二次函数与几何图形综合

1、二次函数与几何图形综合类型1利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积1(牡丹江中考)如图，抛物线yax22xc经过点A(0，3)，B(1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长2二次函数yx2mxn的图象经过点A(1，4)，B(1，0)，yxb经过点B，且与二次函数yx2mxn交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(

2、点N在BD上方)，过N作NPx轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值3如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标类型2二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决4如图，已知抛物线y(x2)(x4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(2，

3、n)，求使MNBN的值最小时n的值5如图，已知抛物线y(x2)(xm)(m0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AHCH最小，并求出点H的坐标6如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OC3.(1)求抛物线的解析式(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上

4、，AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数yx2bxc的图象抛物线经过A，C两点(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值8.如图，抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(3，0)请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长9.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式； (

5、2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标； (3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由. 参考答案1.(1)抛物线yax22xc经过点A(0，3)，B(1，0)，解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为(1，4)BE2，DE4.BD2.2.(1)二次函数yx2mxn的图象经过点A(1，4)，B(1，0)，解得二次函数的表达式为yx22x3.(2)yxb经过点B，1b0.解得b.yx.设M(m，m)，则N(m，m22m3)，

6、MNm22m3(m)m2m(m)2.MN的最大值为.3.(1)该抛物线过点C(0，2)，设该抛物线的解析式为yax2bx2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得解得此抛物线的解析式为yx2x2.(2)设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为t2t2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为yx2.E点的坐标为(t，t2)DEt2t2(t2)t22t.SDCA(t22t)4t24t(t2)24.当t2时，DCA面积最大D(2，1)4.(1)令y0，得(x2)(x4)0，解得x12，x24；令x0，得y.A(2，0)、B(4，0)、C(0，)(2)过点A(2，0)作y轴的

7、平行线l，则点B关于l的对称点B(8，0)，又M(1，)，连接BM与l的交点即为使MNBN值最小的点设直线BM的解析式为ykxb，则解得yx.当x2时，n.5.(1)抛物线过点G(2，2)时，(22)(2m)2，解得m4.(2)m4，y(x2)(x4)令y0，(x2)(x4)0，解得x12，x24.则A(2，0)，B(4，0)抛物线对称轴为直线l：x1.令x0，则y2，所以C(0，2)B点与A点关于对称轴对称，连接BC，BC与直线l的交点便为所求点H.B(4，0)，C(0，2)，求得线段BC所在直线为yx2.当x1时，y，H(1，)6.(1)由已知条件得A(2，0)，C(0，3)，代入二次函数

8、解析式，得解得抛物线的解析式为yx2x3.(2)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点设直线AD的解析式为ykxt.由已知得解得直线AD的解析式为yx1.对称轴为直线x，将x代入yx1，得y.P(，)7.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数yx2bxc，得解得故二次函数的表达式为yx2x4.(2)延长EC至E，使ECEC，延长DA至D，使DADA，连接DE，交x轴于F点，交y轴于G点，GDGD，EFEF，(DGGFEFED)最小DEDE，由E(5，2)，D(4，4)，得D(4，4)，E(5，2)由勾股定理，得DE，DE3，(DGGFEFED)最小DEDE3.8.(1)抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(3，0)，解得yx22x3.(2)点E(2，m)在抛物线上，m4433.E(2，3)BE.点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，H是AB中点，FHBE.9、.(1)函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=-1，二次函数的解析式为y=x2-3x. (2)假设存在点B，过点B作BDx轴于点D. AOB的面积等于6，AOBD=6. 当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.AO=3.BD=4，即4=x2-3x.解得x=4或x=-1(舍去). 又顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.254，x轴下方不存在B点.点