高等数学部分习题答案摘录

1、次序不定积分基本积分公式不定积分第一换元法(凑微分法)不定积分第二换元法不定积分的倒数换元法不定积分分部积分法不定积分有理函数积分法不定积分三角有理式的特殊情形定积分的定义定积分变上限积分定积分的性质定积分的换元法定积分的分部积分法利用对称性求定积分定积分的应用向量代数其他类型习题简称上册：高等数学上册 南开大学数学科学学院 刘光旭 张效成 赖学坚 编下册：高等数学下册 南开大学数学科学学院 刘光旭 张效成 赖学坚 编讲义：高等数学习题课讲义（第三版）上册 薛运华 赵志勇编著提示在文档中可以用Ctrl+F搜索关键字，例如“利用对称性求定积分”，“231页B1”等，这样能更快地查找。不定积分基本

2、积分公式不定积分第一换元法(凑微分法)1.如果被积函数中明显含有复合函数，就能顺藤摸瓜，找到中间变量，也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出，就可以凑微分了（允许差一个常倍数）。2.如果复合函数不明显，但被积函数中有一个因子适合看成，也可以先凑微分，再看剩余部分能否理解成的函数.3.有些题则需要主动进行恒等变形，将被积函数中分解成与的乘积。讲义112页14.2(9)006解题思路如下008分子分母同时乘以x，xdx凑微分也可以直接令t= 如果把x换成tant呢？估计也行。011012上册200页A1(62)013022先通分，然后注意到是的导数，是f的导数于是可以通过商的导数公式凑出来

3、 不定积分第二换元法以去掉根号，简化运算为最终目的，其他的都是手段总结规律是为了提高尝试的成功率熟练掌握后，什么招好使就使什么招，规律也有例外003028上册198页A1(16)上面的解答有点小问题还可以这样因为不定积分是在某个区间内求原函数，两种区间只能取其中一个（也可以是子区间），所以也可以不讨论。假设换个题，被积函数处处有定义，就得注意讨论了。但是中，x0最后再求极限逼近030上册219页A10033上册211页B1定积分变上限积分（参见习题课讲义134-136页）注：f连续，且被积函数不含参变量x，才能用以上公式。求导：换元，令u=x-t，再求导即可019上册219页A1(4)求导02

4、6上册211页A8定积分的性质005016上册220页B5 ,B66题见习题课讲义129页例16.85题方法与6类似 036积分中值定理即可021上册211页B7025上册211页B6老师第六题可以用柯西中值定理吗?g(x)有时可能=0，不满足柯西中值定理的条件029上册211页A7042上册219页A4定积分的换元法020上册211页B2方法一方法二031上册230页A8037上册231页B7040上册229页A2(4)上面是用三角换元，和处理二次根式的方法一样。于是把分母都变成一个整体，而不是几项相加。本题也可以看成第四种部分分式，那样有点麻烦。043上册229页A2(3)045上册229

5、页A2(11)解法一sinx+cosx的导数是cosx-sinx可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx解a，b拆成两个分式 解法二换元t=pai/2-x也可以定积分的分部积分法利用对称性求定积分038上册219页A3(3)017上册219页A3(5)046上册231页B4解法一丢个dx解法二被积函数是中心对称函数和轴对称函数乘积，且对称中心在对称轴上044上册231页B1解题思路如下023上册229页A2(5)解法一解题思路如下（含解法二）可以像第一个解法那样分两个区间，也可以像第二个解法，不分割区间换元时，x和t是对称点，f(x)=f(t)相当于把对称点处的两个被积函数值相加，x+=是常数可以提出去了剩下的积分就好求了解法三解法四解法五