高中数学 1.3.2球的体积和表面积学案新人教版必修

1、1.3.2 球的体积和表面积 学习目标 1. 了解球的表面积和体积计算公式；2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P27 P28，找出疑惑之处）复习：柱体包括_和_,它的体积公式为_；锥体包括_和_,它的体积公式为_；台体包括_和_,它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_.二、新课导学 探索新知新知：球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式 球的表面积公式 其中，为球的半径.显然，球的体积和表面

2、积的大小只与半径有关. 典型例题例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍? 变式：若三个球的表面积之比为，则它们的体积之比为多少?例2 一种空心钢球的质量是142，外径是5.0，求它的内径. （钢密度7.9）例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式：半径为的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为，则为多少?小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来

3、展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决. 动手试试练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.BCAD452三、总结提升 学习小结1. 球的表面积及体积公式的应用； 2. 空间问题转化为平面问题的思想. 知识拓展极限的思想推导球的表面积公式过程：如图,将球的表面分成个小球面，每个小球面的顶点与球心连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这个小棱锥的体积和，表面积是这个小球面的面积和.当越大时，分割得越细密，每个

4、小棱锥的高就越接近球的半径，于是当趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式. 学习评价 当堂检测1.若球的半径扩大倍,则球的表面积扩大（ ） A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为，球直径为，正方体的棱长为，则（ ）. A. B. C. D.3. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为 （ ）. A.1:2:3 B.1: C.1: D.1:4:94. 已知球的一个截面的面积为9，且此截

5、面到球心的距离为4，则球的表面积为_.5. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的倍，则这个圆锥的高应为_. 课后作业 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A.32 B.16 C.12 D.8 2.设A 、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 （ ）A. B. C. D. 3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) A.B. C.D.5 4.毛泽东送瘟神中写到：“坐地日行八万里”,又知地球的体积大约是火星

6、的8倍,则火星的大圆周长约 万里. 5.一球内切于棱长为2的正方体,则该球的体积为 ,该球表面积为 . 6.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 7.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比. 8.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由. 9.如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积S、的大小关系. 10. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.11.