第五章-线性系统的频域分析法

1、第五章 线性系统的频域分析法,频域分析法的由来： 工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统（信号与系统）。 因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数都可表示为傅里叶积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。 在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶级数和傅里叶变换的这个性质，可以通过研究对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。 自动控制系统的频域分析法就是建立在这个基础上的。,参见信号与系统,控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，是系统的一种数学模型。 应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频

2、域分析法。 频域分析法具有以下特点： 1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。 2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。 3.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。 4.还可以推广到研究某些非线性系统。,频域分析法的基本介绍,时域分析法与频域分析法比较： 时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。当往往需要求解复杂的微分方程。 频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型频率特性，利用频域指标和时域指标之间的对应关系，间接地揭

3、示系统的暂态特性和稳态特性，简单迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常用的方法。,复域分析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。,本章内容,5-1 频率特性（数学模型） 5-2 典型环节与开环系统的频率特性（系统建模） 5-3 频率域稳定判据（稳定性问题） 5-4 Matlab在频率响应法中的应用 5-5 稳定欲度（相对稳定性问题） 5-6闭环系统的频率特性 5-7 频域响应和时域响应之间的关系 5-8 控制系统频域设计,频域分析法与时域分析法是截然不同的两种分析和设计系统的方法，但是本质是统一的。,5-1 频率特性,1

4、.频域特性的基本概念（这种数学模型是怎样的？） 2.频率特性的几何表示（这种数学模型怎样表示？）,1.频域特性的基本概念,首先以RC滤波网络为例，引出频率特性的基本概念。,那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？,其中，,如果该结论成立，我们知道，控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来，那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦信号响应而得到。（信号与系统傅里叶变换。）这也是频率分析法的根本思想所在。,该结论成立的意义：,那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定

5、常系统中？,其中，,证明：,对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 ，则输出的稳态值为,频率特性的定义,对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 ，则输出的稳态值为,也就是说， 对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。,（重要概念）,获取系统频率特性的途径有两个: 1. 分析法 当已知系统的传递函数时，用 代入传递函数可得到系统的频率特性G(j)。因此，频率特性是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的

6、分析法（解析法）。 2. 实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号 ，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移，便可得到它的幅频特性 和相频特性 。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法（也叫系统辨识）。 系统辨识：由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。,5、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。,正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能用终值定理） 2.动态误差系数法 3.频率响应法,用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：,2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）,仅从 的表达式中看出的信息不直观，在工程

7、分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：,（伯德曲线或伯德图，波特图）,（尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）,（极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线）,Bode 图是重点，Nyquist图次重点。（考试、考研必考）,本教材，写的跳跃性过大，也太难，建议参考其他作者书。,频率特性 幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性 对数幅频特性,Remark:,给定一个环节或者系统的传递函数 ，可以马上得到：,以上特性，在频率特性的几何表示中，经常用到，通常都需要事先计算出来，再绘图。,例 RC网络的奈

8、奎斯特图,单位：弧度/秒,半对数坐标系的优点： 对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 则将幅值的乘法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。,例 RC网络的伯德图,RC网络Nichols图(T=0.5),5-2 典型环节与开环系统的频率特性,设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。 该线性系统的开环传递函数为 ，为了研究开环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。,本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyqu

9、ist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图） 6.传递函数的频域实验确定 7.延迟环节和延迟系统,重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。,1.典型环节,2.最小相位环节的频率特性,（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）,考试的标准画法,o,比例环节的nyquist图与bode图,考试的标准画法,注意考察几个特殊点：,与横轴的交点。,o,积分环节的nyquist图与bode 图,半对数坐标系中的直线方程（重要

10、，bode图解计算时经常用到）,其中， 和 为直线上的两点， 为直线斜率。,一定在第四象限，相角变化在0度到-90度。,考试的标准画法,惯性环节的误差曲线,注意考察几个特殊点：,与转折点,考试的标准画法,注意考察几个特殊点：,与转折点,惯性环节极坐标图,o,第四象限,第三象限,根据实频和虚频确定相角象限的方法（重要）,为 的减函数 。当 时，谐振峰值 。,注意：,3.有谐振时，,2. 与虚轴的交点,1.,（特殊点与趋势）,（转折点，是阻尼比的减函数）,4.无谐振时,对数幅频特性：,时，忽略 中的 和,二阶振荡环节的折线（渐近线）方程,注意： 越小，最小为0， 出现的越晚； 越大，最大为0.70

11、7， 出现的越早,比例环节bode 图,典型最小相位环节bode图汇总,P193 图5-11,振荡环节与二阶微分环节（折线图怎么画）,转折频率？,最小相位系统： 比例相频不衰减； 积分相频衰减-90度 一节惯性相频逐步衰减90度 二阶振荡相频逐步衰减180度 微分相频超前90度 一阶微分逐步超前90度 二阶微分逐步超前180度,3.非最小相位环节的频率特性,注意：运用实频和虚频判断相角象限,4. 系统的概略开环幅相曲线（Nyquist图）（考试、考研必考）,1）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,2）求系统的频率特性：,即,概略绘制的具体步骤,3）求,4）补充必要的特征点(主要指曲线

12、与负实轴的交点，相交时所对应频率称为穿越频率)。 5）根据 的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性，画出Nyquist 图的大致形状。,例：,已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图。,解：,1）系统的开环频率特性,2）起点和终点,3）曲线与实轴的交点。,例：,已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图并求与实轴的交点。,解：,1）系统的开环频率特性,2）起点和终点,3）曲线与实轴的交点。,相交时，满足,解得：,舍去,（虚频为零）,又,解得，,例：,已知系统的开环传递函数 试绘制系统的开环Nyquist图。,解：,1）系统的开环频率特性,2）起点和终点,最小相位系统

13、nyquist图的一般形状：（考试、考研时利用此规律作图）,考虑如下系统：,1）,n为分母阶次,m为分子阶次,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,2),3),结论：（最小相位系统）（考试考研的快速作图方法） 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。 n = m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。 n m时，Nyquist曲线终点幅值为0 ，而相角为(nm)90。 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化， Nyquist曲线可能出现凹凸。,例5-3 已知单位反

14、馈系统开环传递函数为 试绘制系统概略开环幅相曲线。,解：1）.系统开环频率特性为,2）开环幅相曲线的起点：,终点：,3）与实轴的交点：,当,时，存在交点。,交点为,当时 ，交点不存在。,应该指出，由于开环传递函数具有一阶微分环节，系统开环幅相曲线有凹凸现象，因为绘制的是概略幅相曲线，故这一现象无需准确反映。,例5-4：已知系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。,解：系统开环频率特性为,非最小相位系统nyquist图绘制举例（考研）,开环幅相曲线的起点幅频：,各环节在 时的相频特性范围：,开环幅相曲线的终点幅频：,因此，开环频率特性的相频范围为：,即：,（象限判断）,与虚轴的交点：令虚

15、部为零，解得,5.系统开环对数频率特性曲线（bode图）,（考试、考研重点）,最小相位系统,寻找最小相位系统开环Bode图特点（熟记） 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20vdB/dec。 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：（会推导） L() = 20lgK 20vlg 当1 rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK。（在1 rad/s处，只有比例环节能够提供增益，其它的环节在此处都为0；环节转折频率在1前例外，此时对应低频段的延长线。） 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转

16、折点为各环节的转折频率。 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。,由以上特点，可以总结出绘制最小相位系统bode图的步骤（熟记）,1）将开环传递函数表示为典型环节的串联：,2）确定各环节的转折频率,并由小到大标示在对数频率轴上。,3）计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段

17、的渐近线。,4）向右延长最低频段渐近线，每遇到一转折频率改变一次渐近线斜率。,5）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性（主要针对振荡环节 和二阶微分环节）。,6）相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点的值 绘出大致曲线。,（整理成尾一式）,考试标准绘图,相频特性bode图在同样的坐标系下绘制一条近似的曲线即可。注意相频的角度范围不要错即可。,非最小相位系统开环环bode图的绘制（考研）,6.传递函数的频域实验确定（系统辨识）,可运用频率响应实验确定稳定系统的数学模型。,1)频率响应实验 频率响应实验原理图如图所示。,首先选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非饱和状态。 在一

18、定频率范围内（感兴趣的范围内），改变输入正弦信号的频率，记录每个频率点处系统输出信号的波形。 由稳定段的输入输出信号的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线。,2）传递函数的确定（由Bode图确定传递函数） 从低频段起，将实验所得的对数幅频曲线用频率为的 直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线。,3）由 反求传递函数实例（适用范围：最小相位系统，考试，考研）,课外阅读：用matlab中的levy函数曲线拟合得到传递函数的方法。,（非常重要）,例5-7(考研）图为由频率响应实验获得的某最小相位系统的对数幅频曲线和对数 幅频渐近特性曲线，试确定系统传递函数。,解：,1）,2）,3）求,直线方程：,4）

19、求,作业,注意： 最小相位系统的对数幅频特性和相频特性是一一对应的。渐近特性曲线可以确定最小相位系统的传递函数。 值得注意的是，实际系统并不都是最小相位系统，而最小相位系统可以和某些非最小相位系统具有相同的对数幅频特性曲线，因此具有非最小相位环节的系统，还需依据相应环节对相频特性的影响并结合实测相频特性予以确定。,7.延迟环节与延迟系统,延迟系统及其开环幅相曲线,5-3 频率域稳定判据（考试、考研重点）,1.奈奎斯特稳定判据（由奈奎斯特图判断系统稳定性） 2.对数频率稳定判据（由伯德图判断系统稳定性） 3.条件稳定系统,本节目录,控制系统的闭环系统稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。奈

20、奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，易于推广。,一、奈奎斯特稳定判据,1、幅角原理(数学基础),可以证明，对于 s 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 F(s) 平面上必存在一条封闭象曲线与之对应。,F(s) 平面上的原点被封闭象曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。,复变函数,设,研究当s沿闭合曲线G 顺时针运行一周，F(s)的相角变化。,因为,所以,jw,s,ImF(s),F(s),s,z1,z2,p2,p1

21、,F(s1),s1,G,G F,其特征式为：,函数F(s)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点， F(s)平面上必有一点与之对应。,，则,为：,这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在,平面上就必有一个封闭曲线与之对应。,例如,例如考虑下列开环传递函数：,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,当s平面上的图形包围,的两个极点和两个零点，,的轨迹将不包围原点,相应的,0,0,如果这个曲线只包围一个零点，相应的,的轨迹将顺时针包围原点一次，,封闭曲线既不包围零点又,的轨迹将永远不会包围,平面上的原点,不包围极点，,幅角原理总结：,F

22、(s)包围原点的圈数= 内 F (s)极点数- 内 F (s)零点数,2、复变函数F(s)的选择,我们的目的是为了研究系统的稳定性，希望通过F(s)建立系统的闭环极点与开环极点的关系，进而判断系统的稳定性。,两者的极点数相同,F(s)的极点-系统的开环极点,F(s)的零点-系统的闭环极点,F(s)曲线与H(s)G(s)曲线形状相同， H(s)G(s)曲线向右移动1个单位即得到F(s)曲线。因此F(s)曲线对F(s)平面坐标原点的包围就等价于H(s)G(s)曲线对H(s)G(s)平面(-1,j0)点的包围。,为了研究系统的稳定性，我们需要知道系统是否有闭环 极点在右半s平面，因此选取闭合曲线G

23、包围整个右半s 平面。,Nyquist围线,F (s)包围原点的圈数= 内系统开环传递函数极点数- 内系统闭环传递函数极点数,内系统闭环传递函数极点数= 内系统开环传递函数极点数- F (s)包围原点的圈数,奈奎斯特稳定判据的思路来源：,恰当的选择 ，使得 包围整个S右半平面，则根据 包围原点的圈数和已知的开环传递函数在右半平面的数目，可以判断系统闭环传递函数在右半平面的数目，进而可以判断系统的稳定性。,F (s)包围原点的圈数= 内 F (s)极点数- 内 F (s)零点数,选择时 ，分了三种情况,0型系统 非0型系统 临界稳定系统,3、奈奎斯特稳定判据,A.,（P为右半平面系统的开环极点数

24、目）,(0型系统),a,b,c,（原点或者某常值点）,（最小相位）,在右上图，当S沿着 顺转一周时，对应于 ，此时， 线围绕着-1点顺时针转了2圈。而系统不存在右半平面的开环极点，所以 ，所以系统不稳定。并且存在Z=P-R=0-（-2）=2个S右半平面的闭环极点。,由对称性可以简化绘图，只需做出的一半的曲线 ， 即Nyquist图即可，如右图。但是 线围绕着-1点转的圈数，应该乘以2再与右半平面的开环极点数作比较。,注：利用半闭合曲线 计算闭合曲线 包围原点圈数R的方法。,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数 。设 为穿越点 左侧负实轴的次数， 表示正穿越的次数和（从上向下穿越）， 表示负穿

25、越的次数和（从下向上穿越），则,此题中，,考试、考研标准答题格式,闭环系统不稳定，具有两个右半平面的极点。,系统开环右半平面的极点为0，所以P=0,（关键）,例,在右半平面的极点数为P=1。 当K1时， ， R=2N=1=P 系统稳定; 当K1时，N=0 ，系统不稳定; 当K=1时，系统临界稳定。,B .,a,b,c,d,（也称为增补曲线）,(非0型系统),为,解：,开环Nyquist曲线不包围(-1, j0 )点，而P=0，因此，系统闭环稳定。,（如何顺时针增补的曲线？）,最小相位系统增补曲线的基本形式,（考试）,闭环系统稳定吗？,闭环系统稳定吗？,闭环系统稳定。,C .,（不要求掌握）,(

26、临界稳定系统),注1：奈奎斯特稳定性判据的另外一种形式,注2：利用半闭合曲线 计算闭合曲线 包围原点圈数R的方法。,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数 。设 为穿越点 左侧负实轴的次数， 表示正穿越的次数和（从上向下穿越）， 表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则,特殊情况：半次穿越。,半次正穿越,半次负穿越,某非最小相位系统,注3：临界稳定,当半闭合曲线 穿过 点时，表明存 在 ，使得 即系统闭环特征方程存在共轭虚根，则系统可能临界稳定。计算 的穿越次数 时，应注意不计穿越 点的次数。,利用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定性的步骤： 1.绘制系统的奈奎斯特图（注意表明奈奎斯特曲线与点 的关系

27、）。 2.增补奈奎斯特图（非零型系统） 3.计算奈奎斯特曲线（及其增补曲线）围绕点 逆时针旋转的圈数（两种方式绘图数圈均可，穿越或者数圈） 4.圈数 与开环传递函数在S右半平面极点数 是否相等，相等则稳定。 5.若不稳定，闭环传递函数在S右半平面极点数为,切记：利用的是开环系统的奈奎斯特图，判断是的闭环系统的稳定性。,要求熟练掌握 1）相对应的奈奎斯特曲线是怎么画出来的。 2）用奈奎斯特判据判断系统的稳定性。及右半平面闭环极点数。,3,例 已知单位反馈系统开环幅相曲线如下图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。,P=0,（考试）,两个重要例子：（考研）P211 例5-8 已知（最小相位）单位反

28、馈系统开环幅相曲线 ，如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。,解：开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为 ，系统开环传递函数形如,由题设条件知,当取K=10时，,若令 可得对应的K值,对应的，分别取 和 时，开环幅相曲线分别如下图所示。,综上，系统闭环稳定时的K值范围为（0，5）和（20/3，20)。当K等于5，20/3和20时，奈奎斯特曲线穿越临界点（-1，j0),且在这三个值的邻域，系统闭环不稳定，因此系统闭环条件稳定。,例5-9 已知延迟系统开环传递函数为,试根据奈氏判据确定系统闭环稳定时，延迟时间 值的范围。,考研,解： 由图知，延迟系统开环幅相曲线 即半闭合曲线

29、为螺旋线，且为顺时针方向，若开环幅相曲线与 点左侧的负实轴有个 交点，则 包围 点的圈数为 ，由于 ，故 ，系统闭环不稳定。若系统闭环稳定，则必有 。设 为开环幅相曲线穿越负实轴时的频率，有,鉴于,当 增大时， 减小。而在频率 为最小的 时，开环幅相曲线第一次穿过负实轴，因此 由下式求得,此时 达到最大，为使 ，必须使 即,由 解得,注意到,为 的减函数，因此 亦为 的减函数。当 时， ，系统临界稳定；当 时， ，系统不稳定。故系统闭环稳定时值的范围应为,二、对数频率稳定判据,1）Nyquist图与Bode图的对应关系,Nyquist图上以原点为圆心的单位圆对应对数幅频特性图上的0 分贝线。单

30、位圆以外的Nyquist曲线，对应L()0的部分；单位圆内部的Nyquist曲线对应L()0的所有频率范围内的对数相频特性曲线与180线的穿越点。,Nyquist 图中的正穿越对应于对数相频特性曲线当增大时从下向上穿越180 线(相角滞后减小)； 负穿越对应于对数相频特性曲线当 增大时，从上向下穿越180线( 相角滞后增大)。（两图中穿越方向的定义正好反向） Nyquist 曲线的辅助线（增补线）反映在对数相频特性曲线上。即将对数相频特性曲线的起始点 与 +v 90线相连(v 为开环积分环节的数目)。,有了以上奈奎斯特图和bode图的对应关系，可以很快得到利用bode图判断闭环系统稳定性的方法

31、，即对数频率特性稳定判据。,2）对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数存在 个位于右半s平面的特征根，则当在 的所有频率范围内，对数相频特性曲线 ( 含辅助线)与-180线的正负穿越次数之差等于 时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。 闭环系统右半平面的极点数为,例：系统开环Bode图如下，判断系统闭环是否稳定。,解：,闭环系统稳定,（考试重点）,Nyquist稳定判据和Bode稳定判据中，区别 的穿越方向。相角变化本质是一致的。,三、条件稳定系统,例5-8这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。 无论开环传递函数的系数怎么变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统为结构不稳定系统。,若为最小相

32、位，怎么用奈奎斯特图判断该系统的稳定性? 怎么用劳斯判据判断该系统的稳定性？ 怎么用根轨迹判断该系统的稳定性？,Matlab: G=tf(1,1 1 0 0); rlocus(G),Bode图,调用格式 mag,phase,=bode(num,dne,) 式中G(s)=num/den,频率自动选择范围从=0.1到=1000rad/sec 若人为选择频率范围,可应用logspace函数 调用格式：=logspace(a,b,n) 采用自动频率范围,上述MATLAB命令可简化为 bode(num,den) margin 命令也可以绘制伯德图，并直接得出幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率

33、。 margin(sys),Nyquist图,调用格式 re,im,=nyquist(num,den,) 式中G(s)=num/den；用户提供的频率范围；re极坐标的实部；im极坐标的虚部 若用户不指定频率范围，则为 Nyquist(num,den),5-4 Matlab在频域响应法中的应用,Nichols图,调用格式 mag,phase,=nichols(num,den,) 注意使用上述调用函数时，必须与plot函数配合使用才能产生nichols图 直接绘出nichols图，可略去上述格式等号左边部分，直接调用nichols函数，也可调用ngrid函数绘出nichols线图,例：已知单位负

34、反馈系统的开环传递函数为,试绘制其伯德图，尼克尔斯图和奈奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。,解：matlab程序： G=tf(1280 640,1 24.2 1604.81 320.24 16); figure(1) bode(G) figure(2) margin(G) figure(3) nyquist(G); axis equal,figure(4) nichols(G) axis(-270 0 -40 40);ngrid,1.系统开环Nyquist曲线与闭环阶跃响应的关系 2.幅值裕度 3.相角裕度 4.三段频理论（初步认识）,5-5 稳定裕度,考试、考研,1.系统开环Nyquist曲

35、线与闭环阶跃响应的关系,回忆：第三章中的相对稳定性的概念。,（看几个例子）,结论：开环Nyquist曲线与(-1, j0)点的接近程度可以反映系统闭环的相对稳定性， 即稳定程度。,劳斯稳定判据应用中，是以闭环极点的负实部与虚轴的距离来衡量系统的相对稳定性的。 在频域中，通常用幅值裕度和相角裕度来衡量系统的相对稳定性。,相对稳定性的衡量指标:,2.幅值裕度,（教材用 表示）,1）（相位）穿越频率 开环nyquist曲线与负实轴的交点对应的频率称为（相位）穿越频率。 显然，,2）幅值裕度,注意到：如果开环增益增加 倍，Nyquist曲线将穿过(-1, j0)点，系统闭环临界稳定。因此，幅值裕度的物

36、理意义可表述为：在保持系统闭环稳定条件下，开环增益所允许增大（或增加）的最大倍数（或分贝数）。,（教材用 表示）,讨论：,Nyquist曲线穿过(-1, j0)点时， 1 Nyquist曲线与负实轴不相交， ,闭环稳定时，相位穿越点位于(-1, j0)点右边， 。,闭环不稳定时，相位穿越点位于(-1, j0)点左边， 0dB。此时， 指出了使系统闭环稳定，需要减小的最小分贝数。,指出了使系统变得闭环不稳定，需要增加的最小分贝数。也即稳定裕量。,如下图，某一种条件稳定系统需要两个幅值裕度 (1)和 (1)共同表示。 物理意义： 条件稳定系统开环增益放大 或 倍时，系统均达到临界稳定状态。,讨论：

37、一种条件稳定系统,b.幅值裕度相同但稳定程度不同的系统,3）幅值裕度的局限性,3.相角裕度,2) 相角裕度,1）幅值穿越频率 （教材称为截止频率）,开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率 称为幅值穿越频率。 显然：,在幅值穿越频率 上，使系统开环Nyquist曲线穿过(-1, j0) 点（即达到临界稳定）尚可增加的相位滞后量 ，称为相角裕度。,即,闭环稳定系统的增益裕量和相位裕量,闭环不稳定系统的增益裕量和相位裕量,为了得到满意的性能，一般要求： 6dB 且 3070 与幅值裕度相比，幅值裕度所给出的是开环增益改变对闭环系统稳定性影响的量度，而相角裕度则表示只改变G(j)H(j) 相角

38、的那些系统参数变化时对闭环稳定性影响的量度。,注：,3）相角裕度的局限,由此可见，仅用增益裕量或相位裕量，甚至在某些情形下，同时应用增益裕量或相位裕量都不足以说明系统的稳定程度。 这个问题在用劳斯相对稳定判据判断时不存在。,例5-12 已知单位反馈系统 设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。,解：系统开环频率特性,按,定义可得,时,时,分别作出 和 的开环幅相曲线Nyquist图，由奈氏判据知：,时，系统闭环稳定， 时，系统闭环不稳定，,4） 幅值穿越频率 的近似求解(考研）,对数幅频特性渐近线与 的位置关系,位于某段渐近线的两个转折频率之间。,对于高阶系统，一般难以准确计算幅值穿越频率

39、 。在工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕度，故一般可以根据对数幅频渐近特性曲线（即折线图）确定幅值穿越频率 。再由相频特性确定相角裕度 。,下面通过例题介绍两种求法：,a),步骤,写出对数幅频特性曲线在各个频段的渐近线方程,按顺序求各渐近线 与0dB线的交点频率,若 则 。,解：,例5-14,b),关于例5-14的讨论,P217图5-14，该图表明，减小开环增益 ，可以增大系统的相角裕度，但 减小会使得系统的稳态误差变大。为了使系统具有良好的过渡过程，通常要求相角裕度达到 ，而欲满足这一要求应使开环对数幅频特性在截止频率附近的斜率大于 ，且有一定的宽度。（针对此题可以这么考虑，但不通

40、用。） 因此，为了兼顾系统的稳态误差和过渡过程的要求，有必要应用校正方法。,一个设计合理的系统： 中频段的斜率以20dB为宜； 低频段和高频段可以有更大的斜率。 低频段斜率大，提高稳态性能； 高频段斜率大，排除干扰。 但中频段必须有足够的带宽，以保证系统 的相位裕量，带宽越大，相位裕量越大。 的大小取决于系统的快速性要求。 大，快速性好，但抗扰能力下降。,4. 三段频理论（初步认识）,5-6闭环系统的频率特性,本节内容 1.闭环系统的频率特性 2.由开环频率特性求取闭环频率特性 1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性 2）利用尼克尔斯图求单位反馈系统的闭环频率特性 3.非单位反馈系

41、统的闭环频率特性,1.闭环系统的频率特性（定义与解析法）,式中， 和 分别为闭环系统的幅频和相频特性，这种求取闭环系统频率特性的方法称为解析法。,利用解析法求闭环系统的频率特性是可行的，进而可以画出闭环系统的频率特性图。 但是如果已知系统的开环频率特性图，可利用图解法较容易的获得单位反馈系统的闭环频率特性图。,2.由开环频率特性求取闭环频率特性（图解法）,1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性,单位反馈系统的开环传递函数 ，系统的闭环传递函数,系统的闭环频率特性,定义 设开环频率特性 为 令 ，则 整理得：,a.等M圆（等幅值轨迹）,当M=1时，由上式可求得X=-1/2，这是通过点

42、（-1/2，j0）且与虚轴平行的一条直线 当M1时，由上式可化为 对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，圆心在 处，半径 。所以在G(j)平面上，等M轨迹是一簇圆，见下图,等M圆,分析 当M1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧 当M1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧 当M=1时，它是通过（-1/2，0j） 点平行于虚轴的一条直线。 等M圆簇既对称于M=1的直线，又对称于实轴。,b.等N圆（等相角轨迹）,定义： 闭环频率特性的相角 为： 令 整理得：,分析 当给定N值(等N

43、值)时，上式为圆的方程，圆心在 处，半径为 , 称为等N圆，见图。 等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加180时，其正切相同，因而在同一个圆上。 所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点。 对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。,c.利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性,意义：有了等M圆和等N圆图，就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性。 将开环频率特性的极坐标图 叠加在等 M圆线上，如图 (a)所示。 曲线与等M圆相交于,（a）等M圆,（b）等N圆,在 处， 曲线与 的等M圆相交，表明在 频率下，闭环系统的幅值为 。依此类推。 从图上还可看出， 的等M

44、圆正好与 曲线相切，切点处的M值最大，即为闭环系统的谐振峰值 ，而切点处的频率即为谐振频率 。 此外， 曲线与 的等M圆交点处的频率为闭环系统的带宽频率 ，0 称为闭环系统的频带宽度。,将开环频率特性的极坐标图 叠加在等 N圆线上，如图 (b)所示 曲线与等N圆相交于 如 处， 曲线与-10的等N圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角为-10，依此类推得闭环相频特性。,在早期的工程实践中，应用等M圆求取闭环幅频特性时，需先在透明纸上绘制出标准等M圆簇，然后按相同的比例尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率特性 的纸上重叠起来，并将它们的坐标重合最后根据 曲线与等M圆簇的交点得到对应的M值和

45、值，便可绘制出闭环幅频特性,（a）等M圆,（b）等N圆,闭环频率特性曲线绘制如P224图5-47,2）利用尼克尔斯图求单位反馈系统的闭环频率特性,与,横向走势圈线为等M线，纵向驼峰线为 等线,3.非单位反馈系统的闭环频率特性,思路：上面介绍的等M圆和等N圆求取闭环频率特性的方法，适用于单位反馈系统。对于一般的反馈系统，如下图 (a)所示，则可等效成如下图 (b)所示的结构图，其中单位反馈部分的闭环频率特性 可按上述方法求取，再与频率特性 相乘，便可得到总的闭环频率特性。,因此，研究闭环系统频域特性或者频域指标时，只需重点针对单位反馈系统进行。,通常情况下， 为常数。,总结 闭环系统的频率特性求

46、法： 1.解析法 2.图解法 1）利用等M圆和等N圆 2）利用尼克尔斯图线,频域响应（频率特性）和时域响应都是描述控制系统固有特性的工具，因此两者之间必然 存在着某种内在联系，这种联系通常体现在控制系统频率特性的某些特征量与时域性能指标之间的关系上。本节将着重讨论系统闭环幅频特性的特征量与系统性能指标之间的关系。,5-7频域响应和时域响应之间的关系,本节内容 控制系统的闭环频域指标 系统带宽与信号频谱的关系 系统时域指标与频域指标之间的关系 工程设计中需要注意的几个问题,1. 控制系统的闭环频域指标,系统的带宽是一个非常重要的概念，在用频域法对控制系统进行分析和综合中经常用到。,考试、考研,一

47、阶系统的带宽,设一阶系统的闭环传递函数为,因为开环系统为1型， ，按带宽定义，,可求得带宽频率,一阶系统的bode 图,结论：一阶系统的带宽频率和时间常数 成反比，并且系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比。,惯性环节的误差曲线,二阶系统的带宽,系统的幅频特性,因为开环系统为1型， ，按带宽定义，,于是,教材P218页用解析法推导出结论,二阶系统的带宽频率 和自然频率 成正比，与阻尼比 成反比。,从右图中可以更直观的看出该结论。,二阶系统的响应速度和带宽成正比。,二阶系统的频率特性,该结论是否具有一般性呢？,重要知识点1：（频率尺度与时间尺度的反比性质）,系统带宽：系统带宽是频域中一项非常重要的性

48、能指标。对一般控制系统来说，系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比。即当系统的带宽扩大 倍，系统的响应速度则加快 倍。,证明：设两个控制系统存在以下关系：,其中， 为任意正常数。两个系统的闭环频率特性亦有,当对数幅频特性 和 的横坐标分别取为 和 时，其对数幅频特性曲线具有相同的形状，按带宽的定义可得,即系统 的带宽频率为系统 带宽频率的 倍。 设两个系统的单位阶跃响应分别为 和 ，按拉氏变换，有,即得,由时域性能指标可知，系统 的上升时间和调节时间为 的倍。即当系统的带宽扩大 倍，系统的响应速度则加快 倍。,既然系统的时域响应速度与带宽成反比，是不是系统的带宽越宽越好呢？,系统的输入和输出端不可

49、避免的存在确定性扰动和随机噪声，因此控制系统带宽的选择需要综合考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的影响，即应使系统对控制输入信号具有良好的跟踪能力（跟踪能力其实暗含两个要求：快速性与准确性，即准确、快速的复现控制信号）和对扰动输入信号具有较强的抑制能力。,2. 系统带宽与信号频谱的关系（信号与系统）,1）确定性信号频谱的概念 a.周期信号 的频谱是其傅里叶系数（复系数）的集合，通常用该复系数的幅频值集合来表示，是离散的。如教材P220页图5-43，周期性方波信号的频谱。 b.非周期信号 的频谱是其傅里叶变换，是连续的。如教材P220页图5-44，单个方波信号的频谱。,2）信号与系统的关系

50、 当信号通过一个线性系统时，相当于该信号的频谱经过了该线性系统的线性变换后，再求傅里叶反变换。 因此系统复现输入信号的能力取决于系统的幅频特性和相频特性，对于输入端信号，带宽大，则复现能力越强（跟踪能力强）；而另一方面，抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折中考虑，不能一味求大。,考试、考研,3. 系统时域指标与频域指标之间的关系,控制系统的频域分析和综合是经典控制论中的精华，但是频域指标不像时域指标那样物理意义明确且直观。 系统时域指标物理意义明确、直观，但不能直接应用于频域的分析和综合。 另外，闭环系统频域指标 虽然能反映系统的跟踪速度和抗干扰能力，但由于需要通过闭环

51、频域特性加以确定，在校正元件的形式和参数尚需确定时，显得较为不方便。 鉴于以上原因，需要建立系统时域指标和闭环频域指标以及开环频域指标之间的关系。有了这些关系，可以指导我们在频域对控制系统进行分析和综合。,主要时域指标,主要闭环频域指标,主要开环频域指标,上升时间 调节时间 峰值时间 超调量,带宽频率 谐振频率 谐振峰值 零频值,截止频率 相角裕度,1）低阶系统时域指标与频域指标之间的定量关系,开环频域指标,闭环频域指标,时域指标,显然，,考试、考研,a,b,c,a,b,c,d,指标,指标,可查图表P228 图5-51,考试、考研,对于一般高阶系统，开环频域指标和时域指标之间不存在解析关系。通

52、过大量系统的研究，可归纳出如下的近似计算公式：,应用上述经验公式估算高阶系统的时域指标，一般偏于保守，即实际性能比估算结果要好。 对控制系统进行初步设计时，使用经验公式，可以保证系统达到性能指标的要求且留有一定的余地，然后进一步应用matlab软件包进行验证。 应用matlab软件包可以方便的获得闭环系统对数频率特性和系统的时间响应，便于统筹兼顾系统的频域性能和时域性能。,注：若高阶系统存在一对主导闭环极点，则可由二阶系统频域指标与时域指标之间的关系近似估算该高阶系统的时域指标。,2）高阶系统时域指标与频域指标之间的定量关系,一个设计合理的系统： 中频段的斜率以20dB为宜； 低频段和高频段可

53、以有更大的斜率。 低频段斜率大，提高稳态性能； 高频段斜率大，排除干扰。 但中频段必须有足够的带宽，以保证系统 的动态性能，带宽越大，相位裕量越大（稳定性问题），响应速度越快。 的大小取决于系统的快速性要求。 大，快速性好，但抗扰能力下降。,3）开环频率特性与时域指标的定性关系,三段频理论,考试、考研,4.工程设计中需要注意的几个问题,1）鉴于系统开环频域指标相角裕度 和截止频率 可以利用已知的开环对数频率特性曲线确定，且由前面分析知， 和 的大小在很大程度上决定了系统的性能，因此工程上常用 和 来估算系统的时域性能指标。 2）控制系统设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标 和 ，再由 确定相交裕度 和选择合适的截止频率 ，然后根据 和 选择校正网络的结构并确定参数。（研究开环的意义） 3）为使得控制系统具有良好的动态性能，一般希望， 当选定 后，可以进而通过查图法或者解析法获得 ，再由 确定 和 。,例5-16,本章小结,1.频率特性的物理意义 2.典型环节的频率特性图 3.开环频率特性作图 Nyquist图 Bode图 4.频域稳定性判据 Nyquist稳定判据（包围、穿越、辅助线） 对数频率特性稳定判据 增益裕量与相位裕量 5.闭环频率特性 6.频域性能指标与时域性能指标之间的关系 7. 三段频,考试、考研题型（重点