高中数学 第一章　集合与函数概念 1.2　函数及其表示同步精品学案 新人教A版必修

1、12.1函数的概念1函数的定义(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量B为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x) (xA)其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域B为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x) (xA)其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)对函数概念的理解需注意以下几点：A、B都是非空数

2、集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数yx21可称为实数集到实数集的函数对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)x22x3.当x2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x1)(2x1)22(2x1)3，

3、fg(x)g(x)22g(x)3等，f(a.)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量 对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不唯一，也可以没有2两个函数相等只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则例如，函数yx1与yx1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不能

4、说这两个函数是同一个函数3区间的概念函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)满足不等式axb，或aa，xa，xa的实数x的集合用区间分别记作a，)，(a，)，(，a，(，a)对区间概念的理解，要注意以下三点：(1)区间符号里面两个字母(或数字)之间用“，”间隔开(2)无穷大是一个符号，不是一个数(3)在求函数的定义域或值域时，既可以用集合也可以用区间表示. 题型一两个函数相等的判断判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，

5、并说明理由f(x)(x1)0，g(x)1f(x)x，g(x)f(x)x2，f(x)(x1)2f(x)|x|，g(x)解f(x)(x1)0的定义域为x|x1，g(x)1的定义域为实数集R，它们定义域不同，所以它们不表示同一函数；f(x)x的值域是R，g(x)的值域是0，)，它们的值域不同，所以它们不表示同一函数；f(x)x2与f(x)(x1)2的对应关系不同，所以它们不表示同一函数；f(x)|x|与g(x)的定义域都为实数集R，值域都为0，)，对应关系相同，所以它们是同一函数点评判断两个函数是否相同时，只要看定义域和对应关系是否完全一致，只有完全一致，这两个函数才是相等函数，对于解析式较为复杂的

6、函数需先化简比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的 题型二函数的求值已知函数f(x)x2x1，求：(1)f(2)；(2)f；(3)若f(x)5，求x的值解(1)f(2)4215.(2)f211.(3)f(x)5，即x2x15.由x2x60，得x2或x3.点评求函数值主要用代入法，每当代入时要注意式子的化简和符号的变化，求f(g(x)可以看作是求以g(x)为f(x)的自变量的函数值 题型三函数的定义域求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y；(3)f(x)；(4)若函数f(x)的定义域为2,3，求f(x2)的定义域；(5)若函数f(x3)的定义域为5，2，求F(x)f(x1)f(x1)

7、的定义域分析一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使式子有意义的自变量的取值范围当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合对于复合函数的定义域，在同一对应关系f下，括号内整体的取值范围相同解(1)依题意，函数f(x)的定义域是x|x1且x2(2)依题意，函数y的定义域为.(3)依题意，得x0且x1，故定义域为(，1)(1,0)(4)函数f(x)的定义域为2,3，故2x3.由2x23，得0x1，f(x2)的定义域为0,1(5)函数f(x3)的定义域为5，2，即5x2，2x31，得F(x)f(x1)f(x1)的定义域为1,0点评(1)

8、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合；(6)求抽象函数的定义域，要明确以下两点：定义域是指自变量x的取值集合，yf(x)的定义域是x的取值集合，yfg(x)的定义域也是指x的取值集合；同一个f，

9、括号内整体的取值范围相同，好比法律面前人人平等，yf(x)的定义域为a，b，则yfg(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值集合已知函数y的定义域为R，求实数k的值错解函数的定义域为R，即k2x23kx10对任意的实数x恒成立，9k24k20，此时5k20，k2x23kx10，即9k24k20，此时5k20，无解综上，k0时函数y的定义域为R.高考对本节知识的考查，一是求一些简单函数的定义域；二是考查对函数定义的理解常以客观题形式出现，属于试卷中的容易题1(全国高考)函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|x1Cx|x10 Dx|0x1解析要使函数有意义，需解得函数的定义域为x|x10

10、答案C2(浙江高考)函数y(xR)的值域是_解析y1，由x211，得0110，011，即0y1，值域为0,1)答案 0,1)1下列说法中不正确的是()A函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定D若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素答案B解析函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B.2下列图象中不能作为函数图象的是()答案B解析B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.3下列各组函数中，表示同一函数的是()Ayx1和y Byx和y

11、Cyx2和y(x1)2 Dy和y答案D解析A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应关系不同，故选D.4下列函数中，定义域不是R的是()Aykxb ByCyx2c Dy答案B解析选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立5下列对应为A到B的函数的是()AA=R，B，f:xy=|x|BA=Z,B=N,f:xy=xC.A=Z,B=Z,f:xy=A=,B=, f:xy=0答案D解析A、B不满足存在性，C不满足任意性6若函数yf(x)的定义域是2,4，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是()A4,4 B2,2C4，2 D2,4答案B解析由，可得2x2.7已知f(x) (xR

12、，且x1)，g(x)x22.(1)求f(2)与g(a.)；(2)求gf(2)和fg(x)解(1)f(2)，g(a)a22；(2)f(2)，gf(2)22，fg(x)f(x22).8已知f(x)的定义域为(0,1，求g(x)f(xa)f(xa) (a0)的定义域解由已知得即(a0)用数轴法，讨论(1)当a0时，x(0,1；(2)当a时，x，即函数不存在；(3)当a0时，x(a,1a. 学习目标1理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域3了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用 自学导引B为从集合

13、A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.(其中x叫自变量)，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域B为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.(其中x叫自变量)，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域2函数的三要素是定义域、值域和对应法则3由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同4(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开

14、区间，表示为(a，b)(3)满足不等式axb或aa，xb，xb的实数x的集合分别表示为a，)，(a.，)，(，b，(，b).一、判断对应是否为函数例1判断下列对应是否为函数：(1)，x0，xR；(2)xy，这里y2x，xN，yR；(3)集合AR，B1,1，对应关系f：当x为有理数时，f(x)1；当x为无理数时，f(x)1，该对应是不是从A到B的函数？分析函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应解(1)对于任意一个非零实数x,被x为以确定，所

15、以当x0时，是函数，这个函数也可以表示为f(x)(x0) (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应点评判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)变式迁移1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：(1)A=R,B=R,对任意的；（2）A=,对任意的（x,y）,(x,y)；(3)A=B=N,对任意的A,x|x3|.解(1)是(2)不是，因为集合A不是数集(3)不是，因为当x3时，在集合B中不存在数值与之对应 二、已知解析式求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y3x；(2)y；(3)y；(4)y.分析

16、求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围解(1)函数y3x的定义域为R；(2)要使函数有意义，需x1且x0，所以函数y的定义域为x|x1且x0(，0)(0,1；(3)要使函数有意义，需x0且x.故函数y的定义域为；(4)要使函数有意义，需解得x2且x0，所以函数y的定义域为(0,2)点评求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等变式迁移2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)4；(3)f(x).解(1)由x23x20，得：x1，x2f(x)的定义域是xR|x1且x2(2)由，得x.f(

17、x)4的定义域是.(3)由，得x0且x1，原函数的定义域为x|x0，B1，f(x)x0答案B解析在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它的对应的数3设f(x)，则等于()A1 B1 C. D答案B解析f(2)，f14函数y的定义域是()A(0，)B(，0)C(0,1)(1，)D(，1)(1,0)(0，)答案C解析由，得x0且x1.5给出四个命题：函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；因f(x)5(xR)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)5也成立；定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了以上命题正确的有()A1个 B2个 C

18、3个 D4个答案D二、填空题6将集合x|x1或2x8表示成区间为_答案12,87若f(x)，且f(a)2，则a_.答案2或8函数yx2x (1x4，xZ)的值域为_答案0,2,6,12三、解答题9求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y.解(1)要使函数有意义，需满足，即，在数轴上标出，如图，即x3或3x3或3x5.故函数f(x)的定义域为(，3)(3,3)(3,5当然也可以表示为x|x3或3x3或32.答案C点评在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情形只能是“多对一”或“一对一”形式 题型二分段函数的图象及应用求下列函数的图象及值域：(1)y

19、；(2)y|x1|x2|.分析解答本题可先将解析式化简，然后画出函数图象，再根据图象得到函数的值域解(1)函数y=的图象如图，观察图象，得函数的值域为1，+)(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y=.它的图象如图观察图象，显然函数值y3，所以函数的值域为3，+)点评本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分 题型三求函数解析式已知函数yf(x)的图象是下图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式解根据图象可知，设左侧射线对应的函数解析式为y=kx+b (x1)，

20、因为点(1,1)，(0,2)在射线上，所以解得所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2 (x3时，函数的解析式为y=x-2 (x3)设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2 (1x3，a0)因为点(1,1)在抛物线上，所以a+2=1，a=-1.所以1x3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2 (1x3)综上可知，函数的解析式为y=点评图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点已知f(x22)x44x2，求f(x)的解析式错解f(x22)x44x2(x22)24，设tx22，则f(t)t24.f(x)x24.错因分析本题错解的原因是

21、忽略了函数f(x)的定义域上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)x24来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数但是f(x)x24的定义域不是全体实数正解f(x22)x44x2(x22)24，令tx22 (t2)，则f(t)t24 (t2)，f(x)x24 (x2)函数的表示法是高考考查的热点，以选择题或填空题的形式出现居多，主要考查数学语言(表格、图象、符号)、识图和用图的能力；分段函数知识，是高考卷中体现较多的，同时也是较基础的知识点；映射是函数知识的一个应用，近两年高考涉及很少1(安徽高考)图中的图象所表示的函数的解析式为()Ay=|x-1|

22、 (0x2)By=|x-1| (0x2)Cy=-|x-1| (0x2)Dy=1-|x-1| (0x2)解析方法一(特殊值)取x=0可排除A、C，取x=1可排除D，故选B.方法二(直接法)0x1时，k=，则y=x；1x2时线段过(1，)，(2,0)两点，则k=-，y=- (x-2)y=分析答案知选B.答案B2(天津质检)已知函数yf(x)，xa.，b且A(x，y)|yf(x)，xa.，b，B(x，y)|x1，则AB中所含元素的个数是()A0 B1 C0或1 D0或1或2解析若1a，b，则根据函数定义知，x1与yf(x)交点只有一个，若1a，b，则AB，应选C.答案C1已知f(x)x2pxq满足f

23、(1)f(2)0，则f(1)的值为()A5 B5 C6 D6答案C解析由f(1)f(2)0，得p3，q2，故f(x)x23x2，于是f(1)6.2以下几个论断：从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；函数yx1，xZ且x(3,3的图象是一条线段；函数y的图象是抛物线其中正确的论断有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析函数是特殊的映射，由此知正确；中的定义域为2，1,0,1,2,3，它的图象是直线yx1上的六个孤立的点；是分段函数，它的图象不是抛物线因此，、都不正确3已知集合M0x6，Py|0y3，则下列对应关系中，不能构成M到P的映射的是()Af:x yx Bf:xyxC. f:xy

24、x D.f:xyx答案C解析由映射定义判断，选项C中，x6时，y6P.4函数f(x)x的图象是()答案C解析f(x)=x+的定义域为x|xR，且x0，所以f(x)=，由此即得5某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km为1.6元(不足1 km，按1 km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y(元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为()答案C解析由题意，当0x3时，y=10；当3x4时，y=11.6；当4x5时，y=13.2；当n-1，而通过观察可以看出C，D图中的水瓶的容量恰好是，A图中的水瓶的容量小于，不符合上述分析，排除A，C，D

25、选项7已知f(x)，则f(3)_.答案2解析f(3)f(5)f(7)752.8已知函数F(x)f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F16，F(1)8，则F(x)的解析式为_答案F(x)3x解析设f(x)kx，g(x) (k0，m0)，则F(x)kx.由F16，F(1)8，得.解得，所以F(x)3x.9已知f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_答案x|x1解析当x0时，f(x)1，代入xf(x)x2，解得x1，0x1；当x0时，f(x)0，代入xf(x)x2，解得x2，x0.综上可知x1.10动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D

26、再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，求f(x)的解析式解如图，当P点在AB上运动时，PAx；当P点在BC上运动时，由RtABP可得PA；当P点在CD上运动时，由RtADP可得PA=；当P点在DA上运动时，PA=4-x.故f(x)的表达式为：f(x)=12.2函数的表示法(一) 学习目标1掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点2掌握函数图象的画法及解析式的求法. 自学导引表示函数的方法常用的有：解析法、图象法、列表法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法列出表格来表示两个变量之

27、间的对应关系. 一、函数的表示法例1已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式ta.x，当x2时，t100；当x14时，t28，且参加此项任务的人数不能超过20人(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况分析可用待定系数法求函数解析式解(1)由题设条件知：当x2时，t100，当x14时，t28得方程组解此方程组得所以tx，又因为x20，x为正整数，所以函数的定义域是x|0x20，xN*y，这里y2x，xN，yR；1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1

28、4,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.61112131415161718192028.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列如图所示(4)自变量x共取120之间的20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作

29、的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果可以再设想，假设工作的人数没有限制，x再增大时，比如，x=50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t=53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低列表列表描点，画出图象，然后再总结出函数的性质三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主变式迁移1(1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100 kg)如表所示：月份t123456789101112零售量y818445469561594161144123则零售量是否为

30、月份的函数？为什么？(2)由下列图形是否能确定y是x的函数？解(1)是函数对于集合1,2，12中的任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，由它可确定为y是t的函数(2)不能确定为y是x的函数当x0时，由图可确定y有两个值1与它对应；能确定y是x的函数当x在x|x0)解(1)因为xZ，所以函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y1x上(如图)(2)所给函数可化简为y是一条折线(如图)点评函数图象的作法大致有两种：(1)描点作图法：步骤分三步，列表、描点、连线成图必要时，先对其函数定义域及性质进行研究，再分三步完成图象(2)图象变换法：利用基本函数图象作出所求图象，这种方法是一种常见的重要

31、的方法另外：作函数图象要注意函数的定义域，函数能化简的尽量先化简(等价转化)变式迁移3若(1)中定义域为x|x0；若(2)中定义域为x|x1或x1解析式不变，应如何作图解如图所示y如图所示1函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法2画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换3求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等一、选择题1下图中，可表示函数yf(x)的图象的只可能是()答案D解析只有D符合函数定义，即在定义域内每一个x对应唯一的y值2下列表格中的x与y能构成函数的是()A.x非负数非正数y11B.x奇数0偶数y101C.x有理数无理数y11D.x自然数整数有理数y

32、101答案C解析A中，当x0时，y1；B中0是偶数，当x0时，y0或y1，D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x1N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确3若f(12x) (x0)，那么f等于()A1 B3 C15 D30答案C解析方法一令12xt，则x (t1)，f(t)1，f16115.方法二令12x，得x，f16115.4已知f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，则f(x)等于()A3x2 B3x2C2x3 D2x3答案B解析设f(x)kxb (k0)，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，f(x)3x2.5函数yf(x)的图象与直线

33、xm的交点个数为()A可能无数 B只有一个C至多一个 D至少一个答案C解析设函数f(x)的定义域为D，则当mD时，f(x)图象与直线xm有且只有一个交点；当mD时，f(x)图象与直线xm无交点二、填空题6已知f(2x1)3x2且f(a)4，则a的值为_答案5解析f(2x1)3x2(2x1)f(x)xf(a)4，即a4a57一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水则一定能确定正确的论断序号是_答案解析设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1t，y22t.由图丙知，从03时蓄水量由0变为6，说明03时两个进水口均打开进水但不出水，故正确；34时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若34点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故不正确；46时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故亦不正确所以正确序号只有.8已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则fg(1)的值为_；当gf(x)2时，x_.答案11解析(1)fg(1)f(3)1；(2)gf(x)2，f(x)2，x1.12.2函数