暑期集体备课--行程、工程

1、精品 料推荐行程问题串讲（1）行程要素基本关系和常见方法知识点拨本节课我们学习5 个基础的行程类型并尝试深刻理解行程三要素之间的对应关系。行程问题之所以难， 因为孩子们无法参与进来， 即使读懂了题目， 清楚题目描述的行程过程，但仍旧无法有效的将这些信息联系起来理不清已知信息之间的变化和关系。行程常用的三个技巧：1、方程高效地设未知数，直接正面列关系等式建立方程。因是直接正面找等量关系所以好想。2、比例行程三要素间有严格对应的比例关系，解释一下什么叫严格对应：相同的速度下可视为一个行程过程， 不同的速度视为不同的行程过程， 即速度发生变化时当分开讨论计算。3、设数设具体的数据，参与行程过程，能解

2、决不少问题或帮助解决问题，即体验行程过程中量之间的关系。读完行程问题， 清楚题目描述的行程过程后，第一件事情是画图。一般情况是边读题边画图。美观的示意图有助于理清行程量之间的关系。比如画线段表示 50 千米，再画线段表示 100 千米时尽量画成前一线段长度的两倍。1精品 料推荐【行程问题串讲总览】1. 行程要素基本关系和常见方法2. 相遇和追及3. 多次相遇和追及4. 多人相遇和追及5. 比例解行程问题以上是五种模型和常见行程问题的分析方法以下是上面的方法和模型在特殊场地的应用6. 火车问题7. 流水行船8. 猎狗追兔9. 环形跑道10. 走走停停11. 变速问题12. 扶梯问题13. 发车间

3、隔14. 接送问题15. 时钟问题2精品 料推荐例题精讲【行程三要素及通过平均速度加深对三要素之间关系的理解】一、 s 、 v 、 t 探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s 、 v 、 t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。 那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t ，这个字母t 代表英文单词time ，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v ，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity ，而不是我们常用来表示速度的speed 。 velocity 表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是

4、distance，但这个单词并不是以字母s 开头的。关于为什么会用s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v 和代表时间的t 在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s 来表示速度。二、关于 s、 v、 t 三者的基本关系速度 时间 =路程路程 速度 =时间路程 时间 =速度可简记为： s = vt可简记为： t = s v可简记为： v = s t三、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。1.邮递员早晨7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12 千米上坡路， 8 千米下

5、坡路。他上坡时每小时走4 千米，下坡时每小时走5 千米，到达目的地停留1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?2.一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过 57 秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360 米 ;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340 米 ,求火车的速度?(得数保留整数)3.四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以2 米 / 秒和 3 米 / 秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2 米 / 秒和 3 米 / 秒的速度各划行比赛时间的一半.你认为这两个方案哪个好？4.甲从 a 地出发去80 千米外的b 地，前一半

6、时间速度为60 千米 / 时，后一半时间速度为100 千米，问：甲走前一半路程用了多少时间？5.甲从 a 地出发去80 千米外的b 地，前一半路程速度为60 千米 / 时，后一半路程速度为100 千米，问：甲走后一半时间走了多少路程？3精品 料推荐6. （ 2007年 4 月 “希望杯 ”四年级 2 试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3 千米，下山每小时行6 千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？7.甲乙两地相距60 千米，小汽车8 点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1 千米，后一半时间每分钟行0

7、.8 千米。小汽车到达乙地的时间是几点？(一题三解，方程、比例、平均速度）8.小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟已知小红下山的速度是上山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？9.(华杯赛试题 )某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12 小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙地， 如果他从甲地先骑自行车21 小时， 再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？10.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，那么可比原定时间提前1 小时到达；如果以原速行驶 100 千

8、米后再将速度提高30%，那么也比原定时间提前一小时到达。求甲乙两地距离。行程问题串讲（2）相遇与追及例题精讲1、 a、b 两地相距 4800 米，甲乙两人分别从a、b 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 100 米，请问：（ 1）甲从 a 走到 b 需要多长时间？（ 2）两个人从出发到相遇需要多长时间？2、在第 2 题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时方向改变，即两人同时同向出发。请问：乙出发后多久可追上甲？3、甲乙两地相距 350 千米，一辆汽车早上 8 点从甲地出发，以每小时 40 千米的速度开往乙地。 2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的速度从乙

9、地开往甲地。什么时候两车在途中相遇？4、小悦和东东分别从相距720 米的两地出发同向而行，且东东比小悦先出法2 分钟。已知小悦的速度是每分钟 60 米，东东的速度是每分钟 50 米。问，当小悦追上东东的时候，东东已经走了多少米？4精品 料推荐5、一辆公共汽车和一辆小轿车和相距350 千米的两地同时出发，同向而行。公共汽车在前每小时行 40 千米，小轿车在后，每小时行60 千米。问，（1）2 小时后两车相距多少千米？（2）经过几小时后两车相距50 千米？6、甲乙两人分别在a 地和 b 地，甲从 a 地到 b 地需要 20 分钟，乙从 b 地到 a 地需要 30 分钟。如果两个人同时出发相向而行，

10、多长时间可以相遇？7、甲、乙两车分别从a、 b 两地同时出发相向而行。已知甲车每小时行驶40 千米，两车 6小时后相遇，相遇后他们继续前进，又过了3 个小时，甲车到达 b 地。问，乙车还需要多久到 b 地？8、甲、乙两车分别从a、 b 两地同时出发相向而行。已知甲每分钟走50 米，已走完全程需要 18 分钟。出发 3 分钟后，甲、乙仍相距 450 米。问，还需要多少分钟甲、乙两人才能相遇？9、甲、乙两人分别从a、 b 两地同时出发，6 小时后相遇在中点。如果甲延迟1 小时出发，乙每小时少走4 千米，两人仍在中点相遇。问，甲、乙两地相距多少千米？10、甲、乙两车分别从a、b 两站同时出发，相向而

11、行。已知，甲的速度是乙车的2 倍，甲、乙到达途中c 点的时间依次为5:00 和 17:00 。问，两车是几点相遇的？11、甲、乙两人分别由 a、b 两地同时出发，如果相向而行， 1 小时后两人相遇。如果同向而行，且乙先出发 2 小时，那么甲 3 小时后追上乙。问，甲的速度是乙的几倍？行程问题串讲（3）多次相遇和追及知识点拨4、学会画图解行程题5、能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题6、能够利用比例解多人相遇和追及问题例题精讲1. 甲乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑 4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？5精

12、品 料推荐2.甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步， 甲的速度是每秒3 米，乙的速度是每秒2 米如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？3. 甲乙二人以均匀的速度分别从a、 b 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离a 地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距b 地 4 千米处第二次相遇，求两人第5 次相遇地点距b 多远 .4.甲乙两人分别从 a 、 b 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的2 ，二人相遇后继续3行进，甲到 b 地、乙到 a 地后立即返回已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是 100 千米，那么， a 、 b 两地相距千米5

13、.ab 是圆的直径的两端，小张在a 点，小王在b 点同时出发反向行走，他们在c 点第一次相遇， c 离 a点 80 米；在d 点第二次相遇，d 点离 b 点 6o米. 求这个圆的周长 .6.(2008 年国际小学数学竞赛) a 、 b 两地相距950m ，甲、乙两人同时从a 地出发，往返 a 、 b 两地跑步 90 分钟甲跑步的速度是每分钟40m ；乙跑步的速度是每分钟150m 在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离b 点的距离最近？最近距离是多少？b 级挑战题?a 、 b 两地间有条公路，甲从a 地出发，步行到b 地，乙骑摩托车从b 地出发，不停地往返于 a 、 b 两地

14、之间，他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达b 地时，乙追上甲几次？a 级挑战题? (仁华入学试题 )甲、乙两车同时从同一点 a 出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65 千米，乙车每小时行驶55 千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11 次相遇的地点距离a 点有多少米？ (每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)6精品 料推荐行程问题串讲（4）多人相遇和追及知识点拨7、能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用8、根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图9、能将复杂的多人

15、相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。例题精讲1.李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2 千米。又过了 1.5小时， 张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？2.有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走80 米，丙每分钟走 75 米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6 分钟后，甲又与丙相遇 . 那么，东、西两村之间的距离是多少米?3.甲乙丙三人，甲每分钟走40 米，丙每分钟走60 米，甲、乙两人从a、 b 地同时出

16、发相向而行，他们出发 15 分钟后，丙从 b 地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63 分钟丙才追上乙，那么a、 b 两地相距多少米？4. 甲乙丙三辆车同时从 a 地出发到 b 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米时和 48千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5 时、 6 时、 8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。5.甲乙丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走， 甲速度是每小时5.4 千米， 乙速度是每小时4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？6

17、. （仁华学校期末考试四年级试题）甲、乙、丙、丁 4 人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点 78 米，乙距起点 27 米，丙距起点 23 米，丁距起点 16 米那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和7精品 料推荐7.ab两地相距 336 千米，有甲、乙、丙3 人，甲、乙从 a 地，丙从b 地同时出发相向而行，已知甲每小时行36 千米，乙每小时行 30 千米，丙每小时行24 千米，问几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？8.（ 2007年“希望杯”第一试）a 、 b 两地相距 203米，甲、乙、丙的速度分别是4 米 /分、 6 米

18、 / 分、 5 米/ 分。如果甲、乙从a ，丙从 b 地同时出发相向而行。问，多少分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2 倍。9.甲乙丙三辆车先后从a 地开往 b 地，乙比丙晚出发 5 分，出发后45 分追上丙；甲比乙晚出发 15 分，出发后1 时追上乙。甲和丙的速度比是多少？10. 甲乙丙三车同时从 a 地沿同一公路开往 b 地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、 8 分钟、 14 分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000 米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？c 级挑战题(2008年三帆中学考题) 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙

19、与丙按逆时针方向走 甲第一次遇到乙后又走了 1 分 15 秒遇到丙，再过 3 分 45 秒第二次遇到乙 已知甲、乙的速度比是 3: 2 ，湖的周长是 600 米，求丙的速度b 级挑战题( 仁华测试题）甲、乙两人从相距490 米的 a 、 b 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 a 出发，在甲、乙二人之间来回跑步 ( 遇到乙立即返回， 遇到甲也立即返回 ) 已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时， 甲、乙二人相距 210米，那么乙每分钟走_米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距_米a 级挑战题(2009年迎春杯复赛高年级组) 一条路上有东、西两镇一天，甲

20、、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20 千米，当乙与丙相遇时， 甲距他们30 千米当甲到达西镇时，丙距东镇还有20 千米， 那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米丙甲乙afcedb8精品 料推荐工程问题知识点拨工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1 ”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一 工程问题的基本概念定义： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

21、工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率工作时间，工作效率 =工作总量工作时间，工作时间 =工作总量工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数

22、应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中， 要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率， 最后再利用先前的假设 “把整个工程看成一个单位” ，求得问题答案 一般情况下，工程问题求的是时间9精品 料推荐例题精讲1.一项工程，甲单独做需要 28 天时间，乙单独做需要 21 天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？2. 一项工程，甲单独做需要 30 天时间，甲、乙合作需要 12

23、 天时间，如果乙单独做需要多少时间？3.甲乙两人共同加工一批零件，8 小时可以完成任务如果甲单独加工，便需要12小时完成现在甲、乙两人共同生产了2 2 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了5420 个零件才完成任务问乙一共加工零件多少个?4.一项工程，甲、乙合作需要20 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？5.一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满；乙、丙两管同时开，4 小时灌满现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开2 小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？6.( 2007 年四中考题 ) 某水池可以用甲、乙

24、两个水管注水，单开甲管需12 小时注满，单开乙管需 24 小时注满，若要求10 小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放小时7.有 10 根大小相同的进水管给a 、 b 两个水池注水，原计划用4 根进水管给 a 水池注水，其余 6 根给 b 水池注水，那么5 小时可同时注满因为发现a 水池以一定的速度漏水，所以改为各用5 根进水管给水池注水，结果也是同时注满(1) 如果用 10根进水管给漏水的 a 水池注水，需要多少分钟注满?(2) 如果增加 4根同样的进水管，a 水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少

25、分钟?( 结果四舍五入到个位 )8.甲乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务甲车单独清扫需10 小时，乙车单独清扫需 15 小时，两车同时从东、 西城相向开出， 相遇时甲车比乙车多清扫 12千米问：东、西两城相距多少千米？9. 一项工程，甲单独完成需要 12 天，乙单独完成需要 9 天若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，问甲做了几天？10.（ 2009 年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40 天完成，乙单独做60 天完成现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27 天才完成问甲休息了几天？10精品 料推荐11.一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独

26、做要24 天 . 件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍， 于做完了 件工作 . 共用了多少天？12.一些工人做一 工程，如果能 来16 人，那么10 天可以完成；如果只 来4 人，就要 20 天才能完成，那么 走 2人后，完成 工程需要天例题精讲1. （ 2009 年十三分小升初入学 ）甲、乙两人同 加工同 多的零件，甲每小 加工 40 个，当甲完成任 的1 ，乙完成了任 的1 差 40个 乙开始提高工作22效率，又用了 7.5 小 完成了全部加工任 甲 剩下20 个零件没完成求乙提高工效后每小 加工零件多少个？2. （ 2009 年第七届“希望杯”六年 第1 ）甲、乙两个工程 分 两 工程晴天，甲完成工程需要 10 天，乙完成工程需要 16 天；雨天，甲和乙的工作效率分 是晴天 的 30% 和 80% 情况是两 同 开工、同 完工那么在施工期 ，下雨的天数是天3. 甲乙两 合作挖一条水渠要30 天完成，若甲 先挖 4天后，再由乙 独挖 16 天，共挖了 条水渠的2 如果 条水渠由甲、乙两 独挖，各需要多少天？54.甲乙丙三 要完成a ， b 两 工程， b 工程的工作量是 a 工程工作量再增加1，如果a 工程所需要的