正项级数的敛散性判别方法探究

1、正项级数敛散性判别方法的研究正项级数是一个重要的级数，它对于研究一般项级数和函数项级数的敛散性具有重要意义。本文主要讨论了判断正项级数敛散性的几种常用方法，并对它们进行了推广，使它们更适用、更便于计算。然后，讨论了各种判别方法之间的关系，判断它们的优缺点。最后，通过典型实例验证了本文判别方法的有效性。关键词：正项系列；趋同和分歧；判别法1导言级数的收敛性由部分和序列的极限来定义。一般来说，部分和很难得到，需要用级数敛散性的判别方法来判断。对于正项级数，从部分和有界的充要条件出发，导出了一种比较判别法。它需要以已知收敛和发散的级数作为比较对象。如果以等比数列为比较对象，可以得到柯西判别法和达朗贝

2、尔判别法。但是当极限为1时，这两种判别方法都是无效的。为了得到这个结果，我们需要找出比等比级数收敛慢的级数作为比较级数。以级数和级数为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围更广。此外，我们还可以利用非负函数的单调性及其积分性质，以无穷区间上的广义积分为比较对象来判别正项级数的敛散性，这就是积分判别法。与之相对应的是导数判别法。2正系列的相关概念1让1是一个可数的无限个实数，我们称它们为“和”一系列的数(简称系列)，它被称为级数的通称或通称。定义2如果一个数列的所有项都是非负实数，也就是说，它被称为带正项的数列。定义3取该系列前面段落的总和，写为,它被称为级数的部分和，即级数的部

3、分和。定义4如果部分和序列收敛到一个有限的数，那么级数收敛，并且它的和被称为，它被写成；如果部分和级数发散，则级数发散。3个正项级数收敛的常用判别法3.1比较判别法1定理1正级数收敛的充要条件是它的部分和级数有上界。定理2(比较判别式法)让和是两个正级数。如果有一个常数并且它成立，那么(1)收敛时，它也收敛；(2)当发散时，它也发散。推论(比较判别式的极限形式)设和是两个正级数，如果和是同阶的无穷小，那么(1)当时，同时收敛或发散；(2)当级数收敛时，级数也收敛；(3)当级数发散时，级数发散。3.2柯西判别法和达朗贝尔判别法根据比较原理，其他级数的敛散性可以用已知的敛散性级数作为比较对象来判断

4、。以等比级数为比较对象，得到柯西判别法和达朗贝尔判别法。3.2.1柯西判别法及其推广2定理3是一个正级数，那么这个级数在那时收敛；当时，系列分化；那时，序列可能会收敛或发散。推论1(广义柯西准则1)被设置为一系列正项，如果(，这时，级数收敛了；当时，系列分化；那时，序列可能会收敛或发散。因为，也就是说，对于任何正数，都有一个正整数。当时，有(1)对于任何常数，它总是存在的。当时，有(2)当时，同时建立了公式(1)和公式(2)。(1)当时，它被认为是足够小，使。从上面的讨论中，存在着，当时存在着，正项级数收敛，并且级数通过比较判别式方法收敛。(2)当时，它小到足以制造。存在于上述讨论中。当时，正

5、项的级数发散了，而级数发散了比较判别法。(3)在第那时，把它小到足以使它从上面的讨论中存在。当时有。因为，正项级数收敛了，这是比较判别法所知道的。到时候，取足够小的来制作。从上面的讨论，存在。当时，有，那么，所以系列分歧。当时，服用，然后，当级数发散时，级数收敛，所以不确定级数是收敛还是发散。示例1讨论了以下系列的收敛和发散(1)；(2)。如果采用柯西判别法，则需要计算解(1)，这是相当复杂的。广义柯西判别法1表明级数收敛。(2)因为本原级数的收敛性是由广义柯西判别式方法2已知的。3.2.2达朗贝尔判别法及其推广假设定理4是一个正级数，然后(1)当时，级数收敛；(2)当或时，级数发散；(3)当

6、时不可能判断级数的敛散性。推论(广义达朗贝尔判别法)如果它是一个正级数，那么(1)当时，级数收敛；(2)当或时，级数发散。证书(1)当时，是的，当时有，当时有也就是说，设定，那么，就是这样其中是任何正整数，可见，正确，全部。考虑系列的部分分割和序列也就是说，有一个上限，所以它存在，假设，和注释因此.,也就是说，它收敛了。(2)如果，它从某个项目开始，此时，原始系列偏离。示例2讨论了以下系列的收敛和发散。(1)；(2)。采取解决方案(1)是因为,所以原来的级数收敛了。(2)采取，因为,所以原来的级数收敛了。引理3假设和是两个正级数。如果有一个自然数，在那个时候，不等式和成立，那么(1)如果级数收

7、敛，则级数收敛；(2)如果级数发散，则级数发散。根据已知的条件，有自然数。那时，不平等已建立。还不如用自然数。当时，；当时，只有一个自然数，因此。如果是，那么；如果，只有一个自然数，这就构成了，在哪里，那么就有，和。因为，在有限的一步之后，假设会有一步，所以。这可以用定理2来证明。定理5是一系列正项，如果，那么当时，系列聚合；当时，系列分化4。(1)在那个时候，它是可以选择的，所以，根据极限的定义，应该有一个正整数，所以在那个时候，有和，而且因为实数是可以选择的，所以。顺序，然后级数收敛通过极限的性质和存在，它在当时就被确立了。拿着，然后，根据引理，级数收敛。(2)当时的选择是，根据极限的定义

8、，应该有一个正整数，所以当时有和。秩序，系列发散，和,根据引理，级数发散。示例3讨论了以下系列的收敛和发散。(1)；(2)。解决方案(1)因为然后根据定理5，级数收敛。(2)因为然后根据定理5，级数收敛。3.2.3柯西判别法和达朗贝尔判别法的关系如果属性为，则。那么，搜查令，你可以推出去。定理6被设置为一个正级数，如果，那么级数在那时收敛；当时，这个系列出现了分歧。从以上属性可以知道它是可用的。所以，证据可以通过柯西判别法获得。示例4确定以下系列的收敛和发散。(1)；(2)。解决方案(1)如果，那么，因为，根据定理6，原始级数收敛。(2)如果，那么。根据定理6，在那时，原来的级数收敛了；最初的

9、系列有所不同。3.3积分判别法和导数判别法定理7(积分判别式法)对于一系列的正项，让它作为一个连续递减函数单调递减，这样级数和广义积分同时收敛和发散。定理8(导数判别法)是在某个邻域中定义的，并且存在于，级数收敛的充要条件是：证据也可能是一切都有，从一个地方到另一个地方存在，很容易知道，从一个地方到另一个地方是连续的，并且可以在某个邻居中推导出来。适足性：由、由、由，并且级数收敛，这可以从比较判别式方法中得知。必要性：如果级数收敛，那么。因此也就是说，它可以在二阶中导出，并且级数的收敛性可以通过导数判别式方法知道。3.4拉贝判别法和高斯判别法5柯西判别式和达朗贝尔判别式是基于将待判别的级数与等

10、比级数进行比较的思想。也就是说，如果一个给定级数的一般项收敛到零的速度比一个收敛的等比级数的收敛速度快，则可以判断该级数收敛到零。如果级数的一般项缓慢收敛到零，就无法判断。Rabe以级数为比较对象，得到Rabe判别式。高斯把级数作为比较对象。定理9(拉贝判别式法)被设定为正级数，并且极限存在，那么当时，系列聚合；当时，这个系列出现了分歧。定理10(高斯判别法)如果正级数满足条件，这时级数收敛；时间序列有所不同。证明(1)当，采取适当的，我们证明在那个时候，有一个不平等为此，我们注意，因此根据已知的条件，有()因为，当时，上述公式是正的，即。这表明当它足够大时，序列是单调递减的，所以它是有界的：

11、也就是说，因此，系列收敛。(2)当时，它在公式()中找到因此，当它足够大时，有,也就是说，数字序列单调增加。所以有也就是说，,所以系列有所不同。推论被设定为一个正级数，并且极限存在，那么当时，系列聚合；当时，这个系列出现了分歧。例7设定并尝试讨论系列的收敛和发散。那时，原来的系列可以减少到，然后系列发散。当时，(1)采用拉贝判别法然后，原始序列收敛；最初的系列有所不同。(2)采用高斯判别法然后，原始序列收敛；最初的系列有所不同。注：高斯判别法虽然比拉贝判别法更精确，但其运算过程也相对复杂。从理论上讲，如果我们按照这个思路进行，我们可以找到新的判别方法，判别范围更广，但这些判别方法也更复杂。4结

12、束语判断正项级数敛散性的方法有很多，本文仅列举一些常用的判别方法。在应用过程中，有必要根据不同主题的特点选择合适的判别方法。同时，选取了一些典型的例子来检验相关理论的有效性。正项级数敛散性判别法也可用于判断负项级数和一般级数的绝对敛散性，也可推广到函数级数敛散性判别。参考1陈继秀等.数学分析(第二卷)m。北京，高等教育出版社。2004: 15-25。刘三阳，李广民。数学分析十讲M。北京，科学出版社。2011: 131-145。李铁峰。引用该论文王志平，王志平，王志平.数学通报，1990 (1): 46-47。吴慧凌。引用该论文王志平，王志平，王志平.丽水学院学报，2006，28 (5): 24-26。陈盒、史继怀、徐森林。数学分析