概率论第四章习题课

1、.,典型例题,一、离散型随机变量,（一）求概率分布,1.一批零件有件合格品，件次品，安装机器时，从中任取 一个，直到取到正品，就下列两种取样方式 a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数的概率分布,2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次， 求试验次数的概率分布,3. 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0p1）， 设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。,.,1.一批零件有件合格品，件次品，安装机器时，从中任取 一个，直到取到正品，就下列两种取样方式 a)放回取样；b)不放回取样，计算抽取次数的概率分布,解： a)放回取样 可取， ，概率分布为：

2、,b)不放回取样 可取，概率分布为：,.,2.设某种试验成功的概率为p，独立重复试验直到试验成功两次， 求试验次数的概率分布,解：可取， ，概率分布为,3.抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0p1）， 设X为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求X的分布列。,解：可取， ，概率分布为,.,（二）概率分布已知，相关问题的计算,设离散型随机变量的概率分布为,求 （）；（）分布函数；（）,解：(1)由 得0.25,（）=X=1+PX=3=0.45,.,（三）分布函数已知，相关问题的计算,设离散型随机变量的分布函数为,求（）的概率分布； （）X；,解：(1) PX=0=F(0)-F(0-0

3、) =0.3-0=0.3 PX=1=F(1)-F(1-0) =0.5-0.3=0.2 PX=3=F(3)-F(3-0) =0.9-0.5=0.4,PX=5=F(5)-F(5-0) =1-0.9=0.1,（）X =F(5-0)-F(1-0) =0.9-0.3=0.6,.,(四）几种重要分布,一射手对同一目标独立地进行次射击，每次射击的命中 率相同，如果至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率,解：设该射手的命中率为p, 命中次数为，则B(4,p) 由题意得 PX1=80/81, 所以PX0=1/81 即 (1-p)4=1/81 , 所以 p=2/3,7.某商店订了瓶饮料，设每个饮料瓶是否

4、被打破相互 独立，每个饮料瓶被打破的概率0.003，求商店收到破碎瓶子数 分别是()恰有只；()小于只；()至少是只的概率 已知e-3=0.0498,解：设收到的破碎瓶子数为，则B(1000,0.003) 由于n较大，p较小，可用泊松定理作近似计算 np=3 (1) PX=2(32/2!)e-30.2241 (2) PX2= PX=0+ PX=1 (30/0!)e-3 +(31/1!)e-3 =4e-3 0.1992 (3) PX1= 1- PX=0 1- e-3 0.9502,.,二、连续型随机变量,（一）分布函数已知，相关问题的计算,设连续型随机变量的分布函数为,求 （）和； （）随机变量

5、的概率密度；,解：(1)利用F(+)=1,及F(x) 在x=0处的连续性得：,A=1 A+B=0 所以，B= -1,=F(2),.,(二）概率密度已知，相关问题的计算；,设连续型随机变量的概率密度为,求（）；,解：由概率密度的性质得：,而,所以 A=4,.,3.设连续型随机变量的概率密度为,求分布函数(x),当0 x1时，,当1x2时，,当x2时,.,(三）正态分布的有关问题,.,某地外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 分，分以上占考生总数2.28，求考生成绩在分至 分之间的概率,解：由题设知：外语成绩近似服从正态分布X N（,2） 其中， 2未知，由于,即：,查表得：,因此=12,所以,.,（四）随机变量函数的分布,解：服从参数为的指数分布,单调，反函数为：,所以, 的概率密度为,.,解 因 XN