渐近分析系列讲座1

1、渐近分析及其应用（一）绪 论,戴世强,渐近分析系列讲座（1）,上海大学上海市应用数学和力学研究所 2004年11月,我的思维不能停滞。给我问题，给我工作，给我最难解的密码，给我最错综复杂的分析。这样，我就会心情舒畅。 摘自福尔摩斯探案：四签名 跛足而不迷路能赶过虽健步如飞但误入歧途的人。 弗兰西斯.培根,楔子,目 录,第一章 绪论 1 引言 2 渐近分析概论 3 计算机代数概论 4 渐近公式和渐近级数 5 主要参考书目,1 引言,讲座性质 讲座受众 讲座目的 讲座内容 演绎方法,讲座性质,应用数学讲座: 介绍一类实用的应用数学方法 演绎一种有力学背景的应用数学 数学物理方法的后续性讲座: 数学

2、物理方程近似解法 积分的渐近分析 计算机代数的基本方法 渐近分析与计算机代数的结合,讲座受众,基本受众: 应用数学和力学学科博士 对应用数学和力学有兴趣的博士研究生 基础知识要求: 数学分析和复变函数； 常微分方程和数学物理方程； 基础力学（理论力学和连续介质力学初步）； C语言,讲座目的,掌握渐近方法的要旨 熟知渐近展开的基本概念和特征； 初步掌握各类渐近方法的实质和适用范围 掌握计算机代数的运用技巧 懂得符号运算与数值计算的区别； 掌握在渐近分析中应用计算机代数的技巧 初步学会用适当的渐近分析-计算机代数方法解决 较为复杂的实际问题,讲座内容,渐近分析： 1） 局部渐近分析（坐标摄动法）

3、积分的渐近表示法（Laplace法、驻相法、最陡下降法） 微分方程的级数解法（Frobenius法、主项平衡法）； 2) 全局渐近分析（参数摄动法） 正则摄动法； 两类奇异摄动法（长期项型、边界层型）： PLK方法、平均法、匹配法、多重尺度法、WKB法,讲座内容,计算机代数： 1) 计算机代数应用的基本技巧 计算机代数系统的构造、功能及基本函数； 计算机代数函数及功能的实际运用 2) 计算机代数在渐近分析中的应用 计算机代数与渐近分析结合的基本技巧； 在微机上应用计算机代数-渐近方法的防溢出方法,演绎方法,应用数学过程； 案例式； 互动式； 多媒体形式,2 渐近分析概论,渐近分析要旨 渐近分析

4、分类 渐近分析方法论 渐近分析应用背景 渐近分析的局限性,渐近分析要旨,应用数学中的一种近似解析处理过程； 一种逐次逼近分析； 一种摄动过程； 一种特殊的级数求解过程,渐近分析分类,局部渐近分析（坐标摄动）：在某点邻域 内作近似： 1 积分的渐近表示； 2 微分方程的局部渐近解； 全局渐近分析（参数摄动）：通过全解域 作近似或拼接局部渐近结果，获得全解域 适用的渐近解： 1 正则摄动； 2 奇异摄动。,渐近分析方法论,思维特点：以了解问题的物理和数学本质为基础， 逐次抓住决定性因素，逐项修正； 实现方法： 1 尺度分析； 2 变数变换； 3 解域分割； 4 级数截断。 分析要领： i）学会分清

5、主次； ii）学会问题的无量纲化； iii）学会腾挪变化； iv）学会多种方法的结合。,渐近分析应用背景,科学中的非线性问题的近似解析解； 特别适用于弱非线性问题； 得到最广泛应用的领域： 流体力学、固体力学、一般力学、非线性动力学、 量子力学、电动力学、统计力学、等离子体物理学、 工程热物理、大气物理学、地球物理学、生物数学、 船舶与海洋工程； 已经成为科学计算和工程分析的常用工具。,渐近分析的局限性,有时对强非线性问题无能为力； 不存在普适的渐近方法； 全局分析一般适用于含小（大）参数的问题； 对复杂问题解的误差估计较为困难。,3 计算机代数概论,计算机代数（符号运算） 计算机代数系统 符

6、号运算与数值计算的区别 计算机代数符号运算的功能 常用计算机代数系统,计算机代数（符号运算）,计算机代数（computer algebra）； 又称：符号运算（symbolic computation）； 符号与代数运算（symbolic and algebraic computation）； 数学机械化(mathematics mechanization) 计算机代数的研究对象：使用计算机进行公式 推演的途径、算法、语言和系统； 计算机代数是计算机科学的一个分支、人工智 能学的一个分支。,计算机代数系统,计算机代数系统（CAS，computer algebra system）：表示数学知识和

7、数学工具的系统，集 成化的计算机数学软件系统，以符号主义途径研制的 人工智能数学专家系统，借助于它们符号运算得以实 现。 计算机代数系统一般包括数值计算、符号运算、 图形演示和程序设计语言四个部分，四者融 成一体，保持公式推导、数值计算和图形可 视化操作的一致性和连贯性。,符号运算与数值计算的区别,符号运算 数值计算 运算参与者 符号 数字 类 比 代数运算 算术运算 研究的方式 分类法 个例研究 研究的结果 有普遍性 有特殊性 解析结构清晰,计算机代数符号运算的功能,多项式的四则运算和因式分解； 数学表达式的自动化简和可控化简； 代数方程的求解； 常微分方程和偏微分方程的求解； 各种特殊函数

8、的推导、运算； 函数的级数展开（如幂级数、Fourier级数展开）； 矢量运算和张量运算； 矩阵运算和行列式运算； 函数的微分和积分； 运算微积（如Laplace变换、Fourier变换）； 各种扩展功能（用户自行定义、编程）；,常用计算机代数系统,通用系统： Mathematica(Illinois大学，Wolfram研究公司， 1988-）； Maple(Waterloo大学，1980-)； MACSYMA(MIT，1982-）； Reduce(Utah大学，Rand公司，1973-）； DERIVE(Soft Warehouse公司）； SCRATCHPAD（IBM公司）； MuMath

9、 (Soft Warehouse公司） ； SMP(Caltech)； SAC(Wisconsin大学）； CASC（南昌大学）；,常用计算机代数系统,专用系统： ASHMEDAI(量子电动力学）； CAMAL(天体力学、广义相对论)； TRIGMAN(天体力学）； SCHOONSHIP(高能物理）； SHEEP(张量计算）； ALTRAN（有理函数方程求解）； DEPS (微分方程求解） ；,常用计算机代数系统,最常用商业系统： Mathematica：功能齐全、图形功能强，可用C语言和 FORTRAN语言输出结果、可用于微机； Maple：功能齐全、文本处理功能灵活、可用于微机； MACS

10、YMA：规模最大、功能最齐全；但机种要求高； Reduce：代换功能丰富、用LISP语言，无绘图功能； DERIVE：小巧灵活、有绘图功能，但接口不佳，适宜 于解决简单问题。,4 渐近公式和渐近级数, 41 渐近公式 函数与标准函数通过量阶符号作比较的公式。 量阶符号O： 定义在x0的邻域的函数, ，若存在常数A，当 或 时，称,渐近公式,量阶符号o： 定义在的函数, ，若对任意小的，有x0的邻域，使 或 时，称,渐近公式,量阶符号的性质： 传递性： 可积性： 可加性：,渐近公式,渐近公式实例：,渐近公式,重要的量阶比较：,渐近级数,渐近序列： 符合如下条件的标准函数系列n(x): 渐近幂函数

11、序列：,渐近级数,渐近级数定义： 若函数 f(x) 在x0附近可表示成 则称 为该函数当xx0时的N项渐近级数或渐近展开式，记做,渐近级数,渐近级数实例：,渐近级数,渐近级数与收敛级数的区别： 1）收敛级数：x固定，N项部分和当N趋于无穷大时有极限f(x)； 渐近级数：N固定， N项部分和当x趋于x0时有极限f(x)； 2）收敛级数：函数与级数的部分和之差的绝对误差趋于零； 渐近级数：函数与级数的部分和之差的相对误差趋于零； 3） 收敛级数：级数的项当n趋于无穷大时一定趋于零； 渐近级数：级数的项当n增大时不一定趋于零渐近级数 经常是发散的！,渐近级数,渐近级数的最佳截断： 由于渐近级数常为发散级数，故存在一个最佳截断问题，根据定义，N 项渐近级数的误差为 最佳截断的N 经常取渐近级数各项的最小值处。,渐近级数,渐近级数的最佳截断实例： 余误差函数的渐近展开：,渐近级数,渐近级数的性质： 1）可加性 2）与常数的可乘性,渐近级数,渐近幂级数的性质： 可乘