2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案

1、.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学2020. 01本试卷共4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 u1,2,3, 4,5, 6 ， a1,3,5， b2,3, 4 ，则集合 au b 是（ a ） 1,3,5, 6（ b ） 1,3,5（ c） 1,3（ d） 1,5（2）抛物线 y 24x 的焦点坐标为（ a） (0,1)（ b） (1，0 )（ c）

2、(0,1)（ d） (1,0)（3）下列直线与圆 ( x 1)2( y1)22 相切的是（ a） yx（ b） y x（ c） y2x（ d） y 2x（4）已知a, br ，且 a b ，则（ a） 11（ b） sin asinb （ c） (1) a(1)b（ d） a2b2ab33（5）在 ( x1)5的展开式中，x3的系数为x（ a） 5（ b） 5（ c） 10（ d） 10（6）已知平面向量a, b, c 满足 ab c0 ，且 | a | | b | | c | 1，则 a b 的值为1133（ a）（ b）（ c）（ d）2222.7）已知,是三个不同的平面，且=m ，m n

3、”是 “ ”（=n ，则 “的（ a ）充分而不必要条件（b ）必要而不充分条件（ c）充分必要条件（d ）既不充分也不必要条件（8）已知等边abc 边长为 3. 点 d 在 bc 边上，且 bdcd ， ad7 . 下列结论中错误的是abd2s（） cd（ b） sabd2（ c）cosbadsinbadcos2 （ d）sin2acdcadcad（9）声音的等级f ( x)（单位： db ）与声音强度 x（单位： w/m2）满足 f ( x) 10lgx 12 .110喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140db ；一般说话时，声音的等级约为60db，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话

4、时声音强度的（ a） 106 倍（ b） 10 8 倍（ c） 1010 倍（ d） 1012 倍（ 10）若点 n 为点 m 在平面 上的正投影，则记 nf (m ) . 如图，在棱长为1 的正方体abcda b c d 中，记平面 abc d 为，平面abcd为 ，点p是棱 cc 上一动点（与 c11 1 111f f1，1 不重合）， q1f f( p) ， q2( p).给出下列三个结论：c线段 pq2 长度的取值范围是1,2) ；22存在点 p 使得 pq1 平面；存在点 p 使得 pq1 pq2 .其中，所有正确结论的序号是（ a）（ b）（ c）（ d）第二部分 （非选择题共 1

5、10 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。.（ 11）在等差数列an中， a2 5 ， a52 ，则 a7_.（ 12）若复数 z1ii，则 | z|=_.22（13）已知点 a (0,3)，点 b , c 分别为双曲线 xy1 (a 0) 的左、右顶点.若abca 23为正三角形，则该双曲线的离心率为_.（14）已知函数 f ( x) xa在区间 (1,4) 上存在最小值， 则实数 a 的取值范围是 _.xx1152114244x03222f ( x)02020（15）用 “五点法 ”作函数 f (x)asin( x) 的图象时，列表如下：则 f ( 1) _， f (0)

6、f ( 1 ) _.2（16）已知曲线 c： x4y4mx 2 y21（ m 为常数） .（ i）给出下列结论：曲线 c 为中心对称图形；曲线 c 为轴对称图形；当 m1时，若点 p(x, y) 在曲线 c 上，则 | x | 1或 | y | 1.其中，所有正确结论的序号是.（ ii ）当 m2 时，若曲线 c 所围成的区域的面积小于，则 m 的值可以是.（写出一个即可）.三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）（本小题共13 分）21已知函数f (x)cos x3 sin x cosx.（）求函数f ( x) 的单调递增区间；（）若f ( x) 在

7、区间 0, m 上的最大值为 1，求 m 的最小值 .（18）（本小题共13 分）如图，在三棱锥 v abc 中，平面 vac 平面 abc ， abc 和v vac 均是等腰直角三角形， abbc ， ac cv2 ， m ， n分别为 va , vb 的中点 .mn（）求证：ab/ / 平面 cmn ；acb（）求证：ab vc；（）求直线vb 与平面 cmn 所成角的正弦值 .（19）（本小题共13 分）某市城市总体规划（2016 2035 年）提出到2035 年实现“ 15 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4 个方面构建“15分钟社区生活圈

8、”指标体系， 并依据 “15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61）、良好小区（指数为0.40.6）、中等小区（指数为0.20.4）以及待改进小区（指数为0 0.2） 4 个等级 . 下面是三个小区4 个方面指标的调查数据：小区指标值a 小区b 小区c 小区权重.教育与文化（ 0.20）0.70.90.1医疗与养老（ 0.20）0.70.60.3交通与购物（ 0.32）0.50.70.2休闲与健身（ 0.28）0.50.60.1注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数 t wt11 w2t2 w3t3 w4t4，其中w1 , w2 ,w3 , w4 为该小区四个方面的权重

9、，t1 ,t2,t3 , t4 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为01 之间的一个数值） .现有 100 个小区的 “15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组0,0.2）0.2,0.4 ）0.4,0.6 ）0.6,0.8 ）0.8,1频数1020303010（）分别判断a ，b ， c 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、 中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 10 个小区进行调查， 若在抽取的10 个小区中再随机地选取2 个小区做深入调查，记这2 个小区中为优质小区的个数为，求 的分布列及数学期望.（20）（

10、本小题共14 分）已知椭圆x2y21 (a b 0) 的右顶点 a 2,0，且离心率为3c :2b22a（）求椭圆c 的方程；（）设 o 为原点，过点o 的直线 l 与椭圆 c 交于两点 p ， q ，直线 ap 和 aq 分别与直线 x4 交于点 m , n 求 apq 与 amn 面积之和的最小值.（ 21）（本小题共13 分）已知函数f ( x)ex (ax21) (a0) .（）求曲线yf ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）若函数f (x) 有极小值，求证：f (x) 的极小值小于 1.（22）（本小题共14 分）给定整数 n( n2) ，数列 a2 n 1： x1

11、 , x2 , x2n 1 每项均为整数，在a2 n 1 中去掉一项xk , 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 mk (k1,2, 2n1) .将 m1 , m2 , m2n 1 中的最小值称为数列a2 n 1 的特征值 .（）已知数列a5 :1, 2,3,3,3 ，写出 m1 , m2 , m3 的值及 a5 的特征值；（）若 x1x2x2n 1 ，当 i(n1) j(n1)0 ，其中 i, j1,2,2n 1 且ij时，判断 | mimj | 与 | xixj | 的大小关系，并说明理由；（）已知数列a2n 1 的特征值为 n1，求| xi x

12、 j | 的最小值 .1 i j 2n1海淀区 2020 届高三年级第一学期期末练习参考答案数学2020.01.阅卷须知 :1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40分 .题号12345678910答案dbacaabcbd二、填空题 :本大题共 6小题，每小题5 分，共 30分 .题号111213141516答案022(1,16)； 0 ； m2均可2三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（ 17）解：（） f ( x)1 cos2x3 si

13、n 2x12223 sin 2x1 cos2x22sin(2x) .6因为 ysin x 的单调递增区间为2k , 2k(k z ) ，22令 2x2k , 2k ( k z ) ，622得 xk , k (kz) .36.所以 f (x) 的单调递增区间为k , k ( k z ) .36（）方法 1：因为 x0, m ，所以 2x6,2 m .66又因为 x0, m ， f ( x) sin(2 x1，) 的最大值为6所以 2m 62.解得 m.6所以 m 的最小值为.6方法 2：由（）知：当且仅当 x= k(k z ) 时， f ( x) 取得最大值 1.6因为 f (x) 在区间 0,

14、 m 上的最大值为1，所以 m.6所以 m 的最小值为.6（ 18）解：（）在 vab中， m， n 分别为 va， vb 的中点，所以 mn 为中位线 .所以 mn / ab.又因为 ab平面 cmn ， mn平面 cmn ，所以 ab/ 平面 cmn .（）在等腰直角三角形vac 中， accv ,.所以 vcac .因为平面 vac平面 abc ，平面 vac平面 abcac ， vc平面vac，所以 vc平面 abc .又因为 ab平面 abc，所以 abvc .（ ） 在平面 abc 内过点 c 做 ch 垂直于 ac，由（）知， vc平面 abc ，因为 ch平面 abc，所以 v

15、cch .如图 ,以 c 为原点建立空间直角坐标系cxyz .则 c (0,0,0) ， v (0,0, 2) ， b(1,1,0) ， m (1,0,1) ， n ( 1 , 1 ,1) . 2 2vb(1,1,2) ， cm(1,0,1) ， cn ( 1 , 1 ,1) .22设平面 cmn 的法向量为 n( x, y, z) ，n cm0,则0.n cnxz0,即 11yz 0.2x2令 x1 则 y1， z1,所以 n (1,1,1) .直线 vb 与平面 cmn 所成角大小为，.n vb2 2sin | cos n, vb |.| n |vb |3所以直线 vb 与平面 cmn 所

16、成角的正弦值为22.3（19）解：（ ）方法 1:a 小区的指数t0.70.20.70.20.50.320.50.280.58 ，0.580.60 , 所以 a 小区不是优质小区;b 小区的指数 t0.9 0.20.6 0.2 0.7 0.32 0.6 0.28 0.692 ，0.6920.60 , 所以b 小区是优质小区 ;c 小区的指数 t0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 0.32 0.1 0.28 0.172 ，0.1720.60 , 所以 c 小区不是优质小区.方法 2:a 小区的指数t0.70.20.70.20.50.320.50.280.580.580.60 , 所以 a 小

17、区不是优质小区;b 小区的指数t0.90.20.60.20.70.320.60.280.60.20.60.20.60.320.60.280.6 .b 小区是优质小区;c 小区的指数t0.10.20.30.20.20.320.10.280.60.20.60.20.60.320.60.280.6 .c 小区不是优质小区.（在对 a 、 b 、c 小区做说明时必须出现与0.6 比较的说明 . 每一项中结论1.分，计算和说明理由1 分）（）依题意，抽取10 个小区中，共有 优质小区 10 30 104 个，其它小区10010 4 6 个 .依题意 的所有可能取值为0， 1， 2.c62151p( 0)

18、45；c2310c14c16248p( 1)45；c10215c4262p( 2)45.c10215则的分布列为：012182p1515318224e01155 .315a2,（20）解：（）解：依题意，得c3 ,a2c2a2b2 (a b 0).a2,解得，b1.2所以椭圆c 的方程为xy21.4.（）设点 q(x0 , y0 ) ，依题意，点p 坐标为 (x0 ,y0 ) ，满足 x0 2y0 21 （ 2 x02 且 y00 ） ,4直线 qa 的方程为y0( x 2)yx02令 x4 ，得 y2 y0，即 n (4, 2 y0) .x0 2x02直线 pa 的方程为 yy0( x 2)

19、 ，同理可得 m (4,2 y0) .x0 2x02设b 为 x4与 x 轴的交点 .sapqsamn1| oa | | yyq| 1| ab | | yyn|2p2m1 2 | 2 y0 |12 | 2 y02y0 |22x0 2x02112 | y0 | 2 | y0 | |x0 2x0 22 | y0| 2 | y0| |4| .2x04又因为 x024 y024 ， y0 0 ,所以 s apq s amn 2|y0 | 2 | y0 | 12 =2|y0 |24 .y0| y0 |当且仅当 y01 取等号，所以s apqs amn 的最小值为 4 .（ 21）解：（ ）由已知得f (

20、 x)ex ( ax22ax1) ，.因为 f (0)1 ， f (0)1，所以直线 l 的方程为 yx1.（）（ i）当 0a1 时， ax22ax1a( x1)21a0 ，所以 f ( x)ex ( ax22ax1)0 （当且仅当 a1且 x1 时，等号成立） .所以 f ( x) 在 r 上是单调递增函数.所以 f ( x) 在 r 上无极小值 .（ ii ）当 a1 时 ,一元二次方程ax22ax10 的判别式4a(a1)0，记 x1, x2 是方程的两个根，不妨设x1x2 .x1x220,则1x1x20.a所以 x1x20.此时 f ( x) ， f (x) 随 x的变化如下：x(,

21、 x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2 ,)f ( x)00f ( x)极大值极小值所以 f ( x) 的极小值为f ( x2 ) .又因为 f (x) 在 x2 ,0 单调递增，所以 f ( x2 )f (0)1 .所以 f ( x) 的极小值为小于1.22. 解：（）由题知：m1(33)(23)1 ;m2(33)(31)2 ;m33 .a5 的特征值为1.（） | mim j | = | xixj | .理由如下：由于 i(n1) j( n1)0 ，可分下列两种情况讨论：1 当 i, j1,2, n1 时，根据定义可知：mi( x2n 1 x2nxn 2 ) (xn 1 xnx1

22、 xi )=( x2n 1x2 nxn 2 )( xn 1xnx1)xi同理可得： mj =( x2n 1x2nxn 2 )( xn 1xnx1)x j所以 mim jxix j .所以 | mimj | = | xixj |.2 当 i , j n1,n2,2 n1 时，同 1理可得：.mi( x2 n 1 x2nxn 1 xi ) (xn xn 1=( x2n 1x2 nxn 1 )( xnxn 1x1)mj =( x2n 1x2 nxn 1 )( xnxn 1x1)所以 mim jxjxi .所以 | mimj | = | xixj |.综上有： | mimj | = | xixj | .（）不妨设 x1 x2x2