(2) 热传导方程为,同样作时空变

25、量的分离,可得 T+ a2b T 0 (11.2.6) 2u + b u 0 (11.2.4) T(t)的方程是一阶常微分方程, u(x,y,z)仍满足亥姆霍兹方程, 只是常数a2的含义依具体物理问题而异.,77,(3) 稳定场的方程,拉普拉斯方程是描述稳定场的方程, 它是亥姆霍兹方程在b 0时的特例 2u 0 (11.2.7) 这表明, 对这三个方程进一步的分离变量, 都归结为对亥姆霍兹方程的分离变量.,三种正交坐标系中的哈密顿和拉普拉斯算子,79,为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。而且，常根据被研究物体几何形状的不同而采用不同的坐标系。在物理学中，常用的坐标系有三种

26、：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量u1、u2、u3(如直角坐标系中的x、y、z)， 当u1、u2、u3均为常数时，就代表三组曲面(或平面)，称为坐标面。,80,若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交线(一般是曲线)也在空间每点正交，这种坐标系叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正交曲线坐标系中较常用的三种。 空间任一点M沿坐标面的三条交线方向各取的单位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于1，并以各坐标变量正的增加方向作为正方向。 一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则。,81,(-, +),基本变量： x、y、z,1

27、 直角坐标系,单位矢量：,变化范围均为,在直角坐标系中，位置矢量,其微分,体积元为,在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为,82,在直角坐标系中，梯度的表达式为,哈密顿算符“”，在直角坐标系中表示为,哈密顿算符的双重性质：哈密顿算符是矢量；哈密顿算符具有微分特性,又称为矢性微分算符,Laplace 算符,83,基本变量：、z,变化范围为,2 圆柱坐标系,0, +)、0, 2、(-, +),圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换 关系为：,在圆柱坐标系中，位置矢量,其微分,它在、z增加方向上的微分元分别是： d、d、dz，三者都是长度，如图所示。,84,体积元为,在圆柱坐标系中，与三

28、个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为,在圆柱坐标系中，哈密顿算符“”和梯度的表达式为,圆柱坐标系中的拉普拉斯运算,85,基本变量： r、,变化范围均为,3 球坐标系,空间任一点P (r 0, 0, 0)是三个坐标曲面： r = r 0, = 0, = 0的交点,球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：,0, +)、0, 、0, 2,在球坐标系中，位置矢量,其微分,它在r、 、 增加方向上的微分元分别是： dr、 rd 、 rsind，三者都是长度，如图所示。,86,在球坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直 的三个面积元分别为,体积元为,在球坐标系中，哈密顿算符“和梯度的表达式为,球坐标系中的拉普拉斯

29、运算,88,2.柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量,在柱坐标系中, 亥姆霍兹方程(见附录A)为 分离变量, 令 u(r, j, z) F(r)F(j)Z(z) (11.2.9) 代入式(11.2.8), 乘以 1/FFZ, 移项后得 上式含r, j, z三个独立变量, 上式的左边与z无关, 右边与r, j无关。因此, 两边只能等于同一常数。设此常数为m , 则有,89,用r2式(11.2.11)移项后得,上式含r, j 两个独立变量, 其左边与j无关, 右边与r无关. 因此, 两边只能等于同一常数. 设此常数为n2, 则可分离为两个常微分方程,90,其中b - m 可能大于或小于零.,若b -

30、m 0, 设b - m l2, 式 (11.2.13) 变为,若b - m 0, 设 b - m -l2, 式 (11.2.13) 变为,则式(11.2.14)变为贝塞尔方程 (P144),则式(11.2.15)变为虚宗量贝塞尔方程 (P165),91,总之, 亥姆霍兹方程可分离为三个常微分方程,方程中的 m、n2、l2 都是在分离变量过程中引入的常数, 要根据边界条件取某些特定的值, 分别称为相应本征值问题的本征值. 下面, 通过圆形域及柱形域的例题说明如何用分离变量法求解定解问题.,92,11.2.2 圆形域上的定解问题,【例 11.2.1】半径为 b的“无限长”圆柱形接地导体，放置在均匀

31、外电场E0中，圆柱的轴线与E0方向垂直，求电势分布为方便起见，图11.2画的是“有限长”的柱体,解 由于带电体是圆柱体,应采用柱坐标.但圆柱是“无限长”的,可以认为电势u(r,j,z)与二无关,电势可用u(r,j)表示.这样,三维空间的定解问题就简化为二维空间的定解问题.,93,由于圆柱导体接地,故圆柱内部电势为零; 圆柱外部没有自由电荷分布, 电势遵守拉普拉斯方程; 均匀电场E0的存在, 使得无限远处的电势为-E0rcosj, 柱面上的感应电荷在无限远处激发的电势为零; 此外, 因为(r,j)及(r,j+2p)是空间中同一点,电势有确定的数值,这就导致周期性条件.,94,由此得定解问题为,1

32、.分离变量 u与z无关, 令 u(r,j)F(r)F(j) (11.2.22) 代入方程(11.2.18) 得 其中n2为常数, 由此得到两常微分方程,95,2.求解本征值问题 将式(11.2.22)代入周期性条件式(11.2.21)得 u(r,j)F(r)F(j) u(r,j+2p)F(r)F(j+2p) F(r)0为平庸解, 不合题意, 由此得 F(j) F(j+2p) (11.2.25) 式(11.2.24)与式(11.2. 25)构成本征值问题.,96,(1) 若v0, 方程的通解为 F(j) B0j+A0,代入式(11.2.25)得 B0j+A0 B0(j+2p)+A0 由此得B0

33、0, 故F(j) A0 (2) 若v20, 方程的通解为 F(j) Avcosvj+Bvsinvj 代入式(11.2.25) 得 Avcos v(j +2p) +Bvsin v(j +2p) Avcosvj+Bvsinvj 显然, 仅当v取整数时上式才能成立, 即 vn1, 2, 又因n取正整数及n取负整数时, 方程(11.2.24)的解是线性相关的, 故只要取vn1,2, ,97,若v20, 令v2 -s 20 (s为实数),方程的通解为 F(j) Aesj+Be-sj,因为指数函数(当指数为实数)不是周期函数,它不可能满足周期性条件(11.2.25), 故v2不能取负值. 综合上述, 这个

34、本征值问题的本征值为 vn n1,2, (11.2.26) 相应的本征函数为 Fn(j) Ancosnj+Bnsinnj n1,2, (11.2.27),98,3. 求解F(r)的常微分方程,将u(r,j)F(r)F(j) 代入边界条件u(b, j)0, 可以得到F(b)F(j)0。因为F(j)0是平庸解, 不合题意,由此得 F(b)0 (11.2.28) 这是F(r)在边界点rb处的齐次边界条件 但是F(r)在r没有齐次边界条件(参看11.4节), 因此F(r)的方程与边界条件不能构成本征值问题。 将 vn 代入式(11.2.23), 得到欧勒型方程,将u(r,j)F(r)F(j) 代入边界

35、条件u(b, j)0, 可以得到F(b)F(j)0。因为F(j)0是平庸解, 不合题意,由此得 F(b)0 (11.2.28) 这是F(r)在边界点rb处的齐次边界条件 但是F(r)在r没有齐次边界条件(参看11.4节), 因此F(r)的方程与边界条件不能构成本征值问题。 将 vn 代入式(11.2.23), 得到欧勒型方程,99,作变量代换, 令x lnr， F(r) F (x), 利用复合函数的导数公式, 方程可化为 F (x)-n2F (x)0 其解为,(11.2.29),100,将式(11.2.29)代入式F(b)0可得 将上二式代入式(11.2.29), 即有,101,4. 作特解的

36、线性叠加,将式(11.2.27) 及式(11.2.30) 代入式(11.2.22), Fn(j)Ancosnj+Bnsinnj n1,2, (11.2.27) u(r,j)F(r)F(j) (11.2.22) 可得满足式(11.2.18)、式 (11.2.19)、式(11.2.21)的特解,(11.2.32),然后,作特解的线性叠加,得,102,5. 由非齐次边界条件定系数 将式(11.2.33)代入式(11.2.20) 这是关于j的傅里叶级数, 比较两边系数可得 D00, A1-E0, An0 (n0), Bn0 将这些系数代回式(11.2.33), 即得定解问题的解,(11.2.33),1

37、03,6. 解的物理意义,圆柱外的电势是由外电场激发的电势u1 以及柱面上感应电荷激发的电势u2 的叠加.,104,11.2.3 柱形域上的定解问题,【例 2】半径为b，高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布为f(r)r2,求圆柱体内的稳定温度分布. 解 求解区域为圆柱体, 故采用柱坐标系, 坐标原点取在下底的中心, z轴沿圆柱的轴.由题意温度分布u(r,j,z)与j无关。可用u(r,z)表示因为稳定的温度分布遵守拉氏方程，故定解问题为,105,(1)分离变量.,令 u(r,z)F(r)Z(z) (11.2.38) 代入方程(11.2.35), 可得 其中l2为常数,由此可分离

38、出两个常微分方程,106,(2)求解本征值问题,将u(r,z)F(r)Z(z)代入式 可得到F(r)的边界条件, 即F(0)有界及F(b)0,由此构成本征值问题 这是零阶贝塞尔方程的第一类边值问题,它的解已由7.3节中的式(7.3.9)-P159给出, 本征值及相应的本征函数分别为 式中mn(0)是J0(x)的第n个零点.,107,3求解关于Z(z)的常微分方程,方程(11.2.39) Z(z)-l2Z(z)0 定义在区间0,h中，将式(11.2.38) u(r,z)F(r)Z(z)代入式(11.2.36) u(r,0)0, u(r,h)0； 在边界点z0: F(0)Z(0)0, F(0)有界

39、Z(0)0, 在边界点zh: F(r)Z(h)r2, 不能分离出Z(z)的边界条件，所以不能构成本征值问题. 关于Zn(z)的常微分方程的通解为,(11.2.43),108,(4) 作特解的线性叠加,将式(11.2.42)及式(11.2.43)代入式(11.2.38), 得到满足式(11.2.35)、式(11.2.37)的特解 作特解的线性叠加得,(11.2.44),109,(5)由边界条件定系数.,将式(11.2.45)代入u(r,0)0及u(r,h) r 2得 由式(11.2.46)及贝塞尔函数的正交性得 Bn-An (11.2.48) 将式(11.2.48)代入式(11.2.47), 并

40、由双曲正弦定义得,110,式(7.3.21)-P162 给出贝塞尔函数的 正交归一关系式, 当v0时有,用 乘式(11.2.49)两边, 并对r由0到b积分, 再利用式(11.2.50), 即有,(11.2.51),111,将等式两端的指标m改为n, 利用习题11.2.1即有,将An及Bn-An代入式(11.2.45)可得,112,习题11.2-P228,11.2. 1试证明 11.2.2试求解扇形区域内的定解问题,11.3 球坐标系中的分离变量法,拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程在物理学的各个领域均有重要的应用。 本节主要讨论这两个方程在球坐标系中的分离变量，给出球函数的定义和性质，以及拉普拉斯方

41、程的通解。,114,11.3.1 球坐标系中拉普拉斯方程的分离变量,在球坐标系中，拉普拉斯方程为(见附录A),1. 径向与角向变量的分离 令 u(R,q,j) F(R)Y(q,j) (11. 3. 2) 代入方程(11.3.1),遍乘R2/FY, 移项后得,(11.3.1),上式左边仅为R的函数q与j无关； 右边仅为q与j的函数, 与R无关。,115,R,q,j为独立变量, 要等式成立,则要求等式两边等于同一常数.设此常数为l(l+1), 则上式可分解为两个方程,常微分方程(11.3.3)是欧勒型方程，它可化为 R2F (R)+2RF (R) + l(l+1)F(R) 0(11.3.5) 它的

42、解为(见习题11.3.1-next page) F(R) ARl + BR-(l+1) (11.3.6) 偏微分方程(11.3.4)称为球函数方程,116,117,2.角向变量的分离,令 Y(q,j) Q (q)F (j) (11.3.7) 代入式(11.3.4), 遍乘sin2q/QF , 移项后得 上式左边仅为q 的函数, 与j 无关; 右边仅为j 的函数,与q 无关; 等式两边只能等于同一常数, 设这常数为m2, 由此分解为两个常微分方程,118,3. F(j)方程的本征值问题,常微分方程(11.3.8), 还附带一个周期性条件 F(j + 2p ) F(j) (11.3.10) F(j

43、) + m2F(j) 0 (11.3.8) 这样, 式(11.3.8)与式(11.3. 10)构成一个本征值问题,其本征值与本征函数分别为 m2, Fm(j)Amcosmj + Bmsinmj, m0,1,2 (11.3.11) 利用欧拉公式cosmj + i sinmj eimj, 可以将上式改写为 m2 , Fm(j)eimj, m0,1,2 (11.3.12),119,4. Q (q) 的方程的本征值问题,常微分方程(11.3.9) 通过变换 x cosq, y(x) Q (q) 可化为关联勒让德方程, 它的解就是关联勒让德函数(见6.4节),120,若问题具有轴对称性(指该物理系统绕对

44、称轴旋转时,待求函数u不变,见例题1,2,3) 若选z轴为对称轴, 则u与j无关，F(j)与j无关, 由式(11. 3. 11)可见：m 0. 将m 0代入方程(11.3.9)即简化为勒让德方程, 它的解就是勒让德多项式,121,拉普拉斯方程在球坐标系中便分解为三个常微分方程(11.3.3)、(11.3.8)、(11. 3. 9),并给出这些方程在有限性条件或周期性条件下的解.,122,11.3.2 球函数的定义及其正交归一关系式,1.球函数的定义 将式(11.3. 12)和式(11.3. 13)代入式(11.3.7),可得球函数方程(11.3.4)的解 Ylm(q,j) ClmPl|m|(c

45、osq) eimj l 0,1,2, ; m 0,1, ; l (11.3. 15) 由此可见, 独立的l 阶的球函数共有2l+1个, 式中的Clm为归一化常数;,123,由于Y(q,j) 满足线性齐次偏微分方程(11.3.4), 用任何常数乘 Pl|m|(cosq) eimj 均满足方程(11.3.4) 为确定起见,引入归一化常数Clm, 使球函数的模方对立体角的积分为1, 即规定,124,将球函数代入式(11.3.16),即得,易见,125,可以证明, Ylm(q,j) 的正交归一关系式为(见习题11.3.2),3.头几个球函数,(11.3.19),126,11.3.3 拉普拉斯方程的通解

46、,1.无对称的情形 将式(11.3.6)、式(11.3.7)、式(11.3.11)、式(11. 3. 13)代入式(11.3.2)可得拉普拉斯方程的一个特解 u(R,q,j) F(R)Y(q,j) (11. 3. 2) Fl(R) AlRl + BlR-(l+1) (11.3.6) Ylm(q,j) Ql(q)Fm(j) (11.3.7) Fm(j)Amcosmj + Bmsinmj, m0,1,2 (11.3.11),127,将所有可能的 l 值和 m 值对应的特解线性叠加,可得到拉普拉斯方程的通解,128,2.轴时称(对z轴)的情形,u与j无关, m0, 拉普拉斯方程的通解简化为 3. 球

47、对称的情形 u 与 j,q 无关, lm0, 拉普拉斯方程的通解简化为 u(R) A + BR-1 (11.3.22),129,11.3.4 球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量,1. 亥姆霍兹方程与拉普拉斯方程的差别 在球坐标系中,亥姆霍兹方程为 与拉普拉斯方程的差别就是多了一项lu, 用相同的方法分离变量, 不难发现, q与j变量遵守的常微分方程仍为式(11.3.8)与式(11.3.9), 不同的仅为关于R的常微分方程.,(11.3.23),130,这就是球贝塞尔方程(见7. 5节).它的解为 Fl(R) Ajl(kR) +Bnl(kR) (11.3.24) 式中jl(kR) 是球贝塞尔函数n

48、l(kR)为球诺伊曼函数.见7.5节的式(7.5.7). 2.亥姆霍兹方程通解为,(11.3.25),若将l记作k2,即为,131,11.3.5 球形域上的定解问题,最后,我们通过一些典型例题说明球形域定解问题的解法.,132,【例 1】在均匀外电场中置入半径为 R0的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势差为u0，求球内、外的电势，设导体球置入前坐标原点的电势为零。 解 选坐标原点在球心、极轴沿E0方向的球坐标系，设球内电势为u1，球外电势为u2，因除球面上有自由电行分布外，球内、外均无自由电荷分布，故u1与u2满足拉普拉斯方程。,133,(1) 定解问题为,(2) 对

49、称性及通解形式. 本题有轴对称性, 因为接地导体为等势体,故球内、外电势可分别表示为,(11.3.30),134,(3) 定系数.,将式(11.3.30)的u2代入式(11.3.28)得 由P1(cosq)cosq及Pl(cosq)的正交性, 得 A1-E0, Al0 (l1) 将A1代入式(11.3.30), 即可简化为,将式(11.3.31)代入式(11.3.29)得,135,由Pl(cosq)的正交性,B0 u0R0 , B1E0R03, Bl0 ( l0,1) 以上结果代入式(11.3.31), 即得定解问题的解 (4) 物理意义: -E0Rcosq 是导体置入前空间任一点的电势; u

50、0R0/R是电池给导体充以电量4pe u0R0后, 带电导体在球外激发的附加电势; 第三项是导体感应电荷形成的电偶极矩所激发的电势.,136,【例11.3.2 】 半球的球面保持一定温度u0cosq，半球底面保持零度，试求这个半球的稳定温度分布，设球半径为R0,解 选用坐标原点在球心，极轴为对称轴的球坐标系。温度分布由u(R,q)表示 1.定解问题,137,2. 将u(R,q)作奇延拓,将半球问题化为全球问题,拉普拉斯方程的通解含有勒让德多项式，确定叠加系数要将u(R0,q )展开成广义傅里叶级数，而Pl(cosq)定义在区间-1,1，q值在区间0,p； 因此要把u(R0,q )中的q由区间0

51、,p/2, 延拓到区间0,p, 为保持半球底面温度为零度，就要假定下半球面有一对称的负温度分布 ur0cosq，p/2qp； 由 0,p的余弦函数曲线图可见，这是对u(R0,q )作关于q p/2的奇延拓,138,(3) 新的定解问题,(4) 对称性及通解的形式. 本题具有轴对称, 通解为,139,(5) 定系数.,球内问题, 由u(0,q)有限 得 Bl 0. 将Bl 0 代入式(11.3.38), 得,将式(11.3.39)代入式(11.3.36), 并利用P1(x)x,即有,由Pl(cosq)的正交性, 可得A1u0/R0, Al 0 (l1). 将Al代入式(11.3.39), 得,1

52、40,【例11.3.3 】 在上例中，若半球底面绝热，求这个半球里的稳定温度分布,解 本题的差别是半球底面绝热，即穿过底面的热流强度为零，故温度沿该面的法向导数为零 (1).定解问题,141,(2). 将u(R,q)作偶延拓，化为全球问题,为了保持没有热流穿过底面，就要假定下半球面有一对称的温度分布u0CcosqC， 由0,p的CcosqC函数曲线图可见，这是对u(R,q)作关于qp/2的偶延拓。 (3). 新的定解问题,142,(4). 对称性及通解形式,本题具有轴对性, 通解为,(5). 定系数 利用Pl(cosq)的正交性、勒让德多项式的递推公式, 以及习题6.2.4的结论, 可以求得A

53、2n(注意A2n+10,Bl0), 代入式(11.3.47)可得,143,144,作业- 11.3 第235页,11.4 斯一刘型本征值问题,前面三节的讨论表明，用分离变量法解定解问题时，必然导致求解本征值问题，它是分离变量法的一个重要步骤 本节首先把常见的二阶线性齐次常微分方程化为斯特姆-刘维型方程 (Sturm-Liouville简称斯-刘型方程) 最后介绍斯-刘型本征值问题的提法及斯-刘型本征值问题的基本性质，从而奠定分离变量法的理论基础,146,11.4.1 斯-刘型本征值方程,二阶线性齐次偏微分方程，经分离变量后将得到二阶线性齐次常微分方程，其普遍形式为 a(x)y (x)+b(x)

54、y (x)+c(x)y(x)+ly(x) 0, axb (11.4.1) 其中a(x),b(x),c(x)为已知函数, l为分离变量过程中引入的参数。 方程(11.4. 1)可化为施一刘型方程,147,其中k(x)称为核函数,r(x)称为权函数, a是参数.,下面将证明 上述关系,148,149,勒让德方程、关联勒让德方程、贝塞耳方程均可化为斯一刘型方程，它们分别为,150,9.4.2 斯-刘型本征值问题,所谓斯-刘型本征值问题，就是在一定的边界条件下，求斯-刘型方程的l 值(本征值)及相应的非零解(本征函数)。,151,斯-刘型方程通常与三类边界条件构成本征值问题,1. 齐次边界条件 (1)

55、 第一类齐次边界条件为 y(a)0，y(b)0(11.4.9) (2) 第二类齐次边界条件为 y (a)0， y (b)0(11.4.10) (3) 第三类齐次边界条件为 y (a) hy(a)0 ，y (b) + hy(b)0，h 0 (11.4.11),152,y(a) hy(a)0 ，y(b) + hy(b)0，h 0,上式中两式符号的差别可以细杆为例来说明见式(9.2.14)和式 (9.2.16)-p192. 在a点, 细杆的外法线方向与x轴反向, 在b点两者方向相同,153,这三类齐次边界条件乃至混合齐次边界条件均可归结为,a1y(a) +a2y(a)0, b1y(b) + b2y(

56、b)0, (11.4.12) 如果令a1b1 0 即为式(11.4.9); 令a2b2 0即为式(11.4.10)； 令a1b1 1, 以及a2 - b2 - h即为式(11.4.11)；若令a1b2 0, 则为第一、二类混合齐次边界条件, 等等. 但应注意a1与a2不能同时为零, b1与b2不能同时为零, 否则便缺少了一个边界条件.,154,2.周期性边界条件,y(a)y(b), y (a)y (b), k(a)k(b) (11.4.13) 如本征值问题 F (j) + m2F (j) 0 (*) F (j + 2p ) F (j) 其本征值m2及本征函数Fm(j) 由下式给出 Fm(j)A

57、mcosmj + Bmsinmj, m0,1,2 11. 4. 14) 它满足F (0) F (2p); F(0) F(2p); 并且从方程*可直接得出k(0)k(2p)1.,155,3.自然边界条件(有界性条件),当边界点是核函数k(x)的一阶零点时, 则该边界点上存在自然边界条件. 具体地说, 在边界点a有k(a) 0时, 边界条件为y(a)有界; 在边界点b有k(b) 0, 则边界条件为y(b)有界. 如勒让德方程的k(x)1-x2, 由于k(1) 0, k(-1) 0, 故在边界点x 1和x -1均存在自然边界条件:y(-1)有界和y(1)有界(表11-2). 又如贝塞尔方程的k(x)

58、 x, 故在边界点x 0存在自然边界条件. 而在边界点b, 因为k(b)0,故就不是自然边界条件了,156,这并不是巧合,实际上, 若施-刘型方程存在一个有界解y1(x),由附录D的式(D. 4) 和本页分析，可求出与y1(x)线性无关的解y2(x)为 若边界点a是k(x)的一阶零点,则k(a)0.由上式可见y2(x)无界. 为了排除无界解, 就必须在xa点加上自然边界条件.,157, 11.4.3 斯-刘型本征值问题的基本性质,在常见的工程和物理问题中，斯-刘型方程 k(x)，r(x)，Q(x)在a,b中为实函数， 在(a,b)内 k(x)0， r(x)0，Q(x)0， 且k(x)，k (x), r(x)，Q(x)在(a,b)连续， 现在这些条件下讨论其性质,158,1. 存在定理,存在无穷多个、实的、分立的本征值 lln (n1,2,)，且对应着无穷多个本证函数 yn(x) (n1,2,), 当同一本征值对应的本征函数不止一个时, 称为简