函数的零点.ppt

1、函数的零点,问题探究,我的根是0.5,我的根是3和-1,我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！,问题2：求下面这个方程的实数根,怎么解呢？,怎么解一般的方程,问题3,?,先观察几个具体的方程及其相应的函数.,上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,思考:从该表你可以得出什么结论？,求出表中一元二次方程的实数

2、根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.,思考探究一,推广:一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系，结论是否仍然成立？（我们以a0为例）,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,函数的图象 与 x 轴的交点,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,两个不相等 的实数根x1 、x2,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标,其他函数与方程之间也有同样结论

3、吗？,方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标,推广到更一般的情况，得：,一.函数零点的定义：,例1：函数f(x)=x(x24)的零点为（ ） A(0，0)，(2，0) B0，2 C(2，0)，(0，0)，(2，0) D2，0，2,函数的零点是实数，而不是点。,求函数的零点就是求函数所对应方程的根。,对于函数yf(x)，把使 f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点,D,2、区别：,1、联系：,数值上相等 存在性相同：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点,零点对于函数而言，根对于方程而言,问题4:函数y=f(x)的零点

4、与方程f(x)=0的根有什么联系 和区别？,1.函数y=f( x)的图象如下， 则其零点为 .,-2,1,3,不好意思，我没有零点，你答对了吗？,观察二次函数f(x)x22x3的图象： 在区间-2，1上有零点_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0（“”或“”） 在区间(2，4)上有零点_； f(2)f(4)_0（“”或“”）,1,4,5,3,探究:,问题4:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？,观察函数的图象并填空: 在区间(a,b)上f(a)f(b)_0(“”或“”) 在区间(a,b)上_(有/无)零点； 在区间(b,c)上f(b)f(c) _ 0(“

5、”或“”) 在区间(b,c)上_(有/无)零点； 在区间(c,d)上f(c)f(d) _ 0(“”或”) 在区间(c,d)上_(有/无)零点；,有,有,有,如果函数y=f(x)在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,二、函数零点存在性定理：,（1）两个前提条件缺一不可,（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？,至少有一个，可以有多个。,（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？,如果函数y=f(x)在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，

6、并且f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )f( b )0的结论吗？,反之不成立！,(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。,练习1：在下列哪个区间内,函数f (x)= x33x5 一定有零点（ ） A、(1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3）,C,B,解法2：,例1 求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数。,方程lnx+2x6=0根的个数,方程lnx=-2x+6根的个

7、数,函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数,例2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。,变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。,变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。,变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。,变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2(-1,3)，求实数m的取值范围。,方程 f(x)=0 有两正根 ,二次方程 ax2+bx+c

8、=0(a0) 的实根分布问题,记 f(x)=ax2+bx+c(a0),方程 f(x)=0 有两负根 ,方程 f(x)=0 的两实根都小于 k ,方程 f(x)=0 有一正根一负根 ,f(0)=c0.,方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ,f(k)0.,探求,方程 f(x)=0 的两实根都大于 k,方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内,方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内., f(m)f(n)0, 或,方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(np)内.,注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)

9、的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:, f(x) 图象的开口方向;,方程 f(x)=0的判别式;,区间端点处函数值的符号., f(x) 图象的对称轴与区间的关系;,1.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有且仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。,3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 较小根在（0，1）， 求m的取值范围,2.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 较大根在（0，1）， 求m的取值范围。,变3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围,练一练,4.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一

10、根比1小，则有( ) (A)-1a1 (B)a-2或a1 (C)-2a1 (D)a-1或a2,C,例3. 已知方程(m)x2mx至少有一个正根，求实数m的范围,解: 若m,方程为x，x符合条件,若m,设f(x)(m)x2mx, f()， 方程f(x)无零根,如方程有异号两实根，则x1x2，m, m,由此得，实数m的范围是m .,1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若 f(a).f(b)0 (a,b R,且ab),则函数y=f(x) 在(a,b)内（ ） A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点,B,知识巩固练习：,3、若函数 有3个零点 则,2、若方程 在（

11、0，1）内有一解， 则 的取值范围是_;,小结,1.知识和要求：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会图象连续的函数在某区间上存在零点的判定方法。,2.数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。,课后延展：,的零点在（2,3）内,已知函数,6,2,ln,),(,-,+,=,x,x,x,f,如何求这个零点的近似值？,0,有两相异实根 x1, x2 (x1x2),x|xx2,x|x1 x x2 ,=0,0,x|x ,R,没有实根,有两相等实根 x1=x2=,一元二次函数 、方程、不等式之间的关系,y0,y0,y0,y0,复习,(x1,0) , (x2,0

12、),与x轴的交点,(x1,0),没有交点,大于取两边,小于取中间,练习,二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程与数形结合的思想将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键.,若方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根为、, 则 方程ax2-bx+c=0 (a0)的两根为-、-； 方程cx2+bx+a=0 (a0)的两根为1/、1/； 方程cx2-bx+a=0 (a0)的两根为-1/、-1/ 。,方程12x2+5x+2=0 的两根为 .,方程2x2-5x-12=0 的两根为 .,方程2x2+5x-12=0 的两根为 .,方程12x2-5x+2=0 的两根为 .,4、3/2,4、 3/2, 1/4、2/3,1/4、 2/3,轻松一刻,若不等式 ax2+bx+c0 的解是,则不等式 ax2-bx+c0 的解是 .,不等式 cx2+bx+a0 的解是 .,2x3,试一试,方程 有两正根 ,二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的实根分布问题,方程 有两负根 ,方程 f(x)=0 有一正根一负根 ,方程 的两实根都大于 k ,方程 的两实根都小于 k ,方程 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)