选修4-4 第一讲 坐标系(平面直角坐标系)教案

1、一 平面直角坐标系教学目标：了解用有序实数对确定点的位置，用方程刻画几何图形，体会坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。教学重点、难点：由问题的特征选择坐标系，坐标法思想；平面直角坐标系的伸缩变换及变换中的点的对应关系。坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。平面直角坐标系定位问题某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是102

2、0m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）(2004年广东高考题)yxBACPo由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线l上，因A点比B点晚4s听到爆炸声，因此|PA|PB|=3404=1360|AB|，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，所以P是l 与的交点，以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)，l的方程：y=x，设双曲线方程， a=680,c=1020, b2=c2-a2=10202-6

3、802=53402.所以的方程为：用y=x代入上式，得答：巨响发生在信息中心的西偏北450，距中心处。在这里，用角和距离刻画了点P的位置；这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么联系和区别，那只方法更简便。上述问题的解决体现了坐标法的思想。xO(A)FBCEy例1.已知ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。以ABC的顶点为原点，边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的x坐标分别为A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( c/2 ,0 ).设C点坐标为(x,y)，

4、则点E的坐标为(x/2,y/2)，由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即x2+y2+c2=5(x-c)2+y2，所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.因为=(x/2-c, y/2)，=(c/2-x, -y)，所以(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y)=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0. 因此，BE与CF互相垂直。你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则：（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以

5、选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。MNOPXY例2（2005年江苏）圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。解：以直线O1O2为X轴，线段O1O2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O1(-2,0），O2(2,0），设P(x,y)则PM2=PO12-MO12=，同理，PN2=因为PM=PN，即即即这就是动点P的轨迹方程。平面直角坐标系中的伸缩变换 在三角函数图象的学习中，我们研究过这样的问题：1 怎样由正弦曲线y

6、=sinx得到y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。“保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2”，上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换（如何解释？），即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P(x,y)，坐标对应关系为： 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。2 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx？oyx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持横坐标x不变，纵坐标y伸长为原来的3倍，那么正弦曲线y=sinx

7、就变成曲线y=3sinx.“保持横坐标x不变，纵坐标y伸长为原来的3倍”是坐标的一个伸长变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P(x,y)，坐标对应关系为： 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。3 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x？oxy 它是1、2的合成，先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1/2，在此基础上，再将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x。即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P(x,y)，坐标对应关系为 通常把这样的变换叫

8、做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩。 例4 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1。解：(1)由伸缩变换得到；代入2x+3y=0；得到经过伸缩变换后的图形的方程是；因此经过伸缩变换后，直线2x+3y=0变成直线。(2)将 代入x2+y2=1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是，因此经过伸缩变换后，圆x2+y2=1变成椭圆。在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？练习：1 求下列点经过伸缩变换后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）.2 曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是，则曲线C的方程是 .3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A. B.C. D.4 曲线变成曲线的伸缩变换是 .5 在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？6 设M1是A1(x1,y1)与B1(x2, y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别为M2, A2, B2，求证：M2是A2