矩形的性质和判定 教师版

1、1.3 矩形的性质和判定 1.3 矩形的性质和判定学习目标：1、学会识别矩形；2、掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单的问题；3、会运用矩形的知识解决有关问题,重点：掌握矩形的性质，并学会应用难点：理解矩形的特殊性【知识梳理】1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半点评：这两条直角

2、三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得3矩形的判定判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形判定：有三个角是直角的四边形是矩形【例题精讲】【矩形的判定】【例1】如图，在四边形中，求证：四边形是矩形【解析】，在和中 ()，四边形是平行四边形，四边形是矩形【例2】如图，已知在四边形中，交于，、分别是四边的中点，求证四边形是矩形 【解析】、分别是四边的中点、为中位线且四边形为平行四边形，四边形是矩形【例3】如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形【解析】四边形是平行四边形， 是的中点，在和中 ()，四边形是矩形【例4】设凸四边形的

3、4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【解析】这个四边形是矩形由已知得变换此式有得；得，故知是平行四边形又得，因此，四边形是矩形【例5】如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形【解析】四边形为平行四边形，、分别是、的平分线同理四边形是矩形【例6】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结 、求证：、 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论【解析】 、，是的中点， ，（2）四边形是矩形，是的中点（利用全等），四边形是平行四边形又 四边形是矩形【例7】已知，如图，在中，是

4、边上的高，是的外角平分线，交于，试说明四边形是矩形 【解析】，又，又，是平行四边形，四边形是平行四边形又，平行四边形为矩形本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形【例8】如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 、 求证：四边形是菱形； 、连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？【解析】 是由绕点旋转得到， 是等边三角形 又是由沿所在直线翻转得到，点、三点共线是等边三角形 四边形是菱形 四边形是矩形 由可知：是等边三角形，于，又，四边形是平行四边形，而 四边形是矩形【例9】 如图，在中，于，于，的两条高相交于，求的长 【解析】过作于，连

5、接、，又，四边形为平行四边形，又，且四边形为矩形，又四边形为平行四边形，即，【例10】已知，如图矩形中，延长到，使，是中点求证：【解析】延长交于，连结四边形是矩形，是中点，在和中，【矩形的性质及应用】【例11】如图，在矩形中，点是上一点，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即 .(写出一条线段即可)【解析】连接.四边形是矩形，.又，又，.【例12】如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：.【解析】四边形是矩形.在和中，又，.【例13】如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A B C D【解析】，为等边三角形，【例14】

6、矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是 【解析】，【例15】如图，矩形中，对角线、交于，于，则_【解析】 ，【例16】 如图在矩形中，已知，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值【解析】法一：作于，于，则又易证，从而，所以而，则在中，根据面积公式有，则， 法二：利用面积相等，连接并作， 法三：延长过点作的延长线，垂足为，过点作于易证，由矩形可知，【例17】如图，在矩形ABCD中，BC=2，AEBD于E，若BAE=30，则 【解析】 ，【例18】已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：【解析】如图，过点作，分别交、于，两点，【例19】已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：【

7、解析】 过点作垂直，分别交、于、两点 又【例20】如图所示，矩形内一点到、的长分别是、，求的长【解析】 过点分别作、的垂线，垂足分别为、，显然，都是矩形，则，另解：如图所示，连接、交于点，连接因为，故（中线定理），而，故，则【例21】 如图，是矩形的对角线交点，过点作分别交、于、，若，求四边形的面积【解析】 由为矩形可知，又，又， 故从而可知为菱形，又，在直角中，由勾股定理有，解得故四边形的面积为()【例22】如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为、判断是什么图形,并加以证明；、若，求的长；、四边形中，比较与的大小【解析】 等腰梯形；易证得，结论易得 过点作，垂足为 为等腰梯

8、形 ， ， ， 由可知， 【例23】如图所示，在矩形和矩形中，若，求证： 【解析】 ，是平行四边形又，是菱形连接，则，从而证得，【例24】矩形中，延长到，使，是的中点，求证： 【解析】 解法一：如图，连接，是的中垂线又在中，为斜边的中点，又，而，又，解法二：如图，连接交于，连接则，又，而，又，是直角三角形故解法三：如图，延长、交于，连接，又，是的中垂线解法四：如图，延长、交于，连接，又，又，是的中垂线【例25】已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：【解析】 连结交于，四边形为矩形，平分，【例26】在矩形中，点是边上一点，连结，且，是的平分线点从点出发沿射线运动，过点作交直线于点 当点在射线上运动时（如图1），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的猜想； 若，设长为，以三点为顶点所构成的三角形面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 在的条件下，当点运动到线段的中点时，连结，过点作，垂足为，交于点（如图2），求线段的长 【解析】 当点在线段上时，