滤波实验报告

1、.信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波一、实验目的：（1）理解连续时间信号的采样与恢复过程；（2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握shannon采样定理；（3）学会利用 matlab 软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。（4）学会 fir 滤波器的简单设计方法二、实验内容：给定原始信号如下式所示：f (t )10.5sin 2f1t0.2sin 2f2 t ，其中， f1 , f 2 是信号原始频率（本实验中为自选常数，f1 为低频， f 2 为高频）。确定一个采样频率 fs 对 f (t) 进行采样，再将采样得到的序列进行dft，画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波，再反

2、变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。三、实验过程：先选定 f1=50hz、 f 270hz ，则原始信号表示为：f (t)10.5sin(250t )0.2sin(270t)1、原信号时域截取：因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用 matlab 处理图形，只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的m 倍， m 为正整数。所以画出截取后的信号图像为.图 1 截断后的信号图像原信号中低频为 50hz，高频为 70hz，取采样频率 f s 为 3倍的 f 2 ，即fs370hz210hz 。50和70的最大公约

3、数为 10，所以原信号的最小正周期为1/10s，这里取 m为3（即取窗口函数的宽度为 3/10s），相应的采样点数 nc=140 0.3 42 ，所以窗口函数为10t0.3st0 其他其图像如图 2所示， 其傅立叶变换图像如图 3所示，其公式如下：ftsin(0.5 ) e j /2 ，其中0.3s0.5图 2窗函数图 3 窗函数傅里叶变换（ ctft）.时域截取的过程就是原函数f t 在时域乘以t ，而在频域 f与 sin(0.5) e j /2 做卷积运算后再乘以系数 1/ 20.5，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信号的过程， 本实验中取信号横坐标为 0,0

4、.3)，截取后的 ct信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。图 4 截取后的 ct 信号（ 0 s,0.3 s) ）的 ctft fj2、截断信号的时域采样截断后的信号就可以在时域上进行采样，采样函数为(tnts ) ，截断后的信号f j t 乘以(n nts ) ，所以在频域相当于 1/ 2 fj与 s(n s ) 进行卷积， 其得到的图像为周期的，其图像与离散采样信号的dtft 形式相同。以上为 ct 信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用dft 和idft进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图所示.图 5 采样后的信号对上述有限的

5、离散信号求dtft ，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率取 0,6.28 之间的 629个样点，计算其dtft ，并画出图像如下图 6 有限采样信号的 dtft 频谱如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进行周期延拓，如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中，有n个采样点，则离散采样信号将以n为离散周期进行延拓。如果令n nc 63,则其相当于原始周期信号的采样。利用 dft ，我们可以完成这个过程，dft 公式为x (ej 2 k / n1 n 1x ngej 2 nk / n)n n 0其类似于 dtfs 公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频谱，其频谱与连续周期信号的

6、频谱在形式上极为相似，只要保证 n nc ，频谱赋值在数值上相同。其图像如下：.图7 离散信号的 dft 离散频谱3、设计离散滤波器并进行滤波。目前，只进行了低通滤波。目标：滤除 70hz 的高频成分，保留直流分量和50hz 的低频成分。方法：采用窗函数法设计fir 滤波器。采用海明窗。具体步骤：（ 1）、取通带截止频率为p2f12f2pst,，取阻带起始频率为st，c2fsfs取阻带衰减不小于 -50db。（ 2）、求理想滤波器的冲击响应。hd (ej )e j t| c |0|c |1sinc( n )|c|( n)hd (n)c|c |(3)、选择窗函数本实验取海明窗w( n)0.540

7、.46cos 2n rn (n)n1(4)、确定 n 值。海明窗带宽： v6.6/ n ， v2 ( stp ) / s ，所以求得 n 为 35（ 5）、确定 fir 滤波器的 h(n)h(n) hd ( n)w(n)（ 6）、求 h (ej )经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示.图 8 滤波器单位冲击响应图 9 数字滤波器的频谱图下面进行滤波，把 离散信号的dft 离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进行了频域滤波。滤波后的离散频谱如下图所示图 10 滤波后的离散频谱图利用 idft 进行反变换得到滤波后的离散信号，其图像如下.图 11 idft 后的离

8、散信号4、离散信号变为连续信号（插值）（1） 利用理想插值函数进行插值，其插值函数图像如下图 12 理想插值函数插值效果如下图所示图 13 原始信号复原图.但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非因果，且为无穷信号。与此同时，通过观察发现，在复原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散信号点为有限个， 所以存在误差， 当在边界进行插值时， 边界另一边没有信号值，所以误差较大，当采样点为无穷个时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。（2） 一阶线性插值，其插值函数图像如下图 14 一阶线性插值函数插值效果如下图所示图 15 原始信号复原图一阶线性插值插值误差较大， 但基本

9、反映出了图像的形态， 其在物理上可以实现。通过观察，上述复原图在边缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数具有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、参数调整通过上面的实验， 我对信号采样与复原过程有了一定的了解，下面通过参数调整来加.深理解。（ 1）窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数倍。之前取m=3，这里取m=1.5。得到的结果如下，这是因为，利用dft 在计算周期延拓离散信号的频谱的时候，在时域延拓后的图像与原图像已经不一样了。.（ 2）、对于最高频率分量幅值不为零或不趋于零的信号，

10、采样频率要严格大于两倍最大频率上述实验中采样频率取值为3 倍的信号最大频率分量，下面取fs270 hz140hz ，实验结果如下通过观察发现，频谱中没有 70hz 对应的成分，这是因为以 2 倍的频率来采样asin(t)这 样的谐 波， 得到的离散 点无法反映 该信号的全 部特征，在 这里对该信 号的采样， 全部在.t k / ,k 0,1,2,3. 时刻，当0时，所有的采样值都为零， 就如上图所示， 当取其他值时，将会在频域发生混叠。 这里取0.2 ，改变题干， 令 f (t ) 1 0.5sin 2 f1t 0.2sin(2f2 t 0.2)，得到的结果，如下所以，对于最高频率分量幅值不为

11、零或不趋于零的信号，采样频率要严格大于两倍最大频率。( 3)采样数对于不同实验的实验结果的影响。1）通过实验发现，提高窗函数宽度，即在采样频率不变的情况下提高采样点数，对信号复原效果提高不大。2）通过实验发现， 在窗函数宽度不变的情况下， 提高采样频率能显著提高信号复原效果，但在信号边缘的误差无法得到显著改善。（ 4 ） 欠 采 样 时 ， 高 频 分 量 会关 于 采 样 频 率 反 折 而 变 为 低 频 分 量 。 例 如 取fs0.770hz49hz 时 ， 50hz 和 70hz 的 分 量 都 关 与 采 样 频 率 进 行 了 反 折 。 结 果 如 下.四、实验总结和体会（一）此次计算机模拟仿真实验，主要是做了以下一些工作：1、 模拟了连续信号采样和复原的过程。2、