第4章-傅里叶变换和系统的频谱分析.ppt

1、2020/8/5,1,第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,2020/8/5,2,4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱(傅里叶变换) 4.5 傅里叶变换的性质 4.7 周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI系统的频域分析 4.9 取样定理,2020/8/5,3,4.1 信号分解为正交函数 矢量的分量和矢量的分解,2020/8/5,4,正交信号空间,设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列特性：,常数,则称此函数集为正交函数集，这n 个 构成一个n维正交信号空间。 任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间 内可以用组成信号空间的这n个

2、正交函数的线性组合来近似。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,2020/8/5,5,在使近似式的均方误差最小条件下，可求得,均方误差,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,若令 趋于无限大， 的极限等于零 则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）,代表函数 和 间的相似程度或相关程度,2020/8/5,6,如果在正交函数集 外, 不存在函数 ，,其中,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,完备正交函数集 （定义2）,2020/8/5,7,完备-有两层意思：,1.如果 在区间内与 正交，则 必属 于这个正交集。,2.若 与 正交，但 中不包含 ，

3、 则此集不完备。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,即： 函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。,2020/8/5,8,如果在区间 内，复变函数集,满足,则称 为正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,复变函数的正交特性,若复变函数集是完备的，则,2020/8/5,9,周期信号 f (t) 在区间 (t0 , t0+T) 可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅立叶级数。,1822

4、年法国数学家傅里叶（17681830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的原理。,4.2 傅里叶级数,2020/8/5,10,4.2 傅里叶级数,Dirichlet条件： (1) 在一个周期内绝对可积； (2) 在一个周期内只有有限个有限值的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。),2020/8/5,11,三角函数集是完备正交函数集,4.2 傅里叶级数 周

5、期信号展开为三角型傅里叶级数,Sin 0=0 不包含在三角函数集中!,2020/8/5,12,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,傅里叶系数：,2020/8/5,13,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,14,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角形傅里叶级数,2020/8/5,15,例：将下图所示方波信号 f(t) 展开为傅里叶级数,解：,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,16,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,17,所以，所示信号的傅里叶展开式为：,思考：取多少次谐波才

6、能有效表示这个信号？,均方误差为,考虑 时，,本例中：,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,18,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,19,吉布斯（Gibbs）现象,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点附近出现起伏，起伏频率随谐波分量增加而增加，起伏峰值不随谐波分量增加而减少，起伏峰值有9%的超量。,2020/8/5,20,吉伯斯现象产生原因,时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2

7、020/8/5,21,若给定的函数 f (t) 具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。,f (t) 为偶函数,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,22,偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,23,f (t) 为奇函数,奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,24,f (t) 为奇谐函数(半波镜像信号),f (t) 为偶谐函数(半波重叠信号),偶谐信号只含有正弦与余弦的

8、偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。,奇谐信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流和偶次谐波分量。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,25,例：正弦交流信号 经全波或半波整流后的波形分别如图所示，求其傅里叶级数展开形式。,解(1) 全波整流信号,信号为偶函数，又是偶谐函数,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,26,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,27,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,28,解(2) 半波整流信号,4.2 傅里叶级数 周期信号

9、展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,29,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2020/8/5,30,复指数函数集是完备正交函数集,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数,2020/8/5,31,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数,傅里叶系数：,2020/8/5,32,4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式,2020/8/5,33,4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式,若 f (t)为实函数,2020/8/5,34,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式,2020/8/5,35

10、,例 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。,解:,因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式,2020/8/5,36,例 求 Fn,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式,2020/8/5,37,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数总结,2020/8/5,38,从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系,4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率,直流功率,谐波功率,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,2020/8/5,39,例,求f (t)

11、的功率。,解：,1),2),4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率,2020/8/5,40,频谱的概念,或,通过研究傅里叶系数An、Fn 和 来研究信号的特性，它们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，称为频谱函数。,4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱,2020/8/5,41,单边幅度谱和双边幅度谱,4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱,2020/8/5,42,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有 的分量，其相邻两谱线的间隔是 ，脉冲周期T越长，谱线间隔越小。,周期矩形脉冲信号的频谱( ),2020/8/5,43,周期矩

12、形脉冲信号的频带宽度(带宽 ， ),周期矩形信号的谱线幅度按 的规律变化。 在 处，即 处， 包络为零，其相应的谱线亦等于零。,周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其信号能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失真条件下，只需传送频率较低的那些分量就足够表达原信号。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2020/8/5,44,物理意义： 在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,通常把 称为周期矩形脉冲信号 的有效频带宽度或有

13、效带宽，简称带宽。,2020/8/5,45,周期矩形脉冲信号的脉冲宽度与带宽、幅度频谱的关系,结论：脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2020/8/5,46,周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2020/8/5,47,非周期信号,结论：当 不变，T 增大，谱线间隔 减小，谱 线逐渐密集，幅度 减小。,连续频率，幅度,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2020/8/5,48,周期信号频谱的特点,离散性谱线是离散的而不是连续的，

14、谱线之间的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。,收敛性各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。,谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快； 若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。,2020/8/5,49,例：计算图示信号频谱在第一个零点内各分量的功率占总功率的百分比,解：,傅里叶系数：,第一个过零点在 n=5,第一个过零点内功率：,有：,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2020/8/5,50,求其傅里

15、叶级数。,例：单位冲激函数的间隔为T，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：,解：,T(t)是周期函数，求其傅里叶级数：,4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱,2020/8/5,51,4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱,可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0, 2, ,n,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T。,2020/8/5,52,频谱密度函数,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,2020/8/5,53,此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引入一个新的量“频谱密度函数”,设周期信号,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,则,2020/8/5,54,4

16、.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,2020/8/5,55,频谱函数与频谱密度函数的区别,（1）周期信号的频谱为离散的， 非周期信号的频谱密度为连续的。,（2）周期信号的频谱为Fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；,非周期信号的频谱为TFn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。,两者关系：,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,时域非周期频域连续,时域周期频域离散,2020/8/5,56,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,傅里叶反变换,2020/8/5,57,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,模,相位,实部,虚部,非周期信号可以分解为无数个虚指数信号的线性组

17、合，这些信号的频率是连续的，幅度为无穷小。,2020/8/5,58,例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。,解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为,由傅里叶正变换定义式，可得,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,非常重要的公式！,信号在时域有限，则在频域将无限延续,2020/8/5,59,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,单边指数信号,2020/8/5,60,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,2020/8/5,61,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,双边指数信号,2020/8/5,62,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度

18、相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位冲激函数,时域内的无限窄频域内的无限宽,2020/8/5,63,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,时域内的无限宽频域内的无限窄,2020/8/5,64,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位冲激函数导数的频谱,2020/8/5,65,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,符号函数的频谱,sgn函数不满足绝对可积条件，但它可以看作是奇双边指数函数f2(t)当0时的极限。,2020/8/5,66,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,2

19、020/8/5,67,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位阶跃信号,2020/8/5,68,傅里叶变换的性质 线性 奇偶性 对称性 尺度变换 时移特性 卷积定理 时域微分和积分 频域微分和积分,4.5 傅里叶变换的性质,2020/8/5,69,说明：和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,4.5 傅里叶变换的性质 线性,线性,例：,2020/8/5,70,奇偶性,4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性,2020/8/5,71,时域实偶频域实偶,时域实奇频域虚奇,4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性,2020/8/5,72,例：求取样函数Sa(t)的频谱函数.,解：已知,根据傅里叶变换的

20、线性性质,即,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,对称性,2020/8/5,73,根据傅里叶变换的对称性质，则有,即,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2020/8/5,74,例：求函数 t -1 的频谱函数.,解：已知,可得,则,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2020/8/5,75,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2020/8/5,76,尺度变换,4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换,2020/8/5,77,4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换,2020/8/5,78,时移特性,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2020/8/5,79,4.5 傅里叶变换的性质 时移加尺度变换,2020/8

21、/5,80,例：求下列所示三脉冲信号的频谱。,解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2020/8/5,81,其频谱如下：,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2020/8/5,82,频移特性,4.5 傅里叶变换的性质 频移特性,2020/8/5,83,4.5 傅里叶变换的性质 频移特性,2020/8/5,84,卷积定理,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。,2020/8/5,85,例:已知余弦脉冲信号,解：,利用卷积定理求其频谱。,把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号(t) 与周期余弦信号

22、相乘。,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,2020/8/5,86,时域,频域,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,2020/8/5,87,微分特性,4.5 傅里叶变换的性质 微分特性,2020/8/5,88,积分特性,4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2020/8/5,89,例：求下列截平斜变信号的频谱,解：利用积分特性求y(t)的频谱Y(j) 已知： y(t)的导数是矩形脉冲信号f(t),4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2020/8/5,90,根据积分特性求出y(t)的频谱Y (j),4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2020/8/5,91,解(a)：,(b)：,例：求图所示信号的

23、傅里叶变换,4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2020/8/5,92,4.5 傅里叶变换的性质综合运用,2020/8/5,93,4.5 傅里叶变换的性质综合运用,2020/8/5,94,小结：,非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的虚指数分量。 由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。 由于非周期信号的周期趋于无限大，因此它所包含的各频率分量的幅度趋于零。 非周期信号的频谱用频谱密度来表示。 周期信号其频谱为离散谱（傅里叶系数） ,非周期信号其频谱为连续谱（傅里叶变换） 周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续

24、谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。,4.5 傅里叶变换的性质,2020/8/5,95,一般非周期信号（能量信号）的Parseval定理,4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系,2020/8/5,96,Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。,4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系,2020/8/5,97,周期信号,非周期信号,周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有周期信号的傅里叶变换。,目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应

25、用。,4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱,傅里叶级数,傅里叶变换,FS,2020/8/5,98,4.7 周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换,虚指数信号,同理:,虚指数信号的频谱密度,2020/8/5,99,余弦信号及其频谱密度,4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,100,正弦信号及其频谱密度,4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,101,令周期信号f(t)的周期为T，角频率为=2f,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。,20

26、20/8/5,102,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,例：求周期为T，宽度为的矩形脉冲信号PT(t)的频谱密度函数,解：,PT(t)的的傅里叶系数：,2020/8/5,103,代入到上式中，得,周期矩形脉冲的傅里叶变换由位于的冲激函数所组成。,周期矩形脉冲的傅里叶变换是频谱密度，其在的幅度是：,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,104,求傅里叶变换。,例：单位冲激函数的间隔为T，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,解：,可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0, 2,

27、,n,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T,T(t)是周期函数，其傅里叶级数：,2020/8/5,105,求T(t)的傅里叶变换。,可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于=0, 2, ，n,频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于 。,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,106,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,107,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,108,例,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2020/8/5,109,4.8 LTI系统的频域分

28、析 基本概念,LTI系统的全响应零输入响应零状态响应 本节只研究零状态响应 时域分析法,即将 分解为无限个 之叠加。,即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加。,时域方法缺点：计算复杂。,2020/8/5,110,虚指数信号ejwt(-t)通过连续LTI系统的零状态响应,其中,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2020/8/5,111,任意非周期信号通过连续LTI系统的零状态响应,若信号f(t)的傅里叶变换存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即,由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yzs (t)。,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2

29、020/8/5,112,任意非周期信号通过连续系统的零状态响应,由积分特性,由均匀性,即,Yzs (jw),4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2020/8/5,113,幅度响应,相位响应,LTI系统把频谱为F(jw) 的输入改变成频谱为 H(jw) F(jw) 的响应，改变的规律完全由H(jw) 决定。,Yzs (jw)= H(jw) F(jw),4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性,H(jw)称为该系统的频率响应，定义为,2020/8/5,114,结论： (1) 在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应

30、再叠加的原则来处理，实质相同。 (2) 频域分析法与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。,物理意义：,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2020/8/5,115,解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t)， 求系统的频率响应H(jw),4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,116,例 已知某LTI系统的冲激响应为 h(t) = (e-t-e-2t) (t)，求系统的频率响应H(jw)。,

31、解： 利用H(jw)与h(t)的关系,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,117,频域阻抗,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,118,例 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压，电路的起始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。,解： RC电路的频域模型如图，,由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为,由电路的基本原理有,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,119,RC电路系统的幅度响应,随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号

32、通过该系统的损耗也就越大。,由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。,低通滤波器,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,120,利用傅里叶分析方法求解线性系统的零状态响应,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,121,例 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3f (t)+4 f(t)，系统的输入激励 f(t) = e-3t (t)，求系统的零状态响应yzs (t)。,解： 由于输入激励f(t)的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应yzs (t)

33、的频谱函数Yzs (jw)为,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,122,例：如图所示系统，已知条件如下，求输出响应。,解: (1)先求 x(t) 的傅里叶变换，已知,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,123,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,124,连续周期信号通过LTI系统的响应的频域分析,将周期为T的周期信号f(t) 用Fourier级数展开为,利用虚指数信号ejnt作用在系统上响应为,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,根据系统的线性特性，可得系统的零状态响应为,2020/8/5,125,例：某LTI系统频率响应

34、如图，求 f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)时的系统响应。,解法（1）：设输出 y(t)Yn,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,126,解法（2）：用傅里叶变换法,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,127,直流,基波,二次谐波,直流,基波,二次谐波,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2020/8/5,128,4.8 LTI系统的频域分析,优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。 不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法

35、求解。 （2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。 （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法：采用拉普拉斯变换,系统响应频域分析小结,2020/8/5,129,无失真：系统的响应与激励相比，波形无任何变化，即：仅在幅度因子或出现时间上有变化，称信号在传输过程中无失真。 失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,130,信号失真原因,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,131,线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。 非线性系统：由于非线性特性对所传

36、输信号产生非线性失真。非线性失真可能产生新的频率分量。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,132,信号的失真有正反两方面： 如果有意识地利用系统进行波形变换，则要求信号经系统必然产生失真。 如果要进行原信号的传输，则要求传输过程中信号失真最小，即要研究无失真传输的条件。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,133,线性系统无失真条件,波形无改变则称为无失真,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,134,信号通过系统时，谐波的相移与其频率成正比。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,带宽无限大,2020/8/5,135

37、,例：,基波,二次谐波,为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,136,群时延概念,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,137,特定波形的形成,实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形成某种特定波形。这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。,例：利用冲激信号作用于系统产生某种特定的波形的方法。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2020/8/5,138,理想滤波器的频率响应,滤波器是指能使信号的一部分频率通过(无失真传输)，而使另一部分频率通过很少的系统。,理想低通,理想

38、高通,理想带通,理想带阻,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2020/8/5,139,理想低通滤波器的频域特性,为截止频率(Cut off frequency),4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2020/8/5,140,理想低通滤波器的冲激响应,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2020/8/5,141,理想低通滤波器的冲激响应,分析：,1) h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。,原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。,减小失真方法：增加理想低通截频wc。 h(t)的主瓣宽度为2p/wc，

39、wc越小，失真越大。当wc 时，理想低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2020/8/5,142,理想低通滤波器的冲激响应,分析：,2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t) 作用时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。,3) h(t)在 t0 的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2020/8/5,143,取样、取样信号的概念,取样,利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”

40、一系列的离散样值fs(t) = f(t)s(t) 的过程。,经抽取后的一系列的离散信号fs(t) 。,取样信号fs(t)与取样函数Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 取样也称为“采样”或“抽样”。,取样信号,4.9 取样定理基本概念,2020/8/5,144,实现取样的原理及框图,取样原理：连续信号经取样成取样信号，再经量化、编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行上述逆过程，就可恢复出原连续信号。,取样,量化编码,连续信号,f(t),取样信号,数字信号,fs(t),取样脉冲,s(t),4.9 取样定理基本概念,2020/8/5,145,思考：,1.取样信号fs(t)的傅里叶变

41、换什么样？它和未经取样的原连续信号 f(t) 的傅里叶变换有什么联系？,2.连续信号被取样后，它是否保留了原信号 f(t) 的全部信息？,3.在什么条件下，可从取样信号 fs(t) 中无失真地恢复出原连续信号 f(t)？,4.9 取样定理基本概念,2020/8/5,146,4.9 取样定理基本概念,冲激取样(理想取样）取样脉冲 s(t) 是冲激序列,矩形脉冲取样(自然取样）取样脉冲s(t)是矩形,2020/8/5,147,设连续信号,取样脉冲信号,取样后信号,采用均匀取样，取样周期为Ts，取样频率为：,取样过程：取样脉冲序列s(t)与连续信号f(t)相乘。即：,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,取样信号的傅里叶变换,2020/8/5,148,s(t)是周期信号，其傅里叶变换,其中,是s(t)的傅里叶系数,根据频域卷积定理：,化简,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2020/8/5,149,冲激取样(理想取样）,若取样脉冲 s(t) 是冲激序列,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2020/8/5,150,得到冲激取样信号的频谱：,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2020/8/5,151,结论：,信