n维向量与向量空间.ppt

1、第三章 n维向量与向量空间,第一节n维向量,第二节向量组的线性相关性,第三节向量组间的关系与极大线性无关组,第四节向量组的秩及其与矩阵的秩的关系,第五节向量空间,1 n维向量,用小写的粗黑体字母来表示向量 。,返回,上一页,下一页,数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。,n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也常看成n1矩阵。,设k和l为两个任意的常数， 为任意的n维向量，其中,返回,上一页,下一页,定义2 如果 和 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,n 就称这两个向量相等，记为 。,定义

2、3 向量 （a1+b1,a2+b2,an+bn） 称为 与 的和，记为 。称向量 （ka1,ka2,kan） 为 与k的数量乘积，简称数乘，记为 。,返回,上一页,下一页,定义4 分量全为零的向量 （0，0，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,-an） 称为 的负向量，记为 。,向量的减法定义为,向量的加法与数乘具有下列性质 ：,返回,上一页,下一页,满足（1）（8）的运算称为线性运算。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使,返回,上一页,下一页,2 向量组的线性相关性,当 为

3、列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵 ，使,返回,上一页,下一页,解 假设存在一组常数k1,k2,kn 使得,所以,即 k1=k2=kn=0,因此 线性关。,返回,上一页,下一页,例5 设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也 线性无关。,证 假设存在一组常数k1,k2,k3 使得,由 线性无关，故有,由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0,所以 线性无关。,返回,上一页,下一页,也可用矩阵形式表示：,返回,上一页,下一页,若所给向量均为行向量，则有,若所给向量均为列向量，则有,返回,上一页,下一页,定理1 向量组 （s2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能

4、由其他向量线性表出。,证 充分性：设 中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设,所以 线性相关。,必要性：如果 线性相关，就有不全为零的数k1,k2,ks，使,设k10,那么,即 能由 线性表出。,返回,上一页,下一页,例如，向量组,是线性相关的，因为,对于只有两个向量a，b的向量组，由定理可得，a， b线性相关的充分必要条件是a， b的对应分量成比例。,返回,上一页,下一页,定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表出，且表示式是唯一的。,证 由于 线性相关，就有不全为零的数k1,k2, kt,k，使,即 可由 线性表出。,由 线性无关有k0。（否则， 线性相关）

5、,返回,上一页,下一页,设,为任意两个表达式。,因此表示式是唯一的。,返回,上一页,下一页,定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。,设这个部分组为 。则有不全为零的数k1,k2, ,kr，使,证 设向量组 有一个部分组线性相关。,因此 也线性相关。,推论 含有零向量的向量组必线性相关。,返回,上一页,下一页,证 对任意的常数k1,k2,ks，,返回,上一页,下一页,上两式只是各分量的排列顺序不同，因此,当且仅当,所以 和 有相同的线性相关性。,返回,上一页,下一页,证 对列向量来证明定理。,返回,上一页,下一页,利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。,因此, 也线性相关,即

6、(1)式成立。,如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使,返回,上一页,下一页,推论 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行（列）向量组线性无关.,推论 n+1个n维向量必线性相关。,定理7 当mn时,m个n维向量必线性相关。,返回,上一页,下一页,定理6 设A是一个n阶方阵,则A的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是,定义7 如果向量组 中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组 可由 线性表出，如果两个向量组互相可以 线性表出，就称它们等价。,每一个向量组都可以经它自身线性表出。 同时，如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表出

7、。,返回,上一页,下一页,3 向量组间的关系与极大线性无关组,向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组 可以经向量组 线性表出。,如果,有,返回,上一页,下一页,向量组的等价具有下述性质：,(1)反身性：向量组 与它自己等价；,(2)对称性:如果向量组 与 等价，那么 也与 等价。,(3)传递性:如果向量组 与 等价，而向量组 又与 等价,那么 向量组 与 等价,返回,上一页,下一页,定理8 如果向量组 可由 线性表出且rs，那么 线性相关。,推论1 如果向量组 ，可由向量组 线性表出，且 线性无关，那么 。,推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。,返回,上

8、一页,下一页,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。,例10 在向量组中， 为它的一个极大线性无关组。,首先，由 与 的分量不成比例， 线性无关。,再添入 以后，由 可知所得部分组线性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。,返回,上一页,下一页,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。,向量组的极大线性无关组具有的性质：,性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。,性质

9、2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。,性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。,返回,上一页,下一页,定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。,如果向量组 能由向量组 线 性表出，那么 的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过 的秩。,定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。,推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。,返回,上一页,下一页,4 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系,返回,上一页,下一页,引理 设 是r个n维列向量 , 则 线性无关的充分必要条件是矩 阵

10、至少存在一个r阶子式不为零.,定理10 设A为 矩阵,则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.,矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩,矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 推论 矩阵A的行秩与列秩相等.,返回,上一页,下一页,例13 已知向量组 的秩为2,确定的值.,解 考察矩阵,由条件知 ,从而A的所有3阶子式均为0.,故由,5 向量空间,定义10 设V为n维向量的集合，如果V非空且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的 和常数k都有 就称集合V为一个向量空间。,例14 n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3维向量可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原点为起点的

11、有向线段的全体。,例15 n维零向量所形成的集合0构成一个向量空间。,返回,上一页,下一页,定义11 如果V1和V2都是向量空间且 ,就称V1是V2的子空间。,如果向量空间V没有基，就说V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量。,返回,上一页,下一页,如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。,返回,上一页,下一页,定义13 设 是r维向量空间V的一个基,则对于任一向量 ,有且仅有一组数 ,使,有序数组 称为 在基 下的坐标,记为 .,解 由,知 线性无关， 因此 是R3的一个基。,返回,上一页,下一页,且存在有限个