第四章　三角函数.ppt

1、第四章三角函数,.角的概念推广 .弧度制 .任意角的三角函数 .同角三角函数的基本关系式 .诱导公式 .两个角的和与差的正弦、余弦、正切公式 .倍角公式 .三角函数的图象和性质 .正弦型函数的图像和性质,.角的概念推广,在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的转向，顺时针方向和逆时针方向，习惯上，我们规定，按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角，当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角又常称为转角 射线绕端点旋转到的位置所成的角，记作，叫做的始边，叫做的终边以的始边，为终边的角记作，如

2、图（）所示， 当射线绕端点旋转时，施转量可以超过一个周角，形成任意大小的角，角的度数表示旋转量的大小，如图（），（）所示，,下一页,返回,.角的概念推广,如图所示，射线旋转到射线位置，接着再旋转到的位置，则（），这就是说各角和的旋转量等于各角旋转量之和，可直接看成和的和，一般地，可直接看成和的代数和，引入正、负角的概念后，角的减法运算都可转化为角的加法运算 表示以为始边，以为终边的角，显然，如果不指出旋转量的大小，它可以表示许多旋转量不同的角，但这些角彼此相差的整数倍，设（图（）则,下一页,返回,上一页,.角的概念推广,等，它们的始边和终边都分别相同，所有与角始边与终边相同的角构成的集合为：

3、今后，我们在直角坐标系中讨论角，通常使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，它的终边落在第几象限，就叫做第几象限角，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限,返回,上一页,.弧度制,把一圆周分成等份，则其中份所对的圆心角是度角，这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制，下面来介绍在数学和其他科学研究中常用的另一种度量角的制度弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度角 观察图中，两个大小不同的同心圆，显然同一圆心角所对弧长与半径都不相等，但它们的比值相同于是长为的弧所对的圆心角（正角）l/r（） 我们知道，圆周长， 因此周角 平角 直角,下一页,返回,.弧度制,但

4、平角又等于，于是可得到角度制与弧度制的换算关系：,返回,上一页,.任意角的三角函数,任意角的三角函数的定义 在初中，我们已学过锐角三角函数，如果是直角三角形的一个锐角，则,下一页,返回,.任意角的三角函数,已知角为任意角，如图所示，在角的终边上任取一点（，），点到原点的距离为（），那么我们把比值y/r, x/r, y/x, x/y, r/x, r/y分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，分别记作： 依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值与之对应，所以这六个对应法则都是以为自变量的函数，分别称为角的正弦函数、余弦函数、正切函数

5、、余切函数、正割函数、余割函数,下一页,返回,上一页,.任意角的三角函数,三角函数在各象限的符号 由三角函数的定义可知，角的六个三角函数的符号与角终边上点（，）的横坐标和纵坐标的符号有关，由此可确定各三角函数值在各象限的符号如图（）（）所示,返回,上一页,.同角三角函数的基本关系式,由三角函数的定义和勾股定理，可得： 这三个关系是三角函数三个最基本的关系式，当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这三个关系式和三角函数的定义，就可以求出这个角的其余三角函数值，此外，还可以用它们化简三角函数式或证明三角恒等式,返回,.诱导公式,角与（）的三角函数间的关系 在直角坐标系中，角与（）的终边相同，根据

6、三角函数的定义，它们的三角函数值相等即 利用上述公式（），我们可把绝对值大于的任一角的三角函数问题转化为研究绝对值小于角的三角函数问题,下一页,返回,.诱导公式,角与的三角函数间的关系 如图11所示，设单位圆与角、角的终边的交点分别为和容易看出，点和点关于轴对称，已知点的坐标是（，）于是，得 利用公式（），可用任意正角的三角函数表示负角的三角函数，从公式（）还可看出，余弦函数是偶函数，正弦函数、正切函数是奇函数,下一页,返回,上一页,.诱导公式,角与的三角函数间的关系 设角与的终边与单位圆分别交于点和（图（）（）容易看出，点与点关于原点对称，它们的对应坐标为互为相反数所以 公式（），（），（）

7、都叫做诱导公式,返回,上一页,.两个角的和与差的正弦、余弦、正切公式,两角和的正弦、余弦、正切公式（证明略） 两角差的正弦、余弦、正切公式（证明略）,返回,.倍角公式,在公式， ，中令就可得出相应的二倍角的三角函数公式： 有了二倍角三角函数公式，就可用单角三角函数表达二倍角的三角函数,返回,.三角函数的图象和性质,正弦函数的图象 函数的定义域是（，）先在区间，上作它的图象取自变量从至的一些值，求出函数的对应值，并把它们列成下表： 以表中每组值在直角坐标系中描出相应的点，并以平滑的曲线把它连结起来，就得到，上正弦函数的图象如图所示,下一页,返回,.三角函数的图象和性质,因为（）（），所以正弦函数

8、在，上的图象与在，上的图象完全一样我们把在，时的图象向左或向右依次平行移动个单位，就可以得到在定义域（，）内的图象（图）正弦函数的图象叫做正弦曲线 正弦函数的主要性质 （）有界性 （）周期性 （）奇偶性 （）单调性,返回,上一页,.正弦型函数的图像和性质,在物理和工程的许多问题中，经常会遇到形如（）的函数（其中、是常数）这种函数通常叫做正弦型函数下面通过例题来研究这类函数的性质和简图的作法 例作函数及/的简图 解：易知，函数及/的周期，作（，）时的函数的简图 列表：,下一页,返回,.正弦型函数的图像和性质,描点作图（图） 利用这类函数的周期性，可把上面的简图向左、向右连续平移，就可得出，及 1/2，的简图（图略）从图可以看出，函