电路ch13拉氏变换.ppt

1、1,第十三章,拉普拉斯变换,2,要求掌握：,拉普拉斯变换的积分定义式；,拉普拉斯变换的主要性质；,求拉普拉斯反变换的部分分式展开法；,复频域分析法(运算法),3, 1 拉普拉斯变换的定义,一. 拉氏变换的定义,时域 f(t) 称为 原函数，用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。 复频域 F(s) 称为 象函数，用大写字母表示 ，如 I(s)、U(s)。,一个定义在0，)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为：,f(t)与F(s)一 一对应,式中,为复数,4,从定义式 可看出，把原函数f(t)与 e-st的乘积从 t =0-到对 t 进行积分，则此积分的结果不再是t 的函数

2、。所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t) 变换到s 域内的复变函数 F(s)。变量s 称为复频率。,如果F(s)已知，要求出与之对应的原函数f(t) ，由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：,5,二. 常用函数的拉氏变换,= 1,(a为实数),6,2 拉普拉斯变换的基本性质,一. 线性性质,7,二. 微分性质,8,三. 积分性质,依次类推有：,9,四. 延迟性质(延迟定理) -时域平移,为什么加阶跃函数见书证明过程.,10,例1：,11,五. 复频域平移性质,12,比较时域平移和复频域平移,13,3 拉普拉斯反变换,一. 由象函数求原函数,(1)利用公式,(2)经数学处理后

3、查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二. 将F(s)进行部分分式展开,f(t)=L-1F(s),式中m, n均为正整数，且 nm 。,14,把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。,用部分分式展开F(s)时，需要化为真分式。,若nm，则F(s)是真分式。,若n=m，则,A是一个常数，对应的时间函数为A(t)，余数项为真分式。,15,用部分分式展开真分式时，需对分母D(s)作因式分解，求出D(s)=0的根，根据根的形式确定原函数的形式。,F(s) 可以展开为：,式中K1、K2、Kn为待定系数。,将上式两边都乘以(s-p1)

4、，得,令s=p1，得,16,同理可求得,确定各系数后，得相应的原函数：,17,Ki也可用求极限的方法求,i=1,2,3n,相应的原函数为：,即求 Ki 的另一公式：,18,例1,D(s)的根为：p1= 0, p2= -1, p3= -2,根据第一个求系数公式得：,得原函数：,19,例2,用求极限法求系数：,20,例3,21,这时F(s)的形式为：,由于F(s)是实系数多项式之比，故 K1,K2也是一对共轭复数,系数K1、K2为：,设,则,22,则原函数,23,例,解：,求得D(s)的根为:,则原函数为:,24,3. D(s)=0具有重根，即D(s)含有 (s-p1)n 的因子。,设 D(s)中

5、含有 (s-p1)3的因子，即p1为D(s)的三重根，其余为单根，F(s)可分解为：,K2、K3、.的确定同前。,将上式两边同乘以(s-p1)3，则K11被分离出来，即,K11、K12、K13的确定：,25,对同乘以(s-p1)3后的式子求导：,则K12被分离出来，即,对求过一次导的式子再求导：,则K13被分离出来，即,26,以上结论推广到D(s)=0有q 阶重根，其余为单根的分解式：,式中,27,例1：求 的原函数 。,D(s)=0具有两重根，F(s)的分解式为：,解：,即F(s)的分解式为：,则原函数为：,28,例2,解：,29,相量形式KCL、KVL,元件 复阻抗、复导纳,4 复频域中的

6、电路元件与模型、电路定律,类似地,元件 运算阻抗、运算导纳,运算形式KCL、KVL,30,一. 电路元件的运算形式,R：,u=Ri,31,L:,电感的运算电路,iL(0_) ：电感的初始电流；,LiL(0_) ：附加电压源的大小，它反映了电感初始电流的作用。,sL ：电感的运算阻抗；,32,L:,上式改写为：,-电感的运算导纳；,-附加电流源的大小。,33,C :,Cu(0_) ：电容附加电流源的大小。,sC ：电容C的运算导纳；,附加电源的大小反映了电容初始电压的作用。,34,二. 电路定律的运算形式,35,36,思考:比较运算电路和相量电路.,37,三. 运算电路模型,运算电路,时域电路,

7、1. 电压、电流用象函数形式,2. 元件用运算阻抗或运算导纳,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,38,时域电路,uC(0-)=25V iL(0-)=5A,39,5 拉普拉斯变换法分析电路,步骤：,1. 由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) 。,2. 画运算电路模型,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,注意：,在运算电路中，对电容、电感及耦合电感元件不能遗漏附加电源 (特别注意方向)，要正确写出其运算阻抗(或运算导纳)； 运算电路中的电容电压和电感电压应包含其运算阻抗两端电压和附加电源电压两部分。,40,t = 0时闭合k,求iL，uL。,(2) 画运算

8、电路,解：,41,42,(4)反变换求原函数,t0,43,思考:,求UL(t),44,求UL(s),45,例2 求冲激响应,解 画出运算电路：,激励是冲激函数的电路适合用运算法求解.,46,t = 0时打开开关k , 求电流 i1, i2。,解： 画出运算电路：,t0的运算电路,47,48,49,uL1+uL2中并无冲击函数，因为L1、L2中的电流发生了跃变，因而有冲激电压出现，但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，满足KVL。,含两个及两个以上的动态元件的电路适合用运算法求解.,50,思考1:验证uL1和i1的关系,满足uL1 =L1di1/dt 吗?,思考2:能否用三要

9、素法求解此题?,51,本章小结,复频域分析法 (运算法),52,本章小结,复频域分析法 (运算法),拉普拉斯变换的积分定义式,计算象函数的方法：,按照定义计算广义积分；,利用拉普拉斯变换的有关性质；,查积分变换表。,53,本章小结,拉普拉斯变换的主要性质,线性性质,微分性质,积分性质,54,本章小结,部分分式展开法,把象函数,分解成若干简单项之和以便在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法。,若n=m，则象函数形式为：,常数A对应的时间函数为A(t)，余数项为真分式。,55,本章小结,部分分式展开法,对分母D(s)作因式分解：,F(s) 可以展开为：,相应的原函数：,或,求出D(s)=0的根。,56,本章小结,部分分式展开法