yyf§10.1 轴对称球函数.ppt

1、1,第十章 球函数,掌握勒让德多项式的各种表达式、正交关系、完备性及模。掌握将函数展开为广义傅里叶级数的方法。能够求解拉氏方程轴对称定解问题。了解连带勒让德多项式和球函数的各种表达式、正交关系、完备性及模以及函数的广义傅里叶级数。了解拉氏方程的非对称轴定解问题的求解。,对上一章特殊函数常微分方程定解问题解出的各种特殊函数及球函数的性质作系统分析研究。,教学提示：,2,3,4,在球坐标系下，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程分离变数得到的球函数方程,的解球函数进行讨论：,5,其中,连带勒让德方程,6,10.1 轴对称球函数,此时，方程的解简化为：,7,本征值为,利用已知递推公式：（参见P192 9.2

2、.5式）,8,其中,反推得,不超过 的最大整数,9,勒让德多项式前几项：,10,勒让德多项式的图象,11,勒让德多项式的图象,12,的性质（见P225）：,（1）,13,（3）积分表示,施列夫利积分,14,15,相减，在-1，1上积分，,（参见P213（9.4.3）式）,16,第一个积分=,第二个积分中,17,即,（参阅教材P228）,18,或,（8）广义傅里叶级数,作为施-刘问题中的一种，勒让德多项式具备正交完备性，可作为基函数将 进行广义傅里叶展开。,19,解：,20,得,21,例： 将函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】,考虑到,所以,22,例： 将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解

3、】 用直接展开法,令,则,已知：,23,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,故有,24,解：,拉普拉斯方程的轴对称定解问题,25,显然,即,代入边界条件,26,即,27,28,而,29,另：,30,即,由边界条件对问题作偶延拓,31,代入边界条件,32,（参见P229例2）,33,得,34,解：（1）轴对称，取球坐标,35,需作奇延拓,有限解,36,代入条件,37,注：公式,38,39,（2）底面绝热,需作偶延拓,40,有限解：,41,解：,解有限,42,43,由衔接条件,44,45,46,讨论利用母函数的方法来产生勒让德多项式：,性质（9）：母函数（生成函数）,静电场的例子：,47,讨论函

4、数,48,49,故,50,由上式可以推出（对上式两端求导，并令z=0）,51,注,52,在单位球的北极放一个 单位的正电荷，P点的电势为：,母函数的讨论也可以采用物理的方法。,53,对球内,54,对球外,取,55,或,56,例6：在点电荷 的电场中放置接地导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距r1（r1a），求解这个静电场。,利用迭加原理，球外空间的场由原点电荷的场加上球面感应电荷的场：,57,对球外,而,58,球外,代入边界条件:,59,利用母函数讨论:,60,61,有介质球时，对球内、球外分别讨论：,解：无介质球时，电势,1、球外：,62,由迭加原理,可得,解的形式,2、球内：,63,衔接条件：,而,（r0d，该球面在半径为d的球内),则：,64,65,答案：,66,性质（10）：递推公式,67,(a)式乘以r，(b)式乘以（x-r），相减,68,得,比较系数，得,即（10.1.63）式，上式对x求导，得,69,68式两边乘以k，得,与上式相加，得,70,递推公式：,71,递推公式应用,72,73,习题7：长为 的柔软均质轻绳，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线，试推导此弦相对水平线的横振动方程。,解：先写出定解问题：,横振动,74,微小振动,代入上式,75,即,