大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

1、习 题 六6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。解 (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系 设振动方程为 时 故振动方程为 (2)设此时弹簧对物体作用力为F，则其中 因而有 (3)设第一次越过平衡位置时刻为，则 第一次运动到上方5cm处时刻为 ，则 故所需最短时间为： 6-2 一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过

2、点 A时作为计时起点(t0)，经过2s后质点第一次经过点B，再经 2s后，质点第二经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A点处的速率。解 由旋转矢量图和可知s由于(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方。t=0时, t=2s时， 由以上二式得 因为在A点质点的速度大于零，所以所以，运动方程为：(2)速度为： 当t=2s时 6-3 一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24，求：(1)周期T； (2)速度为12时的位移。解 (1) 设振动方程为以、代入，得： 利用则解得 (2) 以

3、代入，得：解得： 所以 故 6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。解 设振动方程为： 根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得： 故振动方程为 6-5 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移7.5 cm，初始速度；(2)其初始位移7.5 cm，初速度。解 设振动方程为 (1) 由题意得： 解得： A=10.6cm 故振动方程为： (2) 同法可得： 6-6 一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：(1)此小物体是停止在

4、推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?解 (1)小物体停止在振动物体上不分离。(2) 设在平衡位置弹簧伸长，则又 故 当小物体与振动物体分离时 ，即 ，故在平衡位置上方0.196m处开始分离。6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数是多大?解 设振动方程为 则： 以x=6cm v=24cm/s代入得：解得 最

5、大位移处： 由题意，知 6-8 两根倔强系数分别为和的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动?若作谐振动，其周期是多少?若将两弹簧并联，其周期是多少?解 (1) 串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长、 (1) (2) 取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，两弹簧再次伸长、，则由(1)知 (3)又 (4) (5)由(4)、(5)得 (6)将(6)代入(3)得 看作一个弹簧 所以 因此物体做简谐振动，角频率周期 (2) 并接：物体处于平衡位置时， (7)取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x则 式中、

6、分别为两弹簧伸长 所以 将(7)代入得 看作一个弹簧 所以 因此该系统的运动是简谐振动。其角频率 因此周期 6-9 在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最低点，如图所示。若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体作谐振动；(2)振动周期。证明 取最低点为平衡位置，物体与O点连线偏离的角为。(1) 物体与O点连线偏离角时，指向平衡位置的力矩很小，故，所以 (1)可见该力矩为指向平衡位置的线形回复力矩，故物体作谐振动。(2) 由于 根据(1)式有 令 则 6-10 如图所示，半径为R的圆环静止于刀口点O上，令其在自身平面内作微小的摆动。(1

7、)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。解 (1) 设圆环偏离角度为 所作振动为简谐振动 所以 (2) 等效单摆周期为的摆长为。6-11 如图所示，质量为m、半径为R的半圆柱，可绕圆柱的轴线O在重力作用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴处，求其振动周期。解 OC偏离中垂线角时指向中间的力矩根据转动定理 其中 代入得 即 所以 6-12 测量液体阻尼系数的装置如图所示。若在空气中测得振动频率为，在液体中测得振动频率为，求在液体中物体振动时的阻尼因子。解 在空气中振动方程为 在液体中振动方程 (为阻尼系数)对应的振动角频率 则 即 所以 6-13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，该

8、振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为多大时，动能和势能各占总能量之半? 解 设振幅为A，弹簧倔强系数为k， (1) 当位移是振幅之半时 (2) 位移为x时，动能、势能各占总能量的一半则有 所以 6-14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，(1)求谐振动的振幅；(2)位移是多大时，势能与动能相等?(3)位移是振幅之半时，势能是多大?解 (1) 设振幅为A，由机械能守恒定律，得 (2) 动能、势能相等时有 因此 (3) 位移为振幅一半时，势能为 6-15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数，重物的质量为m 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水

9、平恒力F10 N向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向左运动了0.05 m，此时撤去力F。当重物运动到左方最大位置时开始计时，求物体的振动方程。解 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A，由功能原理可得 因此 又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为故得运动方程为 6-16 两谐振动的振动方程分别为 (SI) 试求其合振动的振幅和初相位。解 由振动合成公式，得结合矢量图得6-17 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的相位差为。若第一个谐振动的振幅为cm，求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差。解 由题意可画出两简谐

10、振动合成的矢量图，由图知 易证 故第一、二两振动的相位差为 6-18 质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动 (S1)求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任一位置所受的作用力。解 (1) y方向的振动可化为消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为(2) 由 可得 同理 因此 6-19 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅A10cm，圆频率，当t1.0s时，x10cm处质点的位移为零，速度沿负方向，此时x=20cm处质点的位移为5.0cm，速度沿正方向。已知波长10cm，试写出该波的波函数。解 由已知得 A0.1m, ，波沿x轴正向传播，故可设波函数为：m当t=1s 时，x=0.1m处，y=

11、0m 故故有 (1)对t=1.0s ，x=0.2m 处，有故有 (2)对(1)、（2）两式k取相同的值的根据是10cm由(1)、(2)得 故所求波函数为6-20 一简谐波的周期T=0.5s，波长=10 m，振幅A 0.1 m。当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿Ox轴正向传播；求：(1)此波的波函数，(2)时刻，处质点的位移；(3)时刻， 处质点的振动速度。解 (1)由已知条件，可设波函数为： 由已知 t=0，x=0时，y=0.1m故 由此得因而波函数为(2) ，处:(3) ，处，振动速度为6-21 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅为A，频率为，波

12、速为u。设时刻的波形曲线如图所示。求：(1)x=0处质点的振动方程；(2)该波的波函数。解 (1) 设x=0处该质点的振动方程为： 由时波形和波速方向知，；时 故 所以x=0处的振动方程为:(2) 该波的波函数为：6-22 根据如图所示的平面简谐波在t=0时刻的波形图，试求：(1)该波的波函数；(2)点P处的振动方程。解 由已知，得，m (1) 设波函数为 当t=0，x=0时，由图知因此 (或)则波函数为(2) 将P点坐标代入上式，得6-23 已知一简谐平面波的波函数为。 (1)试求t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出t4.

13、2 s时的波形曲线。解 (1) 波峰位置满足条件所以 显然k=8时，离坐标原点最近，设通过原点时刻为t，则 所以 (2) t=4.2s时的波形曲线6-24 一平面简谐波沿Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，波速为u。设t0时的波形曲线如图所示。(1)写出该波的波函数；(2)求距点O分别为和两处质点的振动方程；(3)求距点O分别为和两处质点在t0时的振动速度。解 (1)由图知，故 波函数 (2) 时 时 (3) 6-25 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程。解 ，P处振动曲线振动方程 (2) Q处的振动曲线振动方程 6

14、-26 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图。设简谐波的频率为250 Hz，且此时质点P的运动方向向下，求：(1)该波的波函数；(2)在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。解 (1) ，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为 t=0，x=0时 ，则因，所以取（或由旋转矢量图知）故波函数为(2) x=100m时，当x=100m时，6-27 如图所示，两列波长均为的相干简谐波分别通过图中的点和。通过点的简谐波在平面反射后，与通过点简谐波在点P相遇。假定波在平面反射时有半波损失，和两点的振动方程分别为和，且，求：(1)两列波分别在点P引起的振动方程；(2)点P的合振动方程

15、(假定波在传播过程中无吸收)。解 (1) (2) 6-28 如图所示，两相干波源和之间的距离为d=30m，且波沿Ox轴传播时不衰减，=9m和=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源间的最小相位差。解 由题意得 对m处 所以 因此 6-29 在均匀媒质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波函数分别为和，试求Ox轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。解 合振幅最大点满足的条件是可得 合振幅最小点满足的条件是可得 6-30 如图所示，和为两相干波源，相距，的相位比的相位超前，若两波在连线方向上的强度均为，且无吸收。问连线上在外侧各点的合成波的强度如何?又在外侧各点的合成波的强

16、度如何? 解 以为坐标原点，水平向右为x轴正方向,建立坐标系。外侧，、传出的波函数为故 、振动方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅为零因此 外侧，、传出的波函数为合振幅为2A，又因波强正比于因此 6-3l 两波在一根很长的弦线上传播，其波函数分别为求：(1)两波的频率、波长和波速；(2)两波叠加后的波节位置；(3)两波叠加后的波腹位置。解 (1) 波动方程可写作标准形式为 故，(3) 节点条件满足 故 ，(3) 波腹条件满足 6-32 在弹性媒质中有一沿Ox轴正向传播的平面波，其波函数为 (S1)，若在x=5.00m处有一媒质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减。试写出反射波的

17、波函数。解 处的振动方程所以反射波波函数为 6-33 一弦上的驻波方程为 (S1) (1)若将此波视为两列传播方向相反的波叠加而成，求两列波的振幅及波速；(2)求相邻波节之间的距离，(2)求时，位于x0.625m处质点的振动速度。解 (1) 因故 由于 所以 ms(2) 相邻波节间的距离 (3) 故当，时 6-34 一列横波在绳索上传播，其波函数为 (SI)(1)现有另一列横波(振幅也是0.05 m)与上述已知横波在绳索上形成驻波。设这一横波在x0处与已知横波同相位，试写出该波的波函数。(2)写出绳索中的驻波方程，求出各波节的位置坐标表达式，并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。解 (1) 设

18、反射波的波函数为： 因x0处与已知波的波函数相位相同，故因而，波函数为 (2) 驻波方程 =波节处应有： 即 (k=0,1,2,)离原点最近的四个波节的坐标数值为： 1m, -1m , 3m, -3m6-35 简谐波在直径d0.10m的圆柱形管内空气媒质中传播，波强度，波速为250，频率为，试计算：(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2)两相邻同相位面(相距一个波长的两个波面)之间的波段中平均含有多少能量。?解 (1) 因 故 (2) 6-36 一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率Hz。若该媒质的密度为800，求：(1)该波的能流密度；(2)一分钟内垂直通过面积的总能量。解 (1) 该波的平均能流密度(2) 一分钟内垂直通过面积的总能量为6-37 一汽笛发出频率为1000Hz的声波，汽笛以10