高中数学讲义微专题81《排列组合——选择合适的数学模型》讲义

1、微专题 81 排列组合寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解 决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题： 例 1：设集合由个元素构成，即，则所有子集的个数为_An 12 , n Aa aaA 思路：可将组成子集的过程视为中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，A 所以第一步从开始，有两种选择，同样后面的都有两种选择，所以总数 1 a 23 , n a aa 个2222n n N 个 答案： 2n 例 2：已知，且中有三个元素，若中的元素可构成等差数列，1,2,3,40S ASAA 则这样的集合共有

2、（ ）个A A. B. C. D. 460760380190 思路：设中构成等差数列的元素为，则有，由此可得应该同奇同偶，A, ,a b c2bac, a c 而当同奇同偶时，则必存在中间项，所以问题转变为只需在中寻找同奇同偶数, a cb140 的情况。同为奇数的可能的情况为，同为偶数的可能的情况为，所以一共有, a c 2 20 C 2 20 C 种 2 20 2380C 答案：C 例 3：设集合，那么集合中满足条件 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,5 i Ax x x x xxi A “”的元素个数为（ ） 12345 13xxxxx A. B. C. D. 6090120

3、130 思路：因为或，所以若，则在0 i x 1 i x 12345 13xxxxx 中至少有一个，且不多于个。所以可根据中含 0 的个数进行分1,2,3,4,5 i x i 1 i x 3 i x 类讨论。 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从中取，共有方法数为1, 1 23 15 2NC 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从中取，共有方法数为1, 1 32 25 2NC 五个数中有 4 个 0，则另外 1 个从中取，共有方法数为1, 1 4 35 2NC 所以共有种 23324 555 222130NCCC 答案：D 例 4：设集合，设的三元素子集中，三个元素的和分别为，1,2,3

4、,10A A 12 , n a aa 求的值 12n aaa 思路：的三元子集共有个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨A 3 10 C 换个思路，考虑将这些子集中的各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这个1,2,10 3 10 C 子集中共含有多少个。以 1 为例，含 的子集可视为集合中有元素 1，剩下两个元1,2,101 素从 9 个数中任取，不同的选取构成不同的含 1 的子集，共有个，所以和为，同理， 2 9 C 2 9 1 C 含 2 的集合有，其和为，含 10 的集合有个，其和为所以 2 9 C 2 9 2C 2 9 C 2 9 10C 2 129 12101980

5、n aaaC 答案：1980 例 5：身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个 子矮，则所有不同的排法种数是多少 思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且 进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而 将问题转化为分组问题。则（种） 222 3 642 3 3 3 90 C C C NA A 答案：90 例 6：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有（ ）对异面 直线 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423 思路：首先要了解一

6、个结论，就是在一个三棱锥中存在 3 对异面直线，而不共面的四个点便 可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为 寻找这 10 个点中共面四点的情况。首先 4 个面上共面的情况共有，每条棱与对 4 6 460C 棱中点共面情况共有 6 种，连结中点所成的中位线中有 3 对平行关系，所以共面，所以四点 共面的情况共有种，所以四点不共面的情况有种，从而异面 4 6 46369C 4 10 69141C 直线的对数为种141 3423N 答案：D 小炼有话说 ：要熟悉异面直线问题的转化：即异面三棱锥四点不共面四点共面，从 而将所考虑的问题简单化 例 7：设是整数集

7、的一个非空子集，对于，如果且，那么称是AkA1kA 1kA k 集合的一个“孤立元” ，给定，则的 3 个元素构成的所有集合中，A1,2,3,4,5,6,7,8S S 其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. B. C. D. 6152025 思路：首先要理解“，则且” ，意味着“独立元”不含相邻的数，kA1kA 1kA 元素均为独立元，则说明 3 个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用 插空法可得：种 3 6 20C 答案：C 例 8：圆周上有 20 个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成

8、，也就用去圆上 4 个点， 而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在 圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可 组成多少个四边形的问题，所以共有个 4 20 4845C 答案：个 4845 例 9：一个含有 10 项的数列满足：，则符 n a 1101 0,5,1,(1,2,9) kk aaaak 合这样条件的数列有（ ）个 n a A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以为入手点可得：，即可视为在数轴上，向左或向右移 1 1 kk aa 1 1 kk aa k a 动一个单位即可得到，则问题转化为

9、从开始，点向左或向右移动，总共 9 次达到 1k a 1 0a ，所以在这 9 步中，有且只有 2 步向左移动 1 个单位，7 步向右移动 1 个单位。所以 10 5a 不同的走法共有种，即构成 36 种不同的数列 2 9 36C 答案：36 种 例 10：方程的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？10 xyzw 思路：本题可将 10 理解为 10 个 1 相加，而相当于四个盒子，每个盒子里装入了多, , ,x y z w 少个 1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板 法得：种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况， 3 9 84

10、C 所以考虑进行化归：，则 10111114xyzwxyzw 这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：种1,1,1,1xyzw 3 13 286C 答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种 二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） A144 种 B96 种 C48 种 D34 种 2、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同

11、取法的种数为 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在 1，2，3，4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为 9 的三位数共有（ ） A. 16 个 B. 18 个 C.19 个 D.21 个 4、把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一 张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A96 B240 C48 D40 5、某班组织文艺晚会，准备从等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求：两个节目,A B,A B 至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出

12、顺序的和数,A B 为（ ） A1860 B1320 C1140 D1020 6、某班一天中有节课，上午节课，下午节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、633 物理、体育、艺术堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数6 为（ ） A B C D 72216320720 7、用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是（ ） A48 B36 C28 D12 8、某宾馆安排 A、B、C、D、E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A、B 不能住同 一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A24

13、 B 48 C96 D114 9、 （2014 重庆八中一月考，2）要从名男生和名女生中选出人组成啦啦队，若按性别1056 分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A B C D 2 5 3 9C C 2 5 3 10C C 2 5 3 10A A 2 5 4 10C C 10、 （2015，广东文） ，若集合： ，, , ,|04,04,04, , , ,Ep q r spsqsrsp q r sN ，用表示集合中的, , ,|04,04, , , ,Ft u v wtuvwt u v wN card XX 元素个数，则（ ） card Ecard F A. B. C. D. 501

14、00150200 11、 （2014，浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券 分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种 12、 （2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的 角为 60的共有( ) A24 对 B30 对 C48 对 D60 对 13、 （2014，重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相 声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A72 B120 C144 D168 14、 （2014，广东）设集合，那么集 12345 ,|1,0,1 ,1,2,3,4,

15、5 i Ax x x x xxi 合中满足条件“”的元素个数为（ ）A 12345 13xxxxx A. B. C. D. 6090144168 15、 （2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其 中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一 个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( ) A. B. C. D. 484472252232 16、集合的 4 元子集中，任意两个元素差的绝对值都1,2,3,20S 1234 ,Ta a a a 不为 1，这样的 4 元子集的个数有_个T 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析

16、：相邻则考虑使用整体法，程序有要求所以先确定的位置，共有 2 种选法，,B CAA 然后排剩下的元素，再排间的顺序，所以总数为 4 4 A,B C 2 2 A 42 42 296NA A 2 2、答案：C 解析：考虑使用间接法，16 张卡片任取 3 张共有种，然后三张卡片同色则不符合要求， 3 16 C 共有种，然后若红色卡片有 2 张则不符合要求，共有种，所以不同的取法种数 3 4 4 C 21 412 C C 为： 3321 164412 4472NCCC C 3 3、答案：A 解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是或，三1,3,52,3,4 位数共有个；若有两个

17、重复数字，则数字为和，三位数有个；若三 3 3 2A2,2,51,4,4 1 3 26C 个数字相同，则只有 333，所以 31 33 22119NAC 4 4、答案：A 解析：5 张票分给 4 个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共种选择， 1 4 C 然后确定给哪两张连号的票，共 4 种情况，剩下的票分给 3 人即可。所以 13 43 496NC A 5 5、答案：C 解析：由题可知可分为两类：第一类只有一个选中，则还需从剩下 6 个里选出 3 个节目，,A B 然后全排列，所以不同的演出顺序有；第二类，同时选中，则还需从剩下 6 个 134 264 C C A,A B 里

18、选出 2 个，然后不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有。综上,A B 222 623 C A A 134222 264623 1140NC C AC A A 6 6、答案：B 解析：先排数学与艺术各有 3 种共 9 种，其余的 4 个科目全排列有种，所以 4 4 A 4 4 9216NA 7 7、答案：C 解析：根据题意，在 0，1，2，3，4 中有 3 个偶数，2 个奇数，可以分 3 种情况讨论： （1）0 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、0、3 看成一个整 体，与 2、4 全排列，有种情况；故 0 被奇数夹在中间时，有种情况；6 3 3 A 3 3 2

19、12A （2）2 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、2、3 看成一个整 体，与 0、4 全排列，有种情况，其中 0 在首位的有 2 种情况，则有种排法；6 3 3 A624 故 2 被奇数夹在中间时，有种情况；248 （3）4 被奇数夹在中间时，同 2 被奇数夹在中间的情况，有 8 种情况， 则这样的五位数共有 12+8+8=28 种. 8 8、答案：D 解析：由题可知，5 个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两 种，当为（3,1,1）时，有种，A、B 住同一房间有种，故有60 3 3 3 5 AC18 3 3 1 3 AC

20、 种，当为（2,2,1）时，有种，A、B 住同一房间有42186090 3 3 2 2 2 3 2 5 A A CC 种，故有种，根据分类计数原理共有种18 2 2 2 3 1 3 ACC9018724272114 9、答案：A 解析：由分层抽样可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生担任队长，则还需要出 3 名男 生，所以 32 95 NC C 10、答案：D 解析：分别统计中元素的个数，在中，可取的值由的值决定，当时,E FE, ,p q rs4s 分别可选，所以有种，当时；同理有种；当, ,p q r0,1,2,3 3 4643s , ,p q r 3 327 时；同理有种；当时；同理有 种，所以共计2s , ,p q r 3 281s , ,p q r1 ；在中，可知一组，一组，按照的计算方式 182764100card E F, t u, v wE 可得和的选择各有 10 种，所以。从而, t u, v w 10 10100card F 200card Ecard F 11、答案：60 解析：可按获奖人数进行分类讨论，若有 3 人，则一人获得