第四章_相似三角形复习_(全面).ppt

1、第四章 相似三角形复习课,一.比例线段,知识要点1,1. 成比例的数（线段）：,其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，,a、d 叫做比例外项，,b、c 叫做比例内项，,比例的性质：,1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=,6,2、下列各组线段的长度成比例的是（ ）,A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5,C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4,练习:,D,6,5,3、,4、已知 1) x：(x+2)=(2x)：3，求x。 (2)若 ， 求 。 (3) 若 ， 求 ，,1或-4,7/3

2、,1/5,-4/5,5,6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。,6或2/3或1.5,一.比例线段,2.比例中项：,练习：,当两个比例内项相等时，,那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.,一.比例线段,3.黄金分割：,练习：,定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,二、相似三角形,知识要点2,三角形相似的判定方法有哪几种?,预备定理,DEBC, ADEABC,二、相似三角形,相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似,二、相似三角形,相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等

3、的两个三角形相似.,二、相似三角形,相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.,ABCDEF,二、相似三角形,相似三角形的判定：,（1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交；（2）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例；（5）Rt 中被斜边上的高分成的两个三角形相似。,二、相似三角形,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,相似三角形的性质：,1、相似三角形的对应角相等，对

4、应边成比例,2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比 等于相似比,3、相似三角形的面积比等于相似比的平方,二、相似三角形,知识要点3,定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.,相似多边形的性质：,相似多边形的对应角相等，对应边成比例.,相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.,三、相似多边形,相似多边形的判定：,二.知识应用:,1.找一找:,(1) 如图1,已知:DEBC,EF AB,则图中共有_对三角形相似.,(2) 如图2,已知:ABC中, ACB=Rt ,CD AB于D,DEBC于E,则图中共有_个三角形和ABC相似.,3,4,4,(4)已知:

5、四边形ABCD内接于O,连结AC和BD交于点E,则图中共有_对三角形相似.,(5)已知:四边形ABCD内接于O,连结AC和BD交于点E,且AC平分BAD,则图中共有_对三角形相似.,6,2,6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等)_.,ADE、BAE、CDA都相似,1.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_时，CMN与ADE相似。,1或4,练一练:,2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，

6、B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标是_.,P,（0，1.5）或（0，2/3）,练一练,3、如图, 在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 ABC相似,那么AF=_,练一练,4、 如图, 在直角梯形中, BAD=D=ACB=90。， CD= 4, AB= 9, 则 AC=_,6,5、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BFBP. 试问在射线BF上是否存在一点E，使以点B、E、C为顶点的三角形与ABP相似?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.,F,练一练,练一练,6、在ABC中，

7、AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,或AP:AC=AC:AB,练一练,7、如图点P是ABC的AB边上的一点,要使APCACB,则需补上哪一个条件?,8、如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, PCABDP. (2)当PCA BDP时,求APB的度数.,练一练,9、 如图D,E分别AB,AC是上的点, AED=72o， A=58o，B=50o, 那么ADE和ABC相似吗？,若AE=2,A

8、C=4,则BC是DE的 倍.,练一练,10、若 ACPABC，AP=4，BP=5，则AC=_， ACP与ABC的相似比是_，周长之比是_，面积之比是_。,6,2 : 3,2 : 3,练一练,4 : 9,11、如图：已知ABCCDB90，AC5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 ABC和BDC相似？,4,(2)以正方形的边长等量过渡.,（3）请找出图中的相似三角形,练一练,13、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.,若SAEF=6cm2,则SCDF = cm2,54,S ADF=_cm2,18,练一练,14、如图（）， 中，则:四边形:四边形=_,答案：,画一画:,1、如图,在ABC

9、和DEF中, A=D=700, B=500, E=300,画直线a,把ABC分成两个三角形,画直线b ,把DEF分成两个三角形,使ABC分成的两个三角形和DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据),300,300,200,200,画一画,2、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图44的格纸中, ABC是一个格点三角形,(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与ABC相似(相似比不为1),(2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样.,例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=

10、 BC. 求证: AEEF,证明:四边形ABCD是正方形,BC=CD=AD，D=C=90,E是BC中点，FC= BC,ADEECF,1=2,D=90,1+ 3=90 ,2+ 3=90, AEEF,例2、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36. 求ABC的面积.,解：DEBC，EFAB,A=CEF，AED=C,ADEEFC,DEBC,ADEABC, SADE=25,S ABC=121,例3、如图,O是ABC的外接圆,AB=AC. 求证:AB2=AEAD,证明：连接BD,AB=AC,ADB=ABE,又BAD=EAB,ABCAEB,AB2=AEAD,证明：CDAB， E为AC的中

11、点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD=900-CBA FDB=FCD F= F FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF,例4 如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。,C,E,A,D,F,B,求证：BDCF=CDDF,例5. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法

12、。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED ,例6、如图, 在ABC中,ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FGAC交AB于G. 求证: FC=FG.,证明: 四边形BEDC为正方形,CFDE,ACFADE, ,又FG ACBE,AGFABE, ,由可得：,又 DE=BE,FC=FG,例7、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE. (1) 求证: BAD= CAE; (2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长.,(1) 得,ABCADE, BAC=DAE, BAC-DAC=DAE-

13、DAC,即BAD=CAE,(2) 由,BAD=CAE,ABDACE,证明：,相似三角形性质应用,2. 如图, ADBC, D为垂足, AD=8, BC=10, EFGH是ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B, G不到达点C) 设 EH=x,EF=y (1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积.,相似三角形性质应用,相似三角形性质应用,4、如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（1）求证：ABDDCE,（2）设BD

14、=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,拓展提高,1,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（1）求证：ABDDCE,ADC是ABD的外角,ADC=ADE+2=B+1,）2,1,证明：AB=AC，BAC=90,B=C=45,又ADE=45,ADE=B,1=2, ABDDCE,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值,解：ABDDCE,1,如

15、图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,AD=AE,AE=DE,DE=AD,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,1,分类讨论,5、如图,在直角梯形ABCD中,ABCD, A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),，交于点,（）ABP与DPE是否相似？请说明理由；,（）设x=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；,（3）请你探

16、索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；,（4）请你探索在点P运动的过程中，BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。,2,5,x,y,5-x,拓展提高,6.如图，梯形ABCD中 ADBC ，ABC=90，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一P，作射线PEPD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=5时点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.,提示：体会这个图形的“模型”作用，将会助你快速解题！,拓展提高,7.如图，已知抛物线与x轴交于

17、A、B 两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 PBC=90，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.,2,3,Q,6,拓展提高,8、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在AMD和BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满BMC地带所需的费用 是多少元。 （2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ （3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APB DPC，且APD的面积与BPC的