弹塑性力学chapter5.ppt

1、,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,1,Chapter 5 弹性力学问题的建立,5-1 弹性力学基本方程,1、平衡方程,在直角坐标系中：,在柱坐标系中：,简记为：,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,2, 在球坐标系中,2、几何方程：,在直角坐标系中：,简记为：,体积应变,在柱坐标系中,3,体积应变,在球坐标系中,体积应变,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,其中 为工程弹性常数,3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：,4,以应力分量表

2、示应变分量：, 以应变分量表示应力分量：,简记为：,其中、 为拉梅系数。,体积应变。,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,5,以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：,应变能,应变余能,则,4、边界条件：,外力边界条件：,简记为：,位移边界条件：,简记为：,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,5、应变协调方程：,6,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,7,讨论： 1当物体处于弹性状态时，弹性力学基本方程有： 平衡方程：3个； 几何

3、方程：6个； 物理方程： 6个 共15个基本方程，可以在给定的边界条件下求解15个未知量： 位移分量： u, v, w 3个 应变分量： 6个 应力分量： 6个,2弹性力学的基本方程组一般地控制了弹性体内应力、应变 和位移之间相互关系的普遍规律。 考虑具体边界条件的定解问题则具体给出了各边值问题的 特定规律。,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,3一般情况下,求解弹性力学问题要求给出以下一些基本条件. a、弹性体的几何形状，物理性质。 b、作用于弹性体上的体力和面力。 c、弹性体受约束的情况。,8,5-2. 求解弹性力学问题的基本方法,应用弹

4、塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,1提出： 按基本未知量划分：考虑到弹性力学问题基本方程中应力，应变和位移分量之间的关系,可以位移分量为基本未知量求解，或以应力分量为基本未知量求解，分别称之为位移法和力法。 按求解技术划分：考虑到弹性力学问题的复杂性，对于一些较为典型的问题，可以用解析法求解。但对于大量的弹性力学问题，要采用近似法或数值方法求解。如有限差分法，有限单元法等。,9,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,2位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，,1应力分量,2平衡方程（拉梅方

5、程）,展开为：,其中,3外力边界条件：,10,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,3力法求解的主要方程： 以应力分量为基本未知量时，协调方程为 (Beltrami-Michell方程)：,11,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,其中,常体力下，有,* 注意：无论是位移法还是力法求解弹性力学问题，需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困难的。对于一些典型问题，常采用逆解法和半逆解法。,12,5-3. 弹性力学解的唯一性定理,应用弹塑性力学 APPLIED ELAST

6、O-PLASTICITY OF SOLIDS,1、提出： 1对偏微分方程而言，解的适定性问题是非常重要的。 所谓适定性，包括： 存在性、稳定性、唯一性。 弹性力学问题的控制方程是偏微分方程组，也要讨论解的适定性。 2由于弹性力学问题求解的复杂性，常采用逆解法和半逆解法，认为选取的解答只要满足基本方程和边界条件，就是正确的解。这只有在解是唯一性这样一个前提下才能成立。,2、适定性讨论： 1解的存在性：存在性仅从数学上探讨是不容易的，但对于弹性力学问题，从物理上看，这是很自然的，因为有了受力和约束，弹性体就会存在应力、应变和位移。 2解的稳定性：稳定性是指当定解条件有微小变动时，解也只作微小变动。

7、稳定性的讨论不论在数学上还是在物理上都是很复杂的，这里只能先做肯定的认可。,13,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,3解的唯一性,唯一性定理：受力作用和边界位移约束的弹性体处于平衡时，其应力、应变和位移的解是唯一的。,证明：采用反证法。假设可能存在两组解： 这两组解对应于同一边界条件和受力情况。,则这两组解的差： 必然满足体力为零的平衡方程： 以及外力为零的外力边界条件： 和 位移为零的位移边界条件：,这里 为弹性体的全部边界， 为外力边界， 为位移边界。,14,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SO

8、LIDS,显然，解 对应于不受外力作用、边界上不产生位移的弹性力学问题，它们只能是零解。 因为若 是非零解，则弹性体内有变形能存在，而变形能是外力作功的结果。由于外力功为零，故产生矛盾。,5-4 叠加原理,1、 弹性力学问题解的可叠加性： 由于弹性力学基本方程和边界条件都是线性的，所以可叠加性成立。即，对于同一弹性体，在两组不同的受力情况下的两组解，当两组受力叠加成一组受力时，其解便是前两组解的叠加。,2、叠加原理的证明： 设弹性体受力：,15,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,外力边界条件：,叠加：,结论：,平衡方程,3、讨论： 1叠加原

9、理成立的条件：小变形、线弹性本构方程。 2对非线性问题和大变形情况，叠加原理不能适用。 3叠加原理对弹性力学问题和其它线性问题有非常广泛的应用，很多情况下是解决问题的重要途径。,16,5-5.圣维南(Saint Venant)原理：,1、提出：求解弹性力学问题时，对应于不同的边界条件，弹性体内则有不同的应力场和位移场。 在解决实际问题时，往往边界条件比较复杂，如果完全按实际情况处理，可能根本无法求出解答。但是通过将边界条件加以较少的改变就有可能求出解答来。那么，边界条件改变应遵循什么规则，改变边界条件后求出的解答与实际情况的符合程度如何？ 2、圣维南原理：,应用弹塑性力学 APPLIED EL

10、ASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,（i）若作用在物体表面较小区域上的力（系）由一个静力等效的力（系）代替，则在离此区域较远处的应力分布所受影响可忽略不计。 （ii) 作用在物体表面某一小部分上自相平衡的力（系），只引起靠近受力作用面处附近区域的局部应力，在离受力表面稍远处（与受力作用区域尺寸相比），其值甚小，可忽略不计。,17,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,*注意:圣维南原理的应用条件,18,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,5-6.双调和函数：,1、提出：由于弹性

11、力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。,2、不计体力（或体力为常数）时， 、J1 是调和函数。,由拉梅方程,三式相加，有,19,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,3、不计体力（或体力为常数）时，位移分量是双调和函数。,由拉梅方程,对拉梅方程进行拉普拉斯计算，并应用 ，有,对拉梅方程表示的应力分量函数进行两次拉普拉斯计算，并应用应用以上结论即得。,4、不计体力（或体力为常数）时，应力分量是双调和函数。,20,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,

12、例：棱柱形杆件受自重作用而产生的应力、应变分量分别为：,由几何方程,试求位移分量。,解：,1、显然满足平衡微分方程、变形协调方程,2、位移分量,积分,由,21,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,即,式（a)对y、式( c )对z分别进行一次求导，得,是y、z的一次函数,故可设,由对称性：在x = y = 0处，u = v =0 知,故有 a = c =0, e = g = 0,是x、z的一次函数,22,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,故 f = b hx =d y,是x、z的一次函数,

13、在x = y 处，由u = v , 得 =,由式（a） b + dy + f + hz = 0,故,而由式（ c ）,所以： b = d = f = h = 0,积分,23,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,又由式（b）,积分,在x = y = 0 , z = l 处，由 w = 0 得,所以,且,故有,24,例题：图示橡皮立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性 盖密封后加均匀压力q. 设橡皮与盖盒间无摩擦力，且不 考虑体力。 求：橡皮受力后的位移场和应力分布。,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,解一：,分析：由于橡皮周围四壁均为刚性，则由对称性知 u = v = 0，w = w(z),体积应变,由拉梅方程：,有,25,由边界条件：z = 0，w = 0 则 C2= 0 得 w =C1z 考虑外力边界条件：z = z0 处,应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS,由,积分： w=C1z+C2,考虑,于是有,或,应力分量：,26,应用弹塑性力学 APPLIED EL