数字电子技术基础 1

1、数字电子技术基础,广州大学信息与控制工程系,数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础。 数字电子建立在模拟电子之上，没有模电就没有数电。 相对来说，数电比模电好学。,第一章 逻辑代数基础,本章重点 逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的基本定理 逻辑函数的各种表示方法及相互转换 逻辑函数的简化方法 约束项、任意项、无关项的概念以及无关项在化简逻辑函数中的应用,1.1 概述基础知识,数字电路的基本概念 数制和码制 算术运算和逻辑运算,一、数字电路的基本概念,模拟信号 在时间和数量上的变化都是连续的物理量 数字信号（满足以下条件的物理量）：

2、在时间和数量上的变化都是离散的 数值大小和和每次增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍 典型的数字信号,一、数字电路的基本概念,正逻辑和负逻辑 如：电压等于5V为高电平，电压等于0V为低电平，分别表示两个逻辑。 (1)正逻辑：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 (2)负逻辑：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。 正逻辑,一、数字电路的基本概念,数字电路 传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。 数字电路与模拟电路相比主要有下列优点： （1）由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和1两个基本数字，易于用电路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1

3、。 （2）由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。 （3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是不可缺少的。 （4）数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。 （5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。,二、数制和码制,数制 任意进制（N进制）数展开式普遍形式： -第i位的权 1. 十进制(Decimal) 2. 二进制(Binary) 3. 十六进制(Hexademical),在数字电路中应用最广,二、数制和码制,

4、数制转换 1. 二十转换 2. 十二转换 整数：“除2取余法” 小数：“乘2取整法” 3. 二十六转换 “四位合一位法” 4. 十六二转换 5. 十六十转换,二、数制和码制,例1.1 将二进制数10011.101转换成十进制数。 解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得 (10011.101)B124023022121120121022123 （19.625)D,二、数制和码制,例1.2 将十进制数23转换成二进制数。解： 用“除2取余法” 转换: 故（23)D =（10111)B,二、数制和码制,例1.3 将十进制数0.39转换成二进制数，保留小数点后4位。 解：用“乘2取整法”转换：

5、0.392=0.78 0 b-1 0.782=1.56 1 b-2 0.562=1.12 1 b-3 0.122=0.24 0 b-4 0.242=0.48 0 b-5 故(0.39)D=(0.0110)B,二、数制和码制,码制 代码：表示不同事物的数码 码制：编制代码时遵循的规则 几种常见二十进制（BCD码）代码： 8421码 余3码 2421码 5211码 余3循环码,最常见,返回,三、算术运算和逻辑运算,算术运算 加、减、乘、除 原码(true form) 最高位为符号位，其余为数值位。 反码(ones complement) 整数的反码和原码相同；负数反码的符号位和负数原码的符号位相同

6、，数值位是它的数值位按位取反。 补码(twos complement) 整数的补码是它本身（原码），负数的补码是原码逐位取反加1。 逻辑运算 1.2内容,使计算机的加减运算更简单,1.2 逻辑代数中的三种基本运算,逻辑代数二值代数 任何逻辑变量只有0和1两种取值。 基本运算 与（逻辑乘） 或（逻辑加） 非（逻辑求反）,基本运算,实现相应运算的电路称为x门（如与门、或门、非门） 真值表：用0和1表示的变量与函数的逻辑关系的表格。,复合逻辑运算,若A、B不同，则Y=1,若A、B相 同，则Y=1,小圆圈表示非运算,复合逻辑运算,异或、同或互为反运算,1.3逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式

7、重叠律 互补律、交换律、结合律 分配律 德摩根定理（反演律） 反演律,二、几个常用公式（吸收律）,A、B可代表一项，如(1)式中将A替换成AB，B替换成C+D，则：,(1),即1.4节代入定理,1.4 逻辑代数基本定理,一、代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,二、反演定理,又称为Shannons Theorem，规律为： + + 0 11 0 且保持先后顺序不变（先括号、然后乘、最后加） *不是一个变量上的反号不能变动 【例1.4】求下列函数的反函数,三、对偶定理,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式变化规律： + +

8、 0 11 0 与反演规则的区别是：函数中的原变量、反变量不进行变换。 【例1.5】求下列函数的对偶式Y,1.5 逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数 Y=F(A,B,C,) 输入输出间是一种函数关系。 例如举重裁判电路：,二、逻辑函数的表示方法,常用方法 逻辑真值表（真值表） 如表1.5.1 逻辑函数式（逻辑式、函数式） 逻辑图 卡诺图（1.7）,二、逻辑函数的表示方法,逻辑图 用图形符号表示函数关系,返回,逻辑式,真值表,二、逻辑函数的表示方法,各种表示方法间的相互转换,逻辑图,二、逻辑函数的表示方法,真值表 逻辑式 例如书例1.5.1,找出使Y=1的输入变量 取值的组合,每个组合对应一个乘

9、积项 1写入原变量 0写入反变量,将乘积项相加，得Y,二、逻辑函数的表示方法,逻辑图 逻辑式,三、逻辑函数的两种标准形式,最大项和最小项的概念 最小项 定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。 n变量的最小项有2n个，记为mi(i=0,1,n-1),三、逻辑函数的两种标准形式,最小项的性质：（重要） 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1。 任意两个最小项乘积为0。 具有相邻性的两最小项之和可合并成一项并消去一对因子。,三、逻辑函数的两种标准形式,最大项 定

10、义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。 n变量的最大项有2n个，记为Mi(i=0,1,n-1) 性质和最小项的性质相对应。,三、逻辑函数的两种标准形式,最小项之和形式 例1.6： 例1.7： “最小项”和“任一逻辑函数都可以化为最小项之和的形式”是两个非常重要的概念，在逻辑函数的化简和变换中经常用到。,较常用,=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）,三、逻辑函数的两种标准形式,最大项之积形式（很少用） 最大项之积与最小项之和的关系： 若 ，因为 ，所以 则,结论：若 ，则Y必能化成编号为i以外的那些最大

11、项之积。,1.6 逻辑函数的公式化简法,一、逻辑函数的最简形式 逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如： 最简 x x 式： 如最简与或式，指包含的乘积项最少，且每个乘积项里的因子也不能再少。 最简 x x 式变换成其它形式的逻辑式时，结果不一定最简。,常用,二、常用的公式化简方法,公式化简法需熟练掌握公式，并需一定技巧和经验。多做习题。,三、公式化简法例题,例1.8 (1)并项法 运用 ，将两项合并为一项，消去一个变量。如： (2)吸收法 运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。如： (3)消因子法 运用吸收律 消去多余因子。如： (4)配

12、项法 先通过乘以 或加上 ，增加必要的乘积项。如：,三、公式化简法例题,在化简时，要灵活运用上述方法。 例1.9 化简逻辑函数 解：,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,三、公式化简法例题,例1.10 化简逻辑函数 解：,（利用反演律 ）,（利用 ）,（配项法）,（利用A+AB=A）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,三、公式化简法例题,例1.11 化简逻辑函数,解法1：同书例1.6.8,解法2：,可见，逻辑函数的化简结果不一定唯一。,公式化简法的优点是：不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验

13、；有时很难判定化简结果是否最简。,例1.12 试将函数 分别写成最小项之和 和最大项之积 的形式,1.7 逻辑函数的卡诺图化简法,一、逻辑函数的卡诺图表示法 相邻性 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 例如，最小项ABC和 就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。 如,一、逻辑函数的卡诺图表示法,卡诺图 用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。,一、逻辑函数的卡诺图表示法

14、,一、逻辑函数的卡诺图表示法,仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性： 1. 直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。 2. 对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。,一、逻辑函数的卡诺图表示法,用卡诺图表示逻辑函数 任何逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。 1. 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 如：,2. 如表达式不是最小项表达式，但是“与或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。,例1.13 用卡诺图表示逻辑函数,二、用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项的规则

15、 基本原理： 合并规律： 2个相邻的小方块合并，消去1个取值不同的变量而合并为1项。 4个相邻的小方块合并，消去2个取值不同的变量而合并为1项。 8个相邻的小方块合并，消去3个取值不同的变量而合并为1项。 ,二、用卡诺图化简逻辑函数,合并规律举例：,二、用卡诺图化简逻辑函数,用卡诺图合并最小项的原则（划圈原则）：,1. 圈尽量少、尽量大。但每个圈内只能含有2n(n=0,1,2,3, )个相邻项，要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 2. 组成函数的最小项必须被划到，即不能漏掉取值为1的最小项。 3. 每个圈内必须包含1个或1个以上新的最小项。 4. 最小项的小方块可以重复使用。,二、用卡诺图化简

16、逻辑函数,用卡诺图化简逻辑函数步骤：,(1) 将逻辑函数化为最小项之和形式 (2) 画出逻辑函数的卡诺图 (3) 合并最小项（按划圈规则） (4) 写出最简式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式,化简结果不一定唯一。,二、用卡诺图化简逻辑函数,书例1.7.3,此例说明： 一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化 简结果有时不是唯一的。,二、用卡诺图化简逻辑函数,书例1.7.4,二、用卡诺图化简逻辑函数,例1.14 将下列四变量函数化为最简与或式,卡诺图化简法的 优点：简

17、单、直观、有一定步骤可循，易掌握，易避免差错。 缺点：变量超过5个以上时，实用意义不大。, 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简,一、约束项、任意项、无关项 约束项 某种制约关系的最小项，恒等于0。 将约束项写入逻辑式中不影响函数值。 任意项 某些最小项等于1时，函数值是0是1无所谓。 约束项和任意项统称为无关项。 表示方式： 表达式中： 表示无关项之和，卡诺图中：x表示。,例如：在十字路口有红绿黄 三色交通信号灯，规定红灯 亮停，绿灯亮行，黄灯亮等 一等，试分析车行与三色信 号灯之间逻辑关系。 解：设红、绿、黄灯分别用 A、B、C表示，且灯亮为 1，灯灭为0。车用Y表示， 车行Y=1，车停Y

18、=0。列出 该函数的真值。,显而易见，在这个函数中，有5个最小 项为无关项。 带有无关项的逻辑函数的最小项表达式 为： Y=m（ ）+d（ ） 如本例函数可写成 Y=m（2）+d（0,3,5,6,7）,二、无关项在化简逻辑函数中的应用,卡诺图中，根据约束项的值可为1，可为0，尽量将圈画的少，画得大。使逻辑函数更简。画入圈中的约束项作为1，没画入的作0处理。 例1.15 Y(A,B,C,D)=m(1,4,5,6,7,9)+d(10,11,12,13,14,15) 用卡诺图法化简该逻辑函数。 解：(1)画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 将10、11、12、13、14、15号小方格填入。 (2)合并最小项，如图(a)所示。注意，1方格不能漏。方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 (3)写出逻辑函数的最简与或表达式:,如果不考虑无关项， 如图(b)所示，写出 表达式为,二、无关项在化简逻辑函数中的应用,例1.16 将下列具有约束项的逻辑函数化简为最简与或式：,由卡诺图也可得到其它形式的最简式 1. 化简为最简与或非式： 可考虑在卡诺图中先圈0，再将圈0所得的函数化为最简与或式，然后在此最简式上加反，即得最简与或非式。 例1.17将下式化简为最简与或非式,2. 化简为最简或与式： 步骤和画圈原则基本与最简与或式相同。不同的是与或式化简采用最小项