多元函数的概念二元函数的极限和连续性.ppt

1、一、多元函数的概念,二、二元函数的极限,三、二元函数的连续性,第九章 多元函数微分学,第一节 多元函数的概念 二元函数的极限和连续性,一、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,设有三个变量 x , y 和 z ,如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时.,变量 z 按照一定的规律 f ,总有确定的数值与它们对应，,则称 z 是 x , y 的二元函数，,记为,定义 1,自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .,其中 x, y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为,例 4,以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , ,

2、 xn)，,类似地，,可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ),多于一个自变量的函数统称为多元函数.,解,二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示.,2. 二元函数的定义域,围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.,连同边界在内的区域称闭区域，,如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.,求下列函数的定义域 D，,并画出 D 的图形：,应有,解,例 5,所以函数的定义域 D 是以 x = 2 , y = 3 为边界的矩形闭区域.,x,y,O,3,2,- 3,- 2,(2) 因为要使函数,应有,是有

3、界区域.,所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，,即 1 x2 + y2 4,x,y,2,1,O,有意义，,设D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成.,例 6,的不等式组来表示平面区域 D :,求形如,y = x,y = 1,x = 2,先做出区域 D 的图形，,直线 y = x , y = 1 交于点 (1 , 1).,y = x, y = 2 的交点为(2 , 2).,解,再将 D 投影到 x 轴上，,得到区间 1 , 2，,则区域 D 内任一点的横坐标 x ，,在 1 , 2 内任取一点 x ，,作平行于 y 轴的直线，,由图可知，,对于所给的 x , D 内对应的纵

4、坐标 y 满足：,因此区域 D 用形如 的不等式组表示为,若想把 D 用形如 的不等式组表示，,则将 D 投影到 y 轴上，,所以在 y 轴上得到区间 1 , 2.,因为直线 x = 2 与 y = x 的交点为 (2 , 2)，,在区间 1, 2 内任意取一点 y ,作平行于 x 轴的直线，,由图可知对于所给的 y ，,D 内对应点的横坐标 x 满足,故 D 用形如 的不等式组表示为,则称 A 为函数 z = f (x , y) 当 时的极限，,二、二元函数的极限,设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，,如果当点 P(x ,

5、 y)无限地接近于点 P0(x0 , y0)时，,记为,定义 2,恒有,例 8,令 u = x2 + y2 ，,有时可以转化成一元函数的极限问题.,二元函数的极限问题,解,例 9,当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，,解,考察函数,即当 y = k x ，,但是，当点( x , y )沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点(0, 0) 时，,而当点 (x, y) 沿 y 轴趋向于原点，,有,随着 k 的取值不同，,时，,且等于它在点 P0 处的函数值，,设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0) 的一个邻域内有定义，,如果当点 P(x , y) 趋向于点P

6、0(x0 , y0) 时，,函数 z = f(x , y) 的极限存在，,1. 二元函数的连续定义,三、二元函数的连续性,定义 3,则称函数 z = f(x, y) 在点 P0(x0, y0) 处连续.,因此， 可以改写成,函数 z = f ( x , y ) 的全增量，,即,设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0) 的一个邻域内有定义，,若当自变量 x , y 的增量 x , y 趋向于零时，,则称函数 z = f(x , y)在点(x0 , y0)处连续.,定义 4,对应的函数的全增量 z 也趋向于零，,即,所以 又可改写成：,如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 内各点都连续，,则称函数 z = f (x , y) 在区域 D 内连续.,2. 有界闭区域上连续函