高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第一课时 等差数列学案（含解析）新人教A版必修

1、第一课时等差数列等差数列的定义提出问题1有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，320.22016年里约奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为48,53,58,63.3鞋的尺码，按照国家规定，有22,22.5,23，23.5，24,24.5，.问题1：上面三组数能构成数列吗?提示：能问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点提示：各等于同一常数导入新知等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，

2、这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示化解疑难1“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合2“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： 作差的顺序；这两项必须相邻3定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.等差中项提出问题问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍导入新知等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.化解疑难1A是a与b的等差中项，则A或2A

3、ab，即两个数的等差中项有且只有一个2当2Aab时，A是a与b的等差中项.等差数列的通项公式提出问题若一等差数列an的首项为a1，公差是d.问题1：试用a1，d表示a2，a3，a4.提示：a2a1d，a3a12d，a4a13d.问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.提示：ana1(n1)d.导入新知等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)化解疑难由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，

4、等差数列为常数列等差数列的判定与证明例1判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列类题通法定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列活学活用已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，b

5、n3an4，问：数列bn是否为等差数列？请说明理由解：数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义知，数列bn是等差数列.等差数列的通项公式例2(1)在等差数列an中，已知a511，a85，求通项公式an；(2)已知等差数列an满足a11，a3a4，求通项公式an.解(1)设数列an的公差为d.由等差数列的通项公式及已知条件可得解得an19(n1)(2)2n21.(2)设等差数列an的公差为d，由已知得解得当d2时，an1(n1)22n1；当d2时，an1(n1)(2)2n3

6、.类题通法1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d较为简捷活学活用1在等差数列an中，a25，a6a46，求a1.解：设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式，得a2a1d5，a6a15d，a4a13d.a6a46，a15da13d6.联立解得a18.2401是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解：由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1，由题意知，4014n1.得n100，即401是这个

7、数列的第100项.等差中项例3已知等差数列an，满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式解在等差数列an中， a2a3a418，3a318，a36.即解得或当时，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.当时，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.类题通法三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN*)活学活用1已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_，_，_.解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以得答案：51

8、42已知数列an满足an1an12an(n2)，且a25，a513，则a8_.解析：由an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：21典例已知等差数列an的首项为a1，公差为d，且a1126，a5154，求a14的值你能判断该数列从第几项开始为正数吗？解由等差数列ana1(n1)d列方程组：解得a144613220.an46(n1)22n48.令an0，即2n480n24.从第25项开始，各项为正数易错防范1忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n24也满足条件2由通项公式计算时，易把公式写成ana1n

9、d，导致结果错误成功破障一个等差数列的首项为，公差d0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围解：设等差数列为an，由d0，知a1a2a9a10a11，依题意，有即解得d，即公差d的取值范围是.随堂即时演练1已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：选Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差数列的前3项依次是x1，x1,2x3，则其通项公式为()Aan2n5 Ban2n3Can2n1 Dan2n1解析：选Bx1，x1,2x3是等差数列的前3项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d

10、2，an12(n1)2n3.3等差数列的第3项是7，第11项是1，则它的第7项是_解析：设首项为a1，公差为d，由a37，a111，得a12d7，a110d1，所以a19，d1，则a73.或直接由a7得a73.答案：34已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为_解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x1y， y是x和10的等差中项，即2yx10, 由可解得x4，y7.答案：4,75在等差数列an中：(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解：(1)由题意，知解得(2)由题意，知解得an12(n1)2n1.a929117.课时达标检测一、选择题

11、1在等差数列an中，a30，a72a41，则公差d等于()A2BC. D2解析：选B由题意，得解得 2设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab Ba3bCab或a3b Dab0解析：选C由等差中项的定义知，x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.3若等差数列an中，已知a1，a2a54，an35，则n等于()A50 B51C52 D53解析：选D依题意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.4在数列an中，a115,3an13an2，则该数列中相邻两项乘积为负值的项是()Aa21和a

12、22 Ba22和a23Ca23和a24 Da24和a25解析：选C因为an1an，所以an是以15为首项，为公差的等差数列所以an15(n1).验证可知a23，a24，即a23a240.5(北京高考)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析：选C设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错

13、；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30，aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错二、填空题6已知数列an是等差数列，且a3a1150，a413，则a2等于_解析：因为所以a11，d4，所以a25.答案：57已知数列an是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x28x70的两根，则它的通项公式是_解析：解方程x28x70得x11，x27.数列an的各项均为正数，a11，a37.公差d3.ana1(n1)d3n2.答案：an3n28数列an是等差数列，且anan2n，则实数a_.解析：an是等差数列

14、，an1an常数a(n1)2(n1)(an2n)2ana1常数2a0，a0.答案：0三、解答题9在等差数列an中，已知a1112，a2116，这个数列在450到600之间共有多少项？解：由题意，得da2a11161124，所以ana1(n1)d1124(n1)4n108.令450an600，解得85.5n123，又因为n为正整数，故有38项10已知an是等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式(1)a35，a713；(2)前三项为a,2a1,3a.解：(1)法一：设首项为a1，公差为d，则解得ana1(n1)d1(n1)22n1.通项公式是an2n1.法二：d2，ana3(n3)d5(n3)22n1.通项公式是an2n1.(2)a,2a1,3a是等差数列的前三项，(2a1)a(3a)(2a1)解得a.d(2a1)aa1.ana1(n1)d(n1)n1.通项公式是ann1.11数列an满足a11，1(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：由1，可得2，数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知1(n1)22n1，an.12已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列的项吗？解：法一：设等差数列an的前三项