第二章+薛定谔方程.ppt

1、第二章 薛定谔方程,2.1 薛定谔得出的波动方程,2.2 无限深方势阱中的粒子,2.3 势垒穿透,2.4 谐振子,对于微观粒子，牛顿方程已不适用。,1、 波函数基本形式,一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:,1)一维自由粒子的波函数,用指数形式表示：,取复数实部,微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程,2.1 薛定谔得出的动力学方程,对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：,量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式！,这里的和 一般都为复数。,（三维）自由粒子波函数,波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映

2、粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!,单位体积内粒子出现的概率!,2)玻恩（M.Born)的波函数统计解释:,概率密度：,3)波函数满足的条件,1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性；,2、连续：概率不会在某处发生突变；,3、有限,4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1,即：,波函数归一化条件,波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一,1、由归一化条件得:,2、粒子的概率密度为:,例：作微运动的粒子被束缚在0xa的范围内。 已知其波函数为,试求：1、常数 A； 2、粒子在0到 a/2区域出现的概率； 3、粒子在何处出现的概率最大？,解:,在0xa/2区域内，粒子出现的概率为：,3

3、、概率最大的位置应满足,因为： 0xa,2、薛定谔方程的建立,薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明,薛定谔,1)一维定态薛定谔方程的建立,薛定谔假设波函数通过一个振动因子exp(-iwt)和时间有关。,对于一维运动,波动方程的一般形式为,这就是定态薛定谔方程，E、U不随时间发生变化，概率密度也与时间无关。,这就是关于粒子运动的普遍的运动方程，式中U也可以是随时间而变化的。,2)一维含时薛定谔方程的建立,若E随时间发生变化，薛定谔认为E不应出现在方程中，将定态方程中E消去，得到的应该是含时间的普遍的波函数方程。,讨论,(2) 由薛定谔方程得出的结论却与实验结果相符。,(3) 薛定谔

4、方程是量子力学基本方程, 它不能被证明，是一种基本假设。,(1) 薛定谔方程是“凑”出来的，半猜半推理的方式常萌发出全新的概念和理论。,3）推广到三维情况， 薛定谔方程可写为：,拉普拉斯算符：,一般的薛定谔方程可写为：,引入哈密顿算符:,则薛定谔方程普遍形式:,讨论,(2) 数学上，对任意能量值E , 薛定谔方程都有解，但从物理角度而言，仅仅满足波函数条件（单值、有限、连续、归一）的解才有物理意义。,(3) 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。,(4) 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。,(1) 薛定谔方程是量子力学中的一

5、项基本假设。,在球坐标系中薛定谔方程为,不显含时间,薛定谔方程的一般表达式,设一个特解,代入薛定谔方程，得：,4)由含时薛定谔方程可以推导出定态薛定谔方程,令上式两边同时等于一常数 E , 则,左边:,右边:,- 一维定态薛定谔方程普遍形式,例 一质量为m的粒子在自由空间绕一定点做圆周运动，半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。,1、 一维无限深势阱,1 ) 势能曲线,2.2 无限深方势阱中的粒子,2)无限深势阱,U 与t 无关，一维定态薛定谔方程：,势阱外,E 为有限值，所以,势阱内,（1）解方程,令:,（2）确定常数 A、,奇函数。,偶函数。,由波函数连续性， 边界条件

6、(-a/2) = 0 (a/2) = 0,两项结果合并：,而：,即：阱内粒子能量只能取离散值，称为能量的本征值。,标准化条件,能量量子化是粒子处于束缚态所具有的性质。,因,由归一化条件：,能量本征函数,能量本征波函数：,本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。,能量本征函数（概率密度）与坐标的关系,经典观点：,不受外力的粒子在势阱内自由运动，在各处出现的概率密度是相等；经典粒子可以处于静止的能量为零的最低状态。,量子论观点：,概率密度是波函数模的平方，与位置有关;量子粒子的最小能量不为零。,无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波！,结论：,讨论:,(1)

7、 无限深方势阱中粒子能量量子化 n是量子数，En是能量本征值，又称能级。,(2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n越大, 能级间隔越大。,基态，其余称为激发态,(3) 势阱中粒子波函数是驻波 基态除 x=-a/2, x=a/2 无节点. 第一激发态有一个节点, k 激发态有 k=n-1个节点.,(4) 概率密度分布不均匀,当 n 时过渡到经典力学,2.3 势垒穿透,1、一维半无限深方势阱,设三个区域的波函数分别为,2、势垒穿透；隧道效应,设通解：,边界条件：,D=0,隧道效应:微观粒子能量E小于势垒U0时，粒子有一定的几率贯穿势垒的现象称,按经典粒子不可能在 区出现！,但微观

8、粒子粒子仍有可能在 区出现！,原来在区的粒子也可以在势垒的另一边 区出现！,隧道效应是微观粒子具有波动性的必然表现！,应用：1、a 衰变（ a 粒子从放射核中逸出 ）,针尖非常尖锐,接近原子尺寸，针尖与表面接近到零点几毫米时，电子波函数重叠，若加一小的直流电位差，出现 隧道电流 I ，电流对针尖 表面距离 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , I 减小一个数量级。保持 I 不变，针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况。,可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格结构，表面缺陷细节，观测活体 DNA 基因，病毒。,2 、STM(Scanning Tunneling Microscope) 观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。,STM,下图为镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是 1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。,鲁斯卡,罗赫尔,宾