第三章-一阶偏微分方程.ppt

1、化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering,第三章 一阶偏微分方程 1、特征线法 2、非线性波与追赶现象,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.1 一阶偏微分方程的定解问题 偏微分方程与常微分方程求解思路的不同 常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解 例，一阶PDE 通解,第三章一阶偏微分方程特征线法,初值问题（Cauchy问题） 初、边值问题（Riemann问题）,第三章一阶偏微分方程特

2、征线法,一般的一阶拟线性偏微分方程的问题,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.2 特征线法的几何原理 向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向 相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。,第三章一阶偏微分方程特征线法,第三章一阶偏微分方程特征线法,第三章一阶偏微分方程特征线法,因此，特征线法的求解思路是 用特性曲线来编织解曲面 1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线； 2、让该曲线通过初始曲线,第三章一阶偏微分方程特征线法,特征线方程

3、解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常数，由初始曲线 确定,第三章一阶偏微分方程特征线法,解曲面由以下双参变量形式给出 参变量s 沿特征曲线方向变化， 参变量 沿初始曲线方向变化。,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2.1 特征线方程 初始曲线,第三章一阶偏微分方程特征线法,解出 消去参变量,第三章一阶偏微分方程特征线法,以积分常数形式给出的特征线解 特征方程 通解 初始曲线限制 解曲面,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2.3 特征方程 通解 解曲面 由初值 得解,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.3 特征线法的物理意义 波 动物理量在空间的传播过程 特征线物理量的传播轨迹，沿该

4、轨迹的变化关系例1管道中的溶质输送问题,第三章一阶偏微分方程特征线法,特征线 初始曲线 解得,xvt,第三章一阶偏微分方程特征线法,图象矩形方波以速度v 传播,第三章一阶偏微分方程特征线法,x-t 平面的特征线及图解法,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2线性色谱问题 特征线,第三章一阶偏微分方程特征线法,x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解,第三章一阶偏微分方程特征线法,x-t 平面的特征线,第三章一阶偏微分方程特征线法,斜坡输入时的图象,第三章一阶偏微分方程特征线法,例3 有化学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数衰减 线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变

5、 特征线不相交,第三章一阶偏微分方程追赶现象,2 非线性波与追赶现象 1。追赶问题稀疏波 身高曲线 初始分布,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特征线 解得,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象 稀疏波,第三章一阶偏微分方程追赶现象,2。追赶问题激波 初始分布：前低后高 解得,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特点 追赶，特征线相交，不真实的多值分布， 非线性本征属性 原因：形成强间断激波，微分方程失效 问题：补充间断面上的关系,第三章一阶偏微分方程追赶现象,3。激波间断关系,第三章一阶偏微分方程追赶现象,激波间断关系 熵条件 处理含间断问题的原则：分段求解,第三章一

6、阶偏微分方程追赶现象,例1 含有激波的追赶问题 间断条件 初值,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程追赶现象,例2 非线性吸附反应器,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特征曲线 波速,第三章一阶偏微分方程追赶现象,激波间断条件 特征线光滑解,第三章一阶偏微分方程追赶现象,将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,3 化学剂段塞的色谱运动 问题,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,物理图象：前沿激波； 后缘中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,特征线,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,

7、解题思路 1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解； 2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,问题,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,特征线方程 初始曲线,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,1。运动初期 激波 稀疏波 平台区,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,2。运动后期 激波（浓度在变化） 稀疏波（给出激波浓度） 联立得到,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,激波轨迹 激波浓度 段塞宽度,第三章一阶偏微分方程小结,1、关于特征线法 几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P, Q, R )求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。 物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。,第三章一阶偏微分方程小结,2、关于非线性波动的概