专升本(高数—)第三章一元函数积分学.ppt

1、成人高考高数一辅导,蔡 健 农业与生物工程学院 College of Agriculture ,（二） 不定积分的基本积分公式,基本积分表 ,（二） 不定积分的基本积分公式,A.,B,C.,D.,提示公式：,2011年选择、4分,故选B,提示公式：,2011年填空、4分,提示公式：,2011年解答、8分,（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）,2008年解答、8分,（四） 分部积分法,2010年解答、8分,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项

2、减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,第二节 定积分,（一）基本概念与基本性质,（二）牛顿-莱布尼兹公式,第三章 一元函数积分学,2011年考了8分,（三）定积分的换元积分法和分部积 分法,（四）无穷区间上的反常积分,实例1 （求曲边梯形的面积）,（一）基本概念与基本性质,1、定积分的定义,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,1. 分割,2. 近似,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,3. 求和,4. 取极限,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,2.定积分存在

3、定理,定理,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3.定积分的几何意义,几何意义：,小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,证,（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）,性质1,4.定积分的性质（证明了解即可）,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值

4、的大致范围）,性质6,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,小结,1. 积分上限函数,2.牛顿-莱布尼茨公式,（二 ）牛顿-莱布尼茨公式,考察定积分,称为积分上限函数。,1.积分上限函数,积分上限函数的定义,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,例1 求,解,定理 3（微积分基本公式）,证,2.牛顿莱布尼兹公式,(Newton-Leibnitz Formula),令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,

5、注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 求,解,2012年填空，4分,例7 求,解,解 面积,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,1.定积分的换元法,（三） 定积分的换元法,2.定积分的对称性,3.定积分的分部积分法,定理,1.定积分的换元法,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例 计算,解,令,2010年填空，4分,又解例 计算,解,注意,注意:,（1）,（2）,不可以！,证,2.定积分的对称性,奇函数,例,解,原式,2011年选择，4分,所以选D,推导,3.定积分的分部积分公式,几个特殊积分、定积

6、分的几个等式,定积分的换元法,小结,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,定义1,（四） 无穷区间上的反常积分（了解）,例计算,解,定义2,解,定义3,（一）求平面图形的面积,第三节 定积分的应用 （二重积分和该项内容考到可能性 极大）,（二）求旋转体的体积,2011年考了10分,学习视频 ,回顾,曲边梯形求面积的问题,1、定积分的元素法,（一）求平面图形的面积,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,2、求平面图形的面积,如

7、何用元素法分析？,，,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积 表达式。,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,如何用元素法分析？,2、求平面图形的面积,第二步：写出面积 表达式。,如何用元素法分析？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,于是所求面积,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,平面图形的面积的计算步骤:,(1) 画草图,(2) 选择合适的积分变量,(3) 求交点,确定积分限.,(4) 列式,原则:尽可能使分的块数越少越好.,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,2、求旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,2、求旋转体的体积(volume of body),（3）,（2）,旋转体的体积为,例 由,1. 求其所围成的图形的面积.,所围的平面图形如图所示,0,x,y,