立体几何中的向量方法.ppt

1、,3.2立体几何中的向量方法,法向量,思考：,如何确定一个点、一条直线、一个平面在空间的位置？,O,P,一、点的确定：,二、直线的确定：,直线l的方向向量,三、平面的确定：,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,平面的法向量：,注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行;,求法向量的步骤：,11,研究,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向

2、量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？,思考2：,平行与垂直,l,m,l,l,m,l,小结：平行关系,小结：垂直关系,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,巩固性训练2,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,巩固性训练3,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k=

3、 ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA/平面EDB (2)求证：PB 平面EFD,A,B,C,D,P,E,F,空间角,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,复习引入,2. 线面角,l,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角

4、为 ( ),则,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ,3、二面角,若二面角 的大小为 , 则,法向量法,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_ .,3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_ .,基础训练:,1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_ .,600,1350,【典例剖析】,N,解

5、：如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= . (1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,【练习1】,例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA/平面EDB (2)求证：PB 平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD

6、，PD=DC, E是PC的 中点，作EFPB交PB于点F. (3) 求二面角C-PB-D 的大小。,A,B,C,D,P,E,F,平面PBC的一个法向量为,解2 如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1.,平面PBD的一个法向量为,G,z,y,x,A,D,C,B,S,【练习2】,例3 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。,【典例剖析】,D,B,A,C,E,P,解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建

7、立空间直角坐标系，,设BE=m，则,【巩固练习】,1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为_ .,3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 中点, 则二面角E-BC-A的大小是_,1、如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角BASO的余弦值,【课后作业】,2、(2004，天津)如