第四章电磁波的传播

1、第四章 电磁波的传播4.1 平面电磁波1、电磁场的波动方程（1）真空中在，的自由空间中，电磁强度和磁场强度满足波动方程 （4.1.1） （4.1.2）式中米/秒 （4.1.3）是光在真空中的速度。（2）介质中当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数和磁导率一般地都随电磁波的频率变化，这种现象叫色散。这时没有和的一般波动方程，仅在单色波（频率为）的情况下才有 （4.1.4） （4.1.5）式中 （4.1.6）是频率的函数。2、亥姆霍兹方程在各向同性的均匀介质内，假设，则对于单色波有 （4.1.7） （4.1.8）这时麦克斯韦方程组可化为 （4.1.9） （4.1.10） （4.1.11）（4.1.

2、9）式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足时，才是麦克斯韦方程的解。3、单色平面波亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波 （4.1.12） （4.1.13）式中为波矢量，其值为 （4.1.14）平面波在介质中的相速度为 （4.1.15）式中和一般是频率的函数。算符和作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化为 （4.1.16）即，而。电场和磁场的关系为 （4.1.17）式中，为波传播方向上的单位矢量。4、电磁波的能量和能流电磁波的能量密度为 （4.1.18）对于单色平面波有，故 （4.1.19）单色平面波的能流密度为 （4.1.2

3、0）对时间平均的能流密度为 （4.1.21）4.2 电磁波在介质交界面上的反射和折射如图1-3-1所示，取两介质的交界面为xy平面，z轴从介质1指向介质2。设平面电磁波从介质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的电场强度分别为入射波： （4.2.1）反射波： （4.2.2）折射波： （4.2.3）1、反射定律和折射定律电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律 （4.2.4） （4.2.5）式中为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质，故可得 （4.2.6）2、反射波和折射波的振幅（1）菲涅耳公式按入射波电矢量的振幅分下列三种情形：（i）垂直于入射面 （4.2.7）

4、 （4.2.8）（ii）平行于入射面 （4.2.9） （4.2.10） （iii）与入射面斜交把三个波的电矢量的振幅都分解为垂直于入射面的分量和平行于入射面的分量，如图1-3-2所示，即 （4.2.11） （4.2.12） （4.2.13）结果得出，和都只与有关；而和则都只与有关。具体关系如下： （4.2.14） （4.2.15） （4.2.16） （4.2.17）可见（i）和(ii)是（iii）的两种特殊情况。 （2）反射和折射产生的偏振由（4.2.16）式可知，在的情况下，平行于入射面的分量没有反射波，因而反射波便是垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒斯特定律，这时的入射角称为布儒

5、斯特角，其值为 （4.2.18）3、全反射由折射定律知，当电磁波从较大的介质入射到较小的介质的交界面上时，折射角大于入射角，当时，变为，这时的入射角称为临界角，其值为。若入射角再增大，当时，。这时就是复数，因而不再具有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律仍然成立。这时折射波为 （4.2.19）是沿交界面x方向传播的电磁波。它的振幅沿z轴方向指数衰减。当振幅衰减到交界面上的振幅的时，沿z方向的距离为 （4.2.20）在一般情况下，和波长同数量级。因此在发生全反射时，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度为的薄层内。当时，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，对时间平均来说，入射波的

6、能量全部被反射，所以叫做全反射。4.3 有导体存在时电磁波的传播1、导体的弛豫时间在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度出现时，就会引起电流流动。与时间的关系为 （4.3.1）式中是导体的电导率。，叫做导体的弛豫时间，它等于值减小到的时间。在交变场中，只要电磁波的频率满足 （4.3.2）就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。2、导体内的电磁波对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为 （4.3.3） （4.3.4） （4.3.5） （4.3.6）式中 （4.3.7）叫做导体的复介电常数。由（4.3.3）（4.3.6）可得导体内的

7、亥姆霍兹方程为 （4.3.8） （4.3.9）这时是一个复矢量，设 （4.3.10）则方程（3.3.8）的单色波解为 （4.3.11）其中的实部称为周相常数，虚部称为衰减常数。如图1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上，平面为入射面。则由边值关系 ， 可得 ， （4.3.12）其中 （4.3.13） （4.3.14）3、穿透深度当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得 （4.3.15）这时，透射波的振幅随z作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的时，沿z方向经过的距离定义为穿透深度 （4.3.16）4.4 谐振腔谐振腔是各面都由金属壁构成的一个

8、空腔，在腔内能够激发各种特定频率的驻波。1. 矩形谐振腔中的电磁波矩形谐振腔如图1-3-5所示。解亥姆霍兹方程，并把金属壁当作理想导体，利用边界条件得出：矩形腔内电磁场的振幅为 (4.4.1)式中 （4.4.2）、为任意正整数或零。，和为任意常数；但因，故，和之间有如下关系： （4.4.3）所以，和之中仅有两个是独立的。2. 本征频率对于每一组值，谐振腔的本振频率为 （4.4.4）3. 偏振波型对于每一组值，有两种独立的偏振波型，它们的电场互相垂直。矩形谐振腔可看做是由轴向长度为的一根矩形波导管，在两端加上与波导轴线垂直的金属端面构成。由于端面的存在，波导内的场现在有两部分迭加而成：一部分是沿

9、方向传播的波，另一部分是沿负方向传播的波。这样对波来说，其纵向分量便为 又因为在端面上有 （4.4.5）故。于是得 最后得到，能在矩形谐振腔内存在的电磁场是一种驻波，其表达式如下： （4.4.6） （4.4.7） （4.4.8） （4.4.9） （4.4.10） (4.4.11)这驻波是谐振腔中一种独立的偏振波型，它与波导中的波相对应。对于同一组值来说，与波导管中的波相对应的另一种独立的偏振波型，可以用类似的方法求出。4.5 波导管1. 波导管中的电磁波传播电磁波的长直金属管叫做波导管。波导管中传播的电磁波与自由空间的电磁波相比，由于边界条件不同，在性质上也有些不同。设以波导管的轴线为轴，则波

10、导管内沿轴传播的频率为的电磁波可表示为 （4.5.1） （4.5.2）因满足下列方程 （4.5.3）故得 （4.5.4）式中，为沿方向的分量。2. 波和波把（4.5.1）式和（4.5.2）式代入麦克斯韦方程组，得 （4.5.5）由此可得，场的横向分量可用纵向（轴向）分量表示如下 （4.5.6） （4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）可见，只要知道场的纵向分量，波导管内的电磁场就可完全确定。由（4.5.6）至（4.5.9）诸式可以看出：波导管内不能传播波（即的横电磁波）。波导管内可以传播波（即的横电磁波）和波（即的横电磁波）。3. 矩形波导管横截面为矩形的波导管叫做矩形波导管。设管内横截

11、面积为，取坐标如图1-3-4所示，电磁波沿轴方向传播。（1）波由（4.5.6）至（4.5.9）诸式可知，波由电磁场的纵向分量决定。由方程（4.5.4）得 （4.5.10）边界条件为 （4.5.11）由分离变量法可知，（4.5.10）式满足上述边界条件的解为 （4.5.12）式中是常量，（为正整数或零）。把（3.4.12）式分别代入（4.5.6）至（4.5.9）诸式，得波为 （4.5.13） （4.5.14） （4.5.15） （4.5.16） （4.5.17） （4.5.18）（2）波波由电场的纵向分量决定。满足方程 （4.5.19）边界条件为 ， （4.5.20）（4.5.19）式满足上述边

12、界条件的解为 （4.5.21）把（4.5.21）式代入（4.5.6）至（4.5.9）诸式得波为 （4.5.22） （4.5.23） （4.5.24） （4.5.25） （4.5.26） （4.5.27）4. 波导管中电磁波的特点（1）波型在波导管内不可能存在波，只能存在波或波。在波导管的横截面上，场的分布情况取决于这两个常数，每一组的值对应两种独立的波型，分别记为波。（2）截止频率模式为的电磁波的截止频率为 （4.5.28）当电磁波的频率时， （4.5.29）是虚数，这时传播因子就变为衰减因子，因而不能在波导管中传播。（3）波长电磁波在波导管中的波长比在自由空间中的波长长，即 （4.5.30）（4）相速度和群速度由相因子可得电磁波沿方向的相速度为 （4.5.31）可见，在波导管中电磁波的相速度大于真空中的光速。但这并不违反相对论，因