化工仪表及自动化第2章

1、化工仪表及自动化,第二章 过程特性及其数学模型,内容提要,化工过程的特点及其描述方法 对象数学模型的建立 建模目的 机理建模 实验建模 描述对象特性的参数 放大系数 时间常数 滞后时间,1,第一节 化工过程的特点及其描述方法,自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性有密切的关系。,研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，如下图所示。,输出变量输入变量通道 控制通道干扰通道,？,几个概念,2,图2-1 对象的输入输出量,第一节

2、化工过程的特点及其描述方法,对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型,3,第一节 化工过程的特点及其描述方法,一般是在工艺流程和设备尺寸等都确定的情况，研究对象的输入变量是如何影响输出变量的。,研究的目的是为了使所设计的控制系统达到更好的控制效果。,在产品规格和产量已确定的情况下，通过模型计算，确定设备的结构、尺寸、工艺流程和某些工艺条件。,（a）,（b）,（c）,用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学模型（c）不完全相同。,4,第一节 化工过程的特点及其描述方法,数学模型的表达形式分类,5,1.非参量模型,当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。非参量模

3、型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到。,特点,形象、清晰，比较容易看出其定性的特征,缺点,直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难,表达形式,对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示,第一节 化工过程的特点及其描述方法,当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。,2.参量模型,6,第一节 化工过程的特点及其描述方法,7,对于线性的集中参数对象,通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t）表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描

4、述,在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项可表示为,（2-1）,第一节 化工过程的特点及其描述方法,8,举例,一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为,或表示成,式中,（2-2）,（2-3）,上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。,第二节 对象数学模型的建立,一、建模目的,9,（1）控制系统的方案设计,（2）控制系统的调试和控制器参数的确定,（3）制定工业过程操作优化方案,（4）新型控制方案及控制算法的确定,（5）计算机仿真与过程培训系统,（6）设计工业过程的故障检测与诊断系统,第二节 对

5、象数学模型的建立,二、机理建模,10,根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。,第二节 对象数学模型的建立,二、机理建模,对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，不能适用。,11,第二节 对象数学模型的建立,举例,1.一阶对象,（1）水槽对象,对象物料蓄存量的变化率 单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物料,依据,12,第二节 对象数学模型的建立,13,（2

6、-4）,若变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比,（2-5）,将上式代入（2-4）式，移项,令,则,转到22页,图2-2 水槽对象,第二节 对象数学模型的建立,14,（2）RC电路,ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫定理,消去i,由于,或,图2-3 RC电路,第二节 对象数学模型的建立,2.积分对象,当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。,Q2为常数，变化量为0,说明，所示贮槽具有积分特性。,其中，A为贮槽横截面积,15,图2-4 积分对象,第二节 对象数学模型的建立,16,3.二阶对象,（1）串联水槽对象,假定输入、输出量变化很小的情况下，贮槽

7、的液位与输出流量具有线性关系。,假定每只贮槽的截面积都为A，则,转到26页,图2-5 串联水槽对象,第二节 对象数学模型的建立,消去Q12、Q2、h1,整理得,式中 为第一只贮槽的时间常数； 为第二只贮槽的时间常数； 为整个对象的放大系数。,17,第二节 对象数学模型的建立,18,（2）RC串联电路,根据基尔霍夫定律,整理得,图2-6 RC串联电路,第二节 对象数学模型的建立,三、实验建模,19,对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象上，加上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可以

8、用来表示对象的特性。,第二节 对象数学模型的建立,三、实验建模,定义：通过这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数 。,特点：把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上来测试和描述它的动态特性，不需要深入了解其内部机理 。,系统辨识,20,第二节 对象数学模型的建立,21,实验性能的测试方法,1. 阶跃反应曲线法,用实验的方法测取对象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。,图2-7 简单水槽对象,图2-8 水槽的阶跃反应曲线,简单水槽的动态特性,举例,第二节 对象数学模型的建立,22,2. 矩形脉冲法,当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值为A，到t1

9、时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称为矩形脉冲干扰。此外，还可以采用矩形脉冲波和正弦信号。,图2-9 矩形脉冲特性曲线,图2-10 矩形脉冲波信号,图2-11 正弦信号,第二节 对象数学模型的建立,混合建模,23,先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。,这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数，称为参数估计。,举例,以换热器建模为例，可以先列写出其热量平衡方程式，而其中的换热系数K值等可以通过实测的试验数据来确定。,途径,第三节 描述对象特性的参数,一

10、、放大系数K,对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入，而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。,24,第三节 描述对象特性的参数,25,图2-12 水槽液位的变化曲线,或,K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。,第三节 描述对象特性的参数,26,举例,以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量K的

11、影响,生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。,图2-13 一氧化碳变换过程示意图,图2-14 不同输入作用时的被控变量变化曲线,第三节 描述对象特性的参数,影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。,27,第三节 描述对象特性的参数,二、时间常数T,28,从大量的生产实践中发现，有的对象受到干

12、扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。,图1-15 不同时间常数对象的反应曲线,第三节 描述对象特性的参数,29,第三节 描述对象特性的参数,30,举例,简单水槽为例,由前面的推导可知,假定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1=A，如左图。,则函数表达式为,（2-33）,图2-16 反应曲线,第三节 描述对象特性的参数,从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（），这时上式可得：,或,对于简单水槽对象，K=RS，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当

13、阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。,（2-34）,31,第三节 描述对象特性的参数,32,将 t=T 代入式（2-33），得,（2-35）,将式（2-34）代入式（2-35），得,（2-36）,当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.2所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。,第三节 描述对象特性的参数,图2-17 不同时间常数下的反应曲线,T1T2T3T4,说明 时间常数大的对象（如T4) 对输入的反应较慢， 一般认为惯性较大。,33,第三节 描述对象特性的参数,34,在输入作

14、用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？,将式（2-33）对 t 求导，得,（2-37）,当 t =0,（2-38）,当 t 时，式（2-37）可得,（2-39）,第三节 描述对象特性的参数,图2-18 时间常数T的求法,由左下图所示，式（2-38）代表了曲线在起始点时切线的斜率，这条切线在新的稳定值h（）上截得的一段时间正好等于T。,由式（2-33），当 t =时，h = KA。当 t=3T时，代入式（2-33）得,（2-40）,从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所

15、需要的时间的一个重要参数。,结 论,35,第三节 描述对象特性的参数,三、滞后时间,定义,分类,对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。,滞 后 性 质,传递滞后,容量滞后,传递滞后又叫纯滞后，一般用0表示。0的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。,对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。,36,第三节 描述对象特性的参数,37,1. 传递滞后,显然，纯滞后时间0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：,（2-41）,溶解槽及其反应曲线,纯滞后时间,举例,第三节 描述对象特性的参数,

16、从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。,蒸汽直接加热器,当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间0后才开始变化。,注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。,38,39,图2-21 有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线,x为输入量，y（t）、 y（t）分别为无、有纯滞后时的输出量时,或,若无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述,（2-44）,则有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述,（2-45）

17、,第三节 描述对象特性的参数,第三节 描述对象特性的参数,40,一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。,举例,前面介绍过的两个水槽串联的二阶对象,将输出量h2用y表示，输入量Q1用x表示，则方程式可写为,假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。已知，二阶常系数微分方程式的解是,（2-46）,（2-47）,2. 容量滞后,第三节 描述对象特性的参数,由于对应的齐次方程式为,其特征方程为,求得特征根为,故齐次方程式的通解为,式中，C1、C2为决定于初始条件的待定系数。,（2-48）,（2-49）,（2-50）,41,第三节 描述对象特性的参数,42,式（2-46）的一个特解可以认为是稳定解， 由于输入xA，稳定时,将式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47） 可得,用初始条件y(0)=0， y(0)=0代入式（ 2-52 ） 可分别解得,图2-22 具有容量滞后对象的反应曲线,（2-51）,（2-52）,（2-53）,（2-54）,第三节 描述对象特性的参数,将上述两式代入式（2-52），可得,上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。由此式可知，在t=0时y（t）=0；在t=时，y（t）KA。y（t）是稳态值KA与两项衰减指数函数的代数和。,说明：输入量在作阶跃变化的瞬间，输出量变化的速度等于零，以后随