自动控制理论-10系统稳定性分析

1、33 系统稳定性分析,本节主要内容：,线性定常系统稳定的概念 系统稳定的条件和稳定性的判定方法。,*特征根的性质对系统稳定性的影响,当si为实根时，即sii，,当si为共轭复根时,如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。,三.稳定性判据,1.赫尔维茨（Hurwitz)判据,系统稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均为正，且赫尔维茨行列式Dk（k1,2,3,，n）全部大于0。,赫尔维茨稳定判据

2、,系统特征方程的一般形式为：,各阶赫尔维茨行列式为：,例1：,系统的特征方程为：,试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。,解：,第一步：由特征方程得到各项系数,第二步：计算各阶赫尔维茨行列式,结论：,系统不稳定。,10,2.林纳德奇帕特（Lienard-Chipard)判据,系统稳定的充分必要条件为：,系统特征方程的各项系数大于零，即,.奇数或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即,或,必要条件,例2,单位负反馈系统的开环传递函数为：,试求开环增益的稳定域。,解：,第一步：求系统的闭环特征方程,第二步：列出特征方程的各项系数。,第三步：系统稳定的充分必要条件。,解得：,的稳定域为：,由此例可见，K越大，

3、系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。,若系统的特征方程为：,则劳思表中各项系数如下图：,3.劳斯(Routh)判据,系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。,如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定； 如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态； 第一列数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。,例3,设系统特征方程如下：,试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。,解：,将特征方程系数列成劳斯表,结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实

4、部的根。,例4,设系统的特征方程为：,试用劳斯判据确定正实部根的个数。,解：,将特征方程系数列成劳斯表,由表可见，第二行中的第一项为零，所以第三行的第一项出现无穷大，为避免这种情况，需采用特殊处理方法。,4.劳斯稳定判据的特殊情况(1),在劳斯表的某一行中，第一项为零。,劳斯表某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零的情况，可以用因子(s+a)乘以原特征式，其中a为任意正数。,得到新的特征方程为：,将特征方程系数列成新劳斯表：,结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。,例5,设系统的特征方程为：,试用劳斯判据判稳。,解：,将特征方程系数列成劳斯表,劳思表中出现全零行，需要找到另一种新

5、的解决方法。,用 行的系数构造系列辅助方程,求导得：,用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按规则计算下去，得到,求解辅助方程，可知产生全零行的根为,结论：不稳定，有一个正实部根。,劳斯表某一行系数全为零，表明特征方程具有一些大小相等而符号相反的根。这时可将全零行的上面一行的各项组成一个方程式，称为辅助方程式，用辅助方程式各项对s求导所得的系数代替全零行的各项，则可继续计算劳斯表。特征方程大小相等符号相反的根可由求解辅助方程得到。,劳斯稳定判据的特殊情况(2),例6 系统的特征方程为： 该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。,解：劳斯表如下,行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：,其导

6、数为： 将 4,48 或 1,12 代替 行，可继续排列劳斯表如下：,因为 行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下： 有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定,设剩余的一个根为p,比较系数得：p= -2,极点分布如下：,注意： 劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半平面还是在右半平面，位于虚轴上的根要用辅助方程求出。 若代数方程有对称于实轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有特殊体现，并可由辅助方程求出。,5.相对稳定性,缺点：,只能确定绝对稳定性,不能用于分析动态响应,改进：,作s=-a的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称具有a的稳定裕度。一般a越大，稳定程度越高。可用s

7、1=s+a代入特征方程，得到以s1为变量的新的特征方程，用劳斯-赫尔维茨判据进行判稳。,例7 控制系统如图所示。用劳斯稳定判据确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于 线之左，求K值范围。,解：写出闭环特征方程,列劳斯表,应用劳斯稳定判据,当K=14时，系统处于临界稳定状态。,如果要求闭环系统的极点全部位于s=-1垂线之左，可将 代入原特征方程,整理得,新劳斯表,根据劳斯稳定判据得,当K在上述范围内取值时，可保证在s左平面上，闭环三个极点全部位于距虚轴距离为1的区域。,例8 液位控制系统,系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。,四.结构不稳定及改进措施,某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统。,消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质 引入比