高中数学讲义微专题95《统计初步》讲义

1、微专题 95 高中涉及的统计学知识 一、基础知识： （一）随机抽样： 1、抽签法：把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均N 匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到容量为的样本nn 2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的个个体编号N （2）确定分段间隔，设样本容量为，若为整数，则kn N n N k n （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号 ，则后面每段所确定的个体编号与前l 一段确定的个体编号差距为，例如：第 2 段所确定的个体编号为，第段所确定的klkm 个体编号为，直至完成样本1lmk 注：（1）若不是整数，

2、则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被 N n 整除，再进行系统抽样。例如 501 名学生所抽取的样本容量为 10，则先随机抽去 1 个，剩n 下的个个体参加系统抽样500 （2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k 3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。 分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图： 1、频数与频率 （1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出

3、现的 数据的个数. （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数 （3）各试验结果的频率之和等于 1 2、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布 表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出 （1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 （2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常 5-12 组） ，则组内数据的极差称为组距，所 以有组距=极差/组数 （3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图 （4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距” （5）频率分布直方图的特点： 频率=，即分布图中

4、每个小矩形的面积 频率 组距 组距 因为各试验结果的频率之和等于 1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为 1 （三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据 中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。并按末位数之前的数位进行 分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次 （四）统计数据中的数字特征： 1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数 2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数 为奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值。 3、平均数：代表一组数据的平均水平，记

5、为，设一组数据为：，则有：x 12 , n x xx 12n xxx x n 4、方差：代表数据分布的分散程度，记为，设一组数据为：，其平均数为， 2 s 12 , n x xxx 则有：，其中越小，说明数据越集中 222 2 12 1 n sxxxxxx n 2 s 5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根 二、典型例题 例 1：某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为1000 的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生1857560 _人 思路：分层抽样即按比例抽样，由高一年级和高二年级的人数可得高三人数为 人，所以抽样

6、比为，从而总人数为人185756050 501 = 100020 1 1853700 20 答案：3700 例 2：某企业三月中旬生产，ABC 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结果；企业统计 员制作了如下的统计表格： 产品类别 ABC 产品数量（件） 1300 样本容量（件） 130 由于不小心，表格中 AC 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容 量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是 件 思路：由产品可得抽样比为，所以若 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多B 1301 130010 10，则 A 产品的数量比 C 产品的

7、数量多，且产品数量和为 1 10100 10 ,A C ，从而可解得产品的数量为 300013001700C800 答案：800 例 3：某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤 维所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中5,40 _根棉花纤维的长度小于 15mm 思路：由频率直方图的横纵轴可得：组距为 5mm，所以小于 15mm 的频率为 ，所以小于 15mm 共有根 0.010.0150.11000.1=10 答案：10 例 4：某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这 5 次数学成绩

8、的中位数是 ；已知两位同学这 5 次成绩的平均数都是 84，成绩比较稳 定的是 （第二个空填“甲”或“乙” ） 思路：由茎叶图可读出，乙同学的成绩为，甲同学的成绩为，79,80,82,88,9181,82,83,84,91 所以乙同学的成绩的中位数为，相比较而言，甲同学的成绩比较集中，所以比较稳定的是82 甲 答案：，甲82 小炼有话说：在求中位数时要注意先将数据从小到大排列，判断成绩稳定，本题甲，乙稳定 性的判断定量上要依靠方差，但因为本题从茎叶图上看出甲，乙数据稳定性差距较大，所以 定性的判断。 例 6：某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取 100 名学生，将其数学成绩分成五段： ，

9、它的频率分布直方图如图所示，则该批学50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130130,150 生中成绩不低于 90 分的人数是_ 思路：的高度未知，但由于直方图体现的是全部样本的情况，所以各部分频率和为90,100 1，可以考虑间接法。从图中可观察到的频率为，所50,900.00250.0150200.35 以不低于 90 分的频率为，故人数为（人）10.350.651000.6565 答案： 65 例 7：从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率 分布直方图所示 （1）直方图中的值为_；x （2）在这些用户中,用电量

10、落在区间内的户数为_100,250 思路：（1）依题意可得频率直方图中的频率和等于 1，由图可得组距为，所以有50 ，解得0.00240.00360.00600.00240.0012501x0.0044x （2）图中的频率为，所以用户数为100,2500.00360.0060.0044500.7 （户）1000.770 答案：（1） （2）户0.0044x 70 例 7：某校 1000 名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果a 优秀的人数为 175 人，则的估计值是_a 思路：可先从频率直方图中按分数从高到低统计分数段的人数，组距为，从而可得：10 的人数为，同理可得

11、的人数为人，而优140,15010000.01 10100130,140150 秀的人数为人，所以应包含的全体，以及中的一半人数，所以估计175140,150130,140 值为到的中间值，即130140135 答案： 135a 例 8：某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：）,随机选择了位中学生进行调查,hn 根据所得数据，画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、 第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列，又第一小组的频数是 10，则 n _. 思路：设第一个的面积为，则第 4 个为，第 2 个为，第 3 个 1 Sa 4 0.1Sa 2 0.2Sa 为，依题意可得四部分的频率和为 ，从而可解得， 3 0.3Sa1 1234 1SSSS0.1a 所以，从而 1 0.1S 10 100 0.1 n 答案： 100 例 9：某单位有职工 200 名，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随 机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200 号）. 若第 5 组抽出的号码为 22，则第 10 组抽出的号码应是_ 思路：由系统抽样可知，每组抽出的号码依次成等差数列，且公差为组距，所以5d ，则 5 22a 105 5222547aad 答案：47 例