高等数学函数的单调性与极值.

1、第三章第三讲 函数的极值与导数,一、函数的单调性与导数符号的关系,导数大于零f (x)0 ，函数f (x)单调增加 导数小于零f (x)0 ，函数f (x)单调减少。,【复习与思考】,练习,.列表分析,解,二、导数的简单应用,【复习与思考】,。求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。,极大值点,极小值点,称f (x2)为极大值,极小值f (x),称为极值点,【函数极值】,一、函数极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值定义请同学们自己看书.,函数极值怎么定义？ 有谁来说一

2、说.,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0),【函数极值的定义】,(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值，,x0叫做函数的极值点。,观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。,(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点;,(2)

3、极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况。,【问题探究】,问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?,(是极值点情形),(不是极值点情形),问题:f (x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？,【问题探究】,问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?,观察与思考：,如何找极值点？,找单调上升，下降分界点,f (x)全部零点(驻点)或不可导点,导数等于零的点和不可导点.,判断,三.求函数y = f (x)极值的一般步骤是：,(3)找

4、出所给函数的驻点和导数不存在的点；,(4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；,(5)求出极值点处的函数值，得到极值.,请同学总结求极值的步骤,（1）确定函数的定义域,.,极大值,极小值,解,5.,极值,四、例题讲解,例1,例 确定函数f(x)2x39x212x3的极值,解 (1) 函数的定义域为( ) (2) f (x)6x218x126(x1)(x2) (3)导数为零的点为x11、x22 (4)列表分析,(5)函数f(x),( 1),(1 2),(2 ),y2x39x212x3,1,2,极大值,极小值,练习：见习题册2.13,解,极大值f(1)=1,单调增加区间,单调减少区间,1 确定函数f(x) 的单调区间和极值,解 (1) 函数的定义域为 (2) f (x) (3)导数为零的点 ,不可导点为 (4)列表分析,(5)函数f(x)在区间( 单调减少 在区间)上单调增加,练习,解 (1) 函数的定义域为( ) (2) f (x) x2e x (3 x) (3)导数为零的点为x10 ，x3, (4)列表分析,(5)函数f(x)在 )区间单调减少 在区间(