大学物理课件资料 第十一章 真空中的静电场

1、第 11 章,真空中的静电场,11.1 库仑定律（Coulombs law）,11.1.1 电荷 电荷有两种 电荷量子化 (charge quantization ),1986年的推荐值为：e =1.6021773310-19库仑(C),库仑是电量的国际单位。,19061917年，密立根（R.A.millikan )用液滴法测定了电子电荷，证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷 e 的整数倍,即粒子的电荷是量子化的。,强子的夸克模型(1964年，美国）具有分数电荷 （ 或 电子电荷）但实验上尚未直接证明., 电荷是相对论不变量,在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电荷的

2、这一性质叫做电荷的相对论不变性。,电荷守恒定律的表述： 在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。 电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律。,11.1.2 库仑定律(1785),一. 点电荷,(1) 只有当两个带电体可以看作点电荷时，它们之间的距离才有确定的意义。,(2) 只有当两个带电体可以看作点电荷时，它们之间的作用力才与形状无关。,实验定出： k = 8.988010 9 Nm2/C2,国际单位制（SI）中：,q 库仑（C），,F 牛顿（N） ，,r 米（m）,表述：在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平

3、方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,电荷q1对q2的作用力,单位矢量,二. 库仑定律 (1785), 库仑定律适用的条件：, 真空中点电荷间的相互作用（否则 r 无法确定） 库仑定律在107 10-16 m 的范围内成立。, 0 真空介电常量（真空电容率）, 有理化：,有：,有理化后的库仑定律：,库仑力遵守牛顿第三定律,解,例 在氢原子内,电子和质子的间距为 . 求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.,（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）,三. 静电力的叠加原理：,实验表明：库仑力不因第三者的存在而改变 两者之间的相互作用。,第 11

4、 章,真空中的静电场,11.2 电场 电场强度,（electric field and electric field intensity）,11.2.1电场,电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说 电荷周围存在电场。,实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力， 但其相互作用是怎样实现的？,场是一种特殊形态的物质,变化的电磁场以光速传播：场具有动量、质量。,移动带电体，电场力作功：场具有能量。,电场中的带电体，受电场的作用力。,电场物质性的表现,电场与实物之间的不同在于它具有叠加性。,11.2. 2电场强度 (electric field strength),它与试探电荷电荷q0无关，反映

5、电场本身的性质。,电场强度等于单位正电荷在该点所受到的电场力。,其方向为正电荷受力的方向.,点电荷 在电场中受力,电场强度,电场强度区别于力,11.2.3 场强的叠加原理,电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点 各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。,叠加法求场强:,点电荷的电场强度,点电荷的电场分布具有球对称性,点电荷qi 的场强：,点电荷系,电荷元dq 在任意 场点 p 的场强,对场源求积分，可得总场强：,对场源求积分，可得总场强：,将带电体分割成无限多块无限小的带电体,例2 求电偶极子中垂线上一点的电场,电偶极矩（电矩）,+q 在P 点的场强,-q 在P点的场强,等量异号点电荷

6、 +q 、-q ，距离l到场点的距离 r ，称该带电体系为电偶极子。,电偶极子的轴线,例3 设有一均匀带电直线，长度为L，总电量为 q，线外一点P 离开直线的垂直距离为d，P 点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为 q1 和 q2 ，求 P 点的电场强度。,解:,(1)取电荷微元,(2) 统一变量, P点在带电直线的中垂面上时,p,均匀带电细棒为无限长：,（轴对称分布）,若d L,相当于点电荷的电场,(当 dL时),解：由对称性可知，在垂直于轴的方向上 故 p 点场强只有x分量。,当 ，场强方向沿X轴正向。 上式说明远离环心的场强相当于点电荷所产生的场。,带电圆环轴线上 的分布曲线,得,这表

7、明圆环轴线上具有最大电场强度的位置是： 原点O两侧的,解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为r，宽度为dr 的细圆环带电量。,例5 均匀带电圆盘轴线上一点的场强。 设圆盘带电量为 ，半径为 .,在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。,相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于板面，方向由电荷的符号决定。,讨论：1.当,2. 当,例 真空中有一正电荷q，均匀分布在半径为R的圆弧上，圆弧对圆心所张的圆心角为a，试求圆心处的场强。若此圆弧为一半圆周，圆心处的场强为多大？ 解：,(1) 分析对称性，建立坐标系,(2)在圆弧上取一微元： q以y轴为参考, 逆时针转为正,由对称性

8、知：,（3）,半圆周时,整个圆周时,问题：一无限长均匀带电半圆柱面，电荷面密度为，半径为R。 求轴线上任意点的场强。,由对称性分析，电场强度只有沿y方向的分量,第 11 章,真空中的静电场,11.3 高斯定理（Gauss theorem）,11.3.1 电场线和电通量 (electric field line and electric flux),电场线的性质 1)电场线起始于正电荷(或无穷处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电场线不会形成闭合曲线。,电场线上各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向； 通过垂直于电场线的单位面积的电场线的条数（数密度)等

9、于该点的场强的大小。,1.电场线,一对等量异号点电荷的电场线,一对等量正点电荷的电场线,一对不等量异号点电荷的电场线,带电平行板电容器的电场线,2.电通量（E通量）,（1） 通量,若 与面积元矢量 成任意夹角， 则通过面积元 的通量为,在均匀速度为 的流体中，设想有一垂直 于流速方向的小面元，则通过 面的流量为,上式也表示单位时间内流过 的流体体积， 叫做通过 的通量。,通过任意曲面S流体的通量等于通过S面各面元的流体通量的代数和,电场线从背面穿到正面,电场线从正面穿到背面,没有电场线穿过面元,通过任意曲面的电通量,通过 的电通量,通过闭合曲面的电通量,规定：闭合曲面外法线方向 (自内向外)

10、为正。,(3)电通量的直观图像,即通过面元 的电通量，其直观图像是通过此面元的电场线的条数。,通过闭合曲面的电通量 ，为穿过该闭合曲面的电场线的净条数。,通过 的电通量,出进,进出,出=进,例1 如图所示 ，有一个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电场中 . 求通过此三棱柱体的电场强度通量 .,解,例2：如图，均匀电场 中有一半径为R的半球面，求通过半球面的电场强度通量。 解：,11.3.2 高斯定理 （Gauss theorem）,数学表达式:,表述:,通过任意闭合曲面 S 的电通量 ，等于该曲面所包围的电荷的代数和 除以 ，与闭合面外的电荷无关。,立体角的概念：,闭合曲面对内部一点所张立体角为

11、4。,高斯定理的证明,（1）通过包围点电荷 q 的闭合曲面的电通量都等于,通过任意曲面 S 的电通量,由于一个将该点电荷包围在内的闭合曲面 S 对点电荷所张 的立体角为,通过包围点电荷 q 的闭合曲面的电通量,这一结果，是与库仑的平方反比定律分不开的。,（2）通过不包围点电荷 q 的任意闭合曲面S 的电通量恒为 0,的夹角为钝角,的夹角为锐角,但,通过这一对面积元的电通量的代数和,通过不包围点电荷 q 的任意闭合曲面S 的电通量,设静电场由多个点电荷产生，通过任意闭合曲面 S 的电通量 等于各点电荷单独存在时的电通量的代数和。,讨论,在,中， 是高斯面上的场强，,是高斯面内、外所有电荷共同产生

12、的总电场强度。,点 电场强度是否变化？,穿过高斯面 的 有否变化？,利用高斯定律求场强,高斯面选取规则,在点电荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .,11.3.3,取过场点 P ，以球心 o 为心的球面为高斯面。,例6 求电荷呈球对称分布时所产生的电场 设半径为R，总电荷量为 q., 先从高斯定理等式的左方入手, 计算通过高斯面的电通量.,再根据高斯定理解方程,（1）若电荷 q 均匀分布在半径为 R 的球面上均匀带电球面,过 P 点作圆锥，则在球面上截出两电荷元,在P 点场强,方向如图,在P 点场强,方向如图,立体角,还可这样证明,（2）若电荷 q 均匀分布在半径为

13、 R 的球体内均匀带电球体,分析：P点在半径为r 的球面上。r R 所有的球面 在 P点产生的E 均为零。P点的E 只用考虑 0 r 带 电球面的。故可知，球面（r） 上 E 的大小相等， 方向向外呈辐射状。,均匀带电球面,均匀带电球体,例7：图示为一具有球对称分布的静电场 的Er关系曲线。指出该静电场是由下 列哪种带电体产生的。,（1）半径为R均匀带电球面； （2）半径为R均匀带电球体； （3）半径为R、电荷体密度 =Ar (A为常数）的非均匀带电球体； （4）半径为R、电荷体密度 (A为常数）的非均匀带电球体。,由高斯定理可得,例8：求电荷呈无限长圆柱形轴对称均匀分布时的电场分布 （设单位

14、长度上的电荷为）,由于带电圆柱体具有轴对称分布，故由它 产生的电场也具有轴对称性。即离开圆柱体轴 线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于 圆柱面向外。,取与该圆柱体同轴的半径为r、柱高为h 的圆柱面为高斯面,可见: “无限长”圆柱形轴对称均匀分布电荷在柱面外 各点激发的电场，与电荷全部集中在其轴线上的均匀 线电荷所激发的电场一样。,（1）当电荷均匀分布在圆柱面上时,（2）当电荷均匀分布在整个圆柱体内时,例9 无限大均匀带电平面的电场,面积S,即,解: 由于电荷均匀分布在一个无限大平面上, 所 以电场分布必然对该平面对称, 而且离平 面等 远处的场强大小相等，方向都垂直背离平面。,取侧面与带电

15、平面垂直，两底与带电平面平行， 且对带电平面对称的圆柱面为高斯面。,均匀带电球面,无限大均匀带电平面的电场,讨 论,方法一,讨论：一厚度为d ，体电荷密度为 的“无限大”均匀 带电平板产生的电场,板外,板内,面积S,X,O,一厚度为d ，体电荷密度为 的“无限大”均匀带电平板 产生的电场:,例10. 一厚度为 d 的“无限大”均匀带电板，电荷体密度为 r , 试求板内外的场强分布，并画出场强在 X 轴的投影值随坐标 x 变化的图线，即Exx 图线（设原点在带电平板的中央平面上，OX轴垂直于平板）,d,X,O,X,O,（1）利用高斯定理计算具有某种对称性的带电体所产生的电场是很方便的。但高斯定理

16、不是只对有对称性的带电体产生的电场才成立，且不是所有具有对称性的带电体都可用高斯定理求场强。,（2）解题步骤： a 分析带电体所产生电场的对称性; b 选择合适的闭合曲面为高斯面； c 选择合适的坐标系，计算通过高斯面的电通量，即分别求,d,e 对结果进行分析。,利用高斯定理计算电场说明,第 11 章,真空中的静电场,11.4 静电场的环路定理,（circuital theorem of electrostatic field）,一 静电场力所做的功,11.4.1 静电场力所作的功与路径无关,在点电荷 的电场中移动 时，电场力作的功：,q0 沿任意路径由 a 点移至b 点,静电场力所作的功,1

17、. 点电荷的电场中：,2. 任意电荷的电场（视为点电荷的组合）,结论：静电场力做功与路径无关.,11.4.2 静电场的环路定理,由于电场力作功与路径无关,称为静电场的“环量”, 静电场的环路定理,静电场的环路定理说明静电场为保守场.（可以引入势能） 静电场的电场线不能闭合。,第 11 章,真空中的静电场,11.5 电势 电势与场强的关系,电荷在静电场中某一位置就具有一定的电势能。当电荷从电场中一位置移至另一位置时，其电势能的改变可用电场力的功来描述。,11.5.1 电势能,q0在电场中某点处的电势能，在数值上就等于把 q0从该点移至 零电势能处的过程中静电场力所作的功。,例：若选 在 b 点的

18、电势能为零，则 a 点的电势能,讨论,（1）电荷在静电场中某位置上具有一定的电势能，这电势能为该电荷与产生电场的电荷系所共有， 而不仅属于该电荷本身。,（2）电势能是相对量。,（3）电势能的单位是焦耳，符号为 J。,（适用于电荷任意分布）,a点的电势：,Va仅由电场性质决定, 量值上等于单位正电荷在该点的电势能,电势的其他表达：,a点的电势 为单位正电荷由a点沿任意路径移至零电势 参考点过程中，电场力所做的功。,2.任意两点的电势差为,电场中a、b 两点的电势差等于单位正电荷从a点经任意路径移至 b 点过程中电场力所作的功。,讨论,静电场中某点的电势只具有相对的意义,（1）如果场源电荷是局限于

19、有限空间，常选无限远处为电势零点 ； （2）如果场源电荷不是局限于有限空间，取带电体附近的一点为 电势零点； （3）在工程实际问题中，电器外壳要接地，常选地球为电势零点。,电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；,与电势零点的选择有关.,原子物理中能量单位,静电场力功的相关表达,-,=,b,a,ab,W,W,A,例10 求点电荷q 电场中的电势分布。,例11 求均匀带电球面电场中的电势分布。 设球面半径为R，所带电量为q。,解：,解：均匀带电球面电场分布,球面外(rR)一点的电势,与电荷q 集中在中心一样,例11 求均匀带电球面电场中的电势分布。 设球面半径为R，所带电量为q。,解：均匀带电球面

20、电场分布,球面外(rR)一点的电势,球面内(r R)一点的电势,常数,例12 求无限长均匀带电直线电场中的电势分布,已知场强为： 方向垂直于带电直线。,电荷线密度,若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。,解：,若,我们可以选取某一距带电直导线为 r0 的 p0 点为电势零点，则距带电直线为 r 的 p 点的电势：,由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时， 电势零点不能再选在无穷远处。,p 点的电场强度,电荷系电场中P点的电势，是各点电荷单独在该点建立的电势的代数和。,点电荷系电场中点P 的电势,11. 5. 3 电势叠加原理,电荷连续分布,(电荷有限分布）,例13 求电偶极子电场中的电势分布。已知电偶极子中 两点电荷-q，+q间的距离为l。,解：p点的电势为 +q 和 q 单独存在时电势的和。,当场点 p 距离电偶极子很远时，rl，,电偶极矩,p点的电势为,例14 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环 轴线上距环心为 处点 的电势.,（点电荷电势）,例15 均匀带电薄圆盘轴线上的电势,若已知在积分路径上 的函数表达式,(电荷任意分布）,（电荷有限分布,（沿路径积分）,rR2,R1 r R2,由于,例16: 求两同心均匀带电球面电场的