泛函分析(丁时进教授)

1、一.分析数学的发展历程：,1.初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（16421727）和莱布尼茨（16461716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。,在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。,流数术：,“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”牛顿的微分和积分的观点互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表 ) 莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 符号，沿用至今

2、。,1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是已死量的幽灵，因为是费马略去的无穷小量 ，还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。 达朗贝尔将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。,欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有无穷小分析引论。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶 在分析学方面都作出了巨大贡献。,但至此，微积分学的基础还没有找 到合适的解决办法。所以，法国哲学家 伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一 个其存在性是无从想象的东西的艺术。”,柯西分析教程：“若代表某变量的一串数值无限地趋向

3、于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。 魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的 语言。 语言柯西准则构成微积分的基础“极限论”的基础。,2.微积分的基础,3.实数理论,在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。,勒贝格（18

4、75-1941）创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。,4. 20世纪分析学的发展,20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学偏微分方程多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式反函数理论，成为当代分析学的基础知识。,同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。

5、希尔伯特空间巴拿赫空间广义函数论成为常识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。,从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。,二.从“数“到”泛函分析“的知识体系,数（自然数整数有理数实数复数）,变量,函数（描述变量之间的变化关系）,极限,函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）,实分析（Lebesgue积分理论,函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间无限维空间）,函数空间上定义的函数， 即泛函或算子,派生：微分几何学，复变函数，微分方程等； 现代：流形流形上的分析学。,三、用现代

6、数学的观点看已学过数学 知识,从上面的发现过程看来，可以归结为：,第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数 第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素” 函数变成了泛函。 所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。,变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。,小学就开始学习“距离空间”。如，直线 上点与点之间的距离。中学时学习的,作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。,其实，现在我们知道，还可以采用很 多方法定义距离。,2.在空间上定义拓扑定义收

7、敛性,一般说来， 中有界闭集合一定是紧 的，这就是数学分析中所说的致密性定理。,但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela-Ascoli）.,5.现在我们看看“函数空间”,1在 上连续的函数的全体构成一个集合 。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。,1 Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的. 2积分与极限交换顺序的问题,6.另三个典型的例子可以看到 人类认识的发展：,3在通常意义和Lebesgue意义

8、 下都无法解释的“函数”,四、几个问题,a.极值问题从函数极值到短程线问题,半正定极小,半负定极大,泛函的极值：短程线，障碍问题,（1）捷线问题：,初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点 A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？,A,y,B,x,分析：,A,y,B,x,(2)短程线,众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：,要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？,分析：设山坡的曲面方程 为F(x,y,z)=0,设连接 A、B的曲线为：,y=y(x),z=z(x),则A

9、、B 间曲线 的弧长是,所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函,的最小值,（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。,设曲线方程为 是定长，则面为 ， 求A在约束条件 之下求最小值等周问题。,历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年,（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。（1）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。（2）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。,等周定理：,其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。,（4）绕

10、过障碍,拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘 ，则弧长为,但是要保证 其中 是W的边界方程。,（5）球面上的短程线,（6）不动点定理从一维到高维求 解非线性问题,i. 设 在 上连续，且 ， 则存在 ,使得,即： 连续且将 映到自身，那么 在 中有不动点，此为Schauder不动点。,ii.压缩映象原理,如果函数 定义在 上，且存在 使得 那么存在唯一的 使得,iii.高维,如果一个连续映射把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。,还有类似的压缩映射原理,iv.无限维,在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray Schau

11、der不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。,五、总结可供选择的题目,1、变分问题,3、函数方程常见解法,4、隐函数定理及其应用,2、不动点定理及其应用,5、中学如何讲授微积分 （在没有 的情况下）,6、中学数学问题中的微分方程,7、从分析角度谈数系,8、球面上三角形的计算问题,9、函数的迭代,11、无穷大量对中学数学的指导意义 （有界、无界、渐近线等）,12、不等式的证明从离散到积分 形式（函数的导数、积分、凹凸性）,10、复数方法解决中数问题,13、用拓扑的观点看函数的连续性 和一致连续性,六、现在，把上面提到的有些问题作 一些解释,1、关于函数方程,其他函数方程：,其他方程如：,待

12、定系数法、极限、幂级数法,微积分法还可用于,可以从已知函数所满足的关系式反过来 思考，再讨论一些函数方程。,参考文献：王向东等著，函数方程及其应用， 上海科技文献出版社，2003,2、函数的迭代与不动点,设连续函数 f : RR，复合函数f(f(x)记作 f2 (x) f(f(x),类似的定义 f(f(f(x)=f3(x), ,f(f(f(x)=fn(x), 称为函数的迭代。视n次迭代fn 为R中的一个映射。,若存在xR，使fn(x)=x，则称x是映射fn 的不动点。fn 的不动点的集合记作Fix(fn ) 可以考察：n，极限是什么（对具体函数或给f 一定的条件）? 也可以考察，在哪些条件下，fn 有不动点，Fix (fn )有什么性质？,3、用不动点解非线性问题或用迭代 法求解非线性问题,例：设f(x)在a, b上连续，且a f(x) b， x a, b，求证存在x0 a, b ，使x0 =f(x0 ) 思想：选x1 a, b ，定义xn+1 =f(xn)，n=1，2， 证明xn 收敛且极限x0就是不动点。 思考：推广到高维映射； 应用到其他的问题；,*2006年高考题：A是由定义在 2, 4 上具有满足如下条件的函数 组成的集合：,4、解微分不等式Gronwall不等式,由 在一定条件下研