玻色子与费米子PPT演示课件.ppt

1、18-9 统计物理学的基本概念,一.粒子的运动状态,粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 例：气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子,粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。,1,设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义动量确定：,1.粒子的运动状态的经典描述,粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：,如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。,由2r个广义坐标和广义动

2、量张成的2r维直角坐标空间：,2,空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出一条轨迹。,a.三维自由粒子,自由度：3；空间维数：6,能量：,例子:,3,以一维自由粒子为例，以 为直角坐标，构成二维的 空间，设一维容器的长度为 ，粒子的一个运动状态 可以 用 空间在一定范围内的一点代表:,4,2.粒子运动状态的量子描述,微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）,德布罗意关系(1924年)：,不确定性关系（1925年）,其中,都称为普朗克常数。,5,6,在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函

3、数来描述的，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。,微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效,微观粒子的运动不是轨道运动,微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。,普朗克常数的量纲： 时间能量=长度动量=角动量 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。,7,如果自由度为r，相格大小为：,进一步

4、说明： 微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。,自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数：,8,对动量采用球坐标：,9,D(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数，称为动量空间的态密度。,对非相对论性的自由粒子，有：,10,表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为态密度。,注意： 以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。 如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，

5、光子自旋为1，由于自旋角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态，因此上面的量子态数公式需乘以2：,11,二、系统微观运动状态的描述,相关概念,a.系统,热力学和统计物理学中研究的对象都是由大量微观粒子构成的系统。,b.近独立粒子,我们现在只讨论：近独立的全同粒子构成的系统,粒子之间的相互作用很弱，可以忽略,系统的能量为单个粒子的能量之和：,N为系统的粒子的总数,12,1.系统微观运动状态的经典描述,c.全同粒子,粒子的质量、电荷、自旋都相同。,d.系统的微观状态,指构成系统的所有粒子的力学运动状态。,假设

6、系统有N个粒子，每一个粒子的自由度为r，第i个粒子的力学运动状态，由r个广义坐标和r个广义动量来描述：,当组成系统的N个粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。 因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。,13,一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在空间中用一个点表示； 由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在空间中用N个点表示； 如果交换两个代表点在空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。,经典力学中，全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换

7、前后，系统的力学运动状态是不同的。,形象描述：,14,微观粒子的全同性原理,2. 系统微观运动状态的量子力学描述,微观粒子的波粒二相性（微观世界的基本特征）,不确定性关系,微观粒子不是轨道运动,全同的微观粒子不可分辨,量子力学如何描述系统的微观粒子运动状态？,全同的粒子可以分辨,全同的粒子不可分辨,确定每一个量子态上的粒子数,确定每一粒子的量子态,（1924年，印度人玻色（Bose）首次提出）,（定域系统）,（非定域系统）,15,一个简单规则（几乎普遍适用）： 由玻色子构成的复合粒子是玻色子； 由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子； 由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。,b）玻色子：自旋量子

8、数为整数的粒子。 如：光子、介子等。,a）费米子：自旋量子数为半整数的粒子。 如：电子、质子、中子等。,玻色子与费米子,例子：,费米子遵从泡利不相容原理: 在含有多个全同近独立费米子的系统，占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个。 玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束。,16,3.玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统,玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成； 特点：处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。,玻色系统: 由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成； 特点：不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制。,费米系统: 由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成； 特点

9、：受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子。,设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？,17,对于玻尔兹曼系统（定域系统）可有9种不同的微观状态：,18,对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态：,19,对于费米系统，可以有3个不同的微观状态：,20,分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数,21,经典统计力学 在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计力学。 量子统计力学 在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计力学。,两

10、者在统计上的原理上相同，区别在于对微观粒子的描述。,力学（经典力学或量子力学）+统计学原理=统计力学（统计物理学）,22,三、等概率原理,系统的宏观状态：指热力学中讨论的系统的状态，即热力学宏观态，由 一组参量表示，如总粒子数N、总能量U、体积V。,为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追究微观状态的复杂变化， 只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值。因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。,例1：孤立系统的总粒子数N （不是开系）、总能量U（外界不做功也不传热）、体积V （外界不做功）不变。,系统的微观状态： 在经典力学中，系统由2Nr个广义坐标和

11、广义动量描述。 在量子力学中，确定系统每一个粒子的量子态（定域系统） 或者，确定每一个量子态上有多少个粒子（非定域系统）,例2：和大热源接触达到平衡的系统的总粒子数N （是闭系） 、温度T （和大热源接触） 、体积V （外界不做功）不变。,为什么需要这个原理？,23,： 。,对于处于平衡状态下的孤立系统，系统的宏观状态由N、U、V 确定，但系统的微观状态数是大量的，并且发生着复杂的变化，在相同的宏观条件下，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些，很自然认为，这些微观状态应当是平权的。 也就是说，对于孤立系统，在相同的宏观条件下，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。,等概率原理：,等概

12、率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设，该原理不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证，它的正确性在于从它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。,正确性？,24,四、分布与微观状态数,1. 分布,设有一个系统，由大量的近独立粒子构成，具有确定的N、U、V ，对于确定的宏观状态下，如果系统的粒子按能级作如下排列：,能级：,简并度：,粒子数：,25,给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上的粒子数，它与系统的微观状态是两个性质不同的概念。,微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒子运动特征。 例如：在某一能级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，也就是它的微观状

13、态是什么样的，我们需要确定。,任务：在给定的一个分布下，计算系统的微观状态数。,同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出的微观状态 数显然是不同的，下面分别加以讨论。 涉及到的数学就是高中的排列组合问题。,26,玻耳兹曼系统的粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 个粒子占据能 级 的 个量子态时，是彼此独立、互不关联的。,2. 玻耳兹曼系统的微观状态数,分布相应的系统的微观状态数为：,27,玻色系统的粒子不可分辨，每一个个体量子态能容纳的粒子个数不受限 制。,3. 玻色系统的微观状态数,首先 个粒子占据能级 上的 个量子态可能方式为：,考虑到粒子的不可分辨性，交换 个粒子不产生新的状态

14、；同时，在 上图中，交换 个量子态(注意固定一个量子态)也不产生新的微观状 态，因此，在上式中，要除以粒子的交换数和量子态的交换数，故得：,将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为：,28,费米系统的粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 个粒子占据能级 上的 个量子态，相当于从 个量子态中挑出 个来为粒子所占据，有 种可能的方式。,4. 费米系统的微观状态数,将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布相应的微观状态数为：,29,简单理解：,30,1.玻耳兹曼系统的粒子可以分辨，每一个量子态上粒子数不受到限制，因此问题就是：,2.玻色系统的粒子不可以分辨，每一个

15、量子态上粒子数不受到限制，因此问题就是：,3.费米系统的粒子不可以分辨，每一个量子态上粒子数不会超过1，因此问题就是：,N个完全不相同的球放在盒子中的方法有多少种？,N个完全相同的球放在盒子中的方法有多少种？,N个完全相同的球放在盒子中的方法有多少种？,31,5.经典极限条件,则称满足经典极限条件，也称非简并性条件。,如果在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即：,32,在玻色和费米系统中， 个粒子占据能级 上的 个量子态时本来是 有关联的，但在满足经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的平均粒 子数远小于1，粒子间的关联可以忽略（这也是经典极限条件称为非简并性

16、条件的原因）。这时，全同性的影响只表现在因子 上。,33,对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设：,6.经典统计中的分布和微观状态数,这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表 示，该体积元的大小为：,它表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体积，称为经典相格，这 里 由测量精度决定，它最小值为普朗克常数，在经典物理学中，它没有 下限。,现将 空间划分为许多体积元 ，以 表示运动状态处在 内的 粒子所具有的能量， 内粒子的运动状态数为 ，这样， 个粒子处在各 的分布可表示为 。,34,能级：,简并度：,粒子数：,体 积 元:,由于经典粒子可以分辨，处

17、在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经 典系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布 相应的经典系统的 微观状态数为：,35,玻耳兹曼系统,玻色系统,费米系统,经典系统,微观状态数,36,对于不同的分布，系统的微观状态数是不同的。 可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。,18-10 玻耳兹曼统计,等概率原理：对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。,一. 最概然分布-玻耳兹曼分布,微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。,下面推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼分布。,玻耳兹曼系统真正的应用是：定域系统 （固体的统计物理问题：顺磁性固体；固体的

18、热容量问题）,37,斯特令公式：,38,这些,不完全是独立的，必须满足两个约束条件：,引入两个拉格朗日不定乘子 和 ，定义拉格朗日函数：,即：,有极值等价于F有极值，有极值的必要条件为：,39,以上是微观状态数有极值的的必要条件，下面验证，这个极值也是极大的：,是极大值,40,玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为 的量子态上的平均粒子数：,上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。 和 分别由下面条件决定：,和 分别由下面条件决定：,41,经典统计中的玻耳兹曼分布,42,18-11 玻色分布和费米分布,费米分布,玻色分布,43,玻色分布和费米分布分布也可表示为处在能量为 的量子态s上的平均粒子数,44,三种分布的关系,费米分布,玻耳兹曼分布,玻色分布,如果参数,满足条件：,则玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布，由于,因此条件（#）也称为经典极限条件或者非简并性条件，由此知道：满足经典极限条件的玻色(费米)系统遵