2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理学案 理

1、2.12定积分和微积分基本定理整理知识1 .定积分的概念2 .定积分的几何意义3 .定积分的性质4 .微积分基本定理5 .定积分的应用(1)定积分与曲边梯形面积的关系阴影部分的面积为s6 .定积分应用的两个常用结论(1)曲边梯形在x轴上时，定积分值为正的曲边梯形在x轴下时，定积分值为负；位于x轴上方的曲边梯形和位于x轴下方的曲边梯形的面积相等时，定积分值为零(2)加速度相对于时间的积分是速度，速度相对于时间的积分是行程。诊断自检1 .概念思识(1)区间a，b中连续的曲线y=f(x )和用直线x=a，x=b(ab )，y=0包围的曲边梯形的面积y=f(x )如果是(f(x)dx0，则y=f(x

2、)、x=a、x=b以及x轴所包围的图形必定在x轴的下方。答案(1)(2)(3)。2 .教材的分化答案d(2) (选择A2-2P67T7)由直线y=3x和曲线y=x2包围的图形的面积为()A. B.9 C. D答案c解析由已知的联立直线和曲线方程得到了解或所包围的图形的面积为(3x-x2)dx=|=33-333=333=.所以选择c用小题目暖身答案b答案d问题型1定积分的订正(2017广州质检)定积分|x2-2x|dx=()A.5 B.6 C.7 D.8被积函数中包含绝对值可以表示为段函数来求积分.答案d解析|x2-2x|=|x2-2x|dx=(x2-2x)dx (-x2 2x)dx=| |=8

3、.因此，选择d。校正的积分可以转换为求积分的和答案本问题适用于转换法答案方法技巧求定积分的一般方法1 .微积分基本定理法：其一般步骤如下(1)将被积函数变形为幂函数、正弦函数、侑弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商(2)变形定积分用定积分特性而求出被积函数上述函数的定积分.(3)分别使用导出式找出对应的原函数(4)利用微积分的基本定理求各定积分的值(5)修正原定积分的值2 .用定积分的几何学意义求出：将求出的定积分转换为容易求出平面图形的面积，再进行做评估3 .用定积分的基本性质求出：对于绝对值函数、分段函数，可以利用定积分的基本性质将积分区间分解为几个部分进行求解冲关适合

4、训练如果(2014江西高考) f(x)=x2 2f(x)dxf(x)dx=()A.-1 B.- C. D.1答案b如果解析命令f(x)dx=m，则f(x)=x2 2m在f(x)dx=(x2 2m)dx=|=2m=m下，为了解决m=-选择b。如果S1=x2dx，S2=，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()在曲线y=x2上，如果阴影部分的面积与OAP的面积相等，则x0=_ _ _ _ _ _ _ .本问题应用方程式的思想答案角度3与其他知识的交叉命题(2014辽宁高考)正方形的四个顶点A(-1，-1)、B(1，-1)、c (1，1 )、a (-1，1 )分别在抛物线y=-x2上本问题

5、应用数形结合思想方法答案方法技巧1 .使用定积分求出平面图形面积的步骤(1)根据题意画图形(2)通过模式确定被积函数，求出升交点坐标，确定积分上下限.(3)用几个定积分的和来表示曲边梯形的面积(4)修正定积分，求出平面图形的面积2 .了解图案面积求残奥仪.解决这种问题的突破口是画画，一般是先画出其草图，然后确定积分的上下限，确定被积函数，从定积分求其面积，从已知条件找到关于残奥仪的方程式，求残奥仪的值3 .与概率相交的问题.要解决这样的问题，必须首先用定积分求出对应的平面图形的面积，然后用对应的概率公式进行修正.冲关适合训练1.(2018河北衡水中学三型)曲线y=2-x2，直线y=x和x轴包围

6、的封闭图形(图中阴影部分)的面积为()甲乙德国足球甲级联赛答案b2.(2018洛阳统一试验) |如果|x-5|dx=25，则(2x-1)n的二项展开式中的x2的系数为答案180f (x )=单倍，g (x )=成本。 f(x)=x 1，g(x)=x-1。 f(x)=x，g(x)=x2。这里，区间-1，1 中的正交函数的组数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案c答案a3.(2017和平区期末)物体a以v=3t2 1(m/s )的速度在一条直线l上移动，物体b在直线l上，并且在物体a之前5 m，按照v=10t(m/s )的速度和a在云同步上移动A.3 B.4 C.5 D.6答案c(2017江西

7、省联考) (2x ) dx=_ _ _ _ _ _ _ _ .答案1解析dx表示以原点为中心、以1为半径的圆面积。另外2xdx=x2=1，(2x )dx=2xdx dx=1。基础送分高速刷练习一、选择题(2017凉山州模拟) dx=()甲级联赛。答案b分析dx=|=-=因此选择b。答案c3.(2017抚州期)曲线y=直线y=x-1和直线x=1包围的封闭图形的面积为()A. B. C.4-2ln 2 D.2ln 2-答案d解析描绘的3个升交点分别是(1，0 )，(1，2 )，(2，1 )，因此，由曲线y=、直线y=x-1及直线x=1包围闭合图形的面积因为S=|=2ln 2-2 2 -1=2ln

8、2-，所以选择d。如果(2018南昌一型) dx=3 ln 2(a1)，则a的值为()A.2 B.3 C.4 D.6答案a从题意可以看出，分析是dx=(x2 ln x)|=a2 ln a-1=3 ln 2，解是a=2。5.(2017郑州质量检验)已知等比数列an，a6 a8=对于dx，a8(a4 2a6 a8)的值为()A.2 B.42 C.82 D.162答案d因为分析是a6 a8=dx=42=4，所以a8(a42 a6a8)=a8a42 a6a8a=a2a6a8a=(a6)如果已知=2，则(x2-2x)dx=()A. B.- C. D.-答案c设a=sinxdx，则在6的展开式中常数项为(

9、)A.-160 B.160 C.-20 D.20答案a分析在问题的意义上是a=-cosx|=-(cos- cos0)=2，6=6的展开式的一般项tr 1=c(2)6-rr=c26-r。8 .如该图所示，当将抛物线y=-x2 1的顶点投影为a、与x轴正轴的升交点投影为b、将由抛物线和两坐标轴正轴包围的区域投影为m、并随机将点p投影到m内时，点p落入AOB内的概率为()甲乙丙丁。答案c分析中，由于第一象限内抛物线和坐标轴包围的区域的面积为(-x21 ) dx=(-x3x )|=AOB的面积为S=11=，所以p点落入AOB内的概率为=.9.(2018枣庄模拟)一辆汽车变速直线运动，时刻t的速度为v(

10、t)=2 sint(t的单位： h，v的单位： km/h )，它在0t1之间a.3 -操作系统1 b.3操作系统1c.1操作系统1 d.1 -操作系统1答案a因为解析是v(t)=2 sint0，所以这辆车行驶的路程s=v (t ) dt=(2Sint ) dt=(2t-cost )=(2- cos1)。由曲线y=sinx，y=cosx和直线x=0，x=包围的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积为()甲组联赛B.C.二号驱逐舰答案d二、填海问题答案12.(2017南开区二型)曲线y=x2，y=包围的封闭图形的面积为答案如果是m1的话，f(m)=dx的最小值就是答案-1解析f(m)=dx=|=m

11、 -54-5=-1，只有在m=2的情况下等号成立。14 .由(2017山西大学中模式)曲线y=2sinx(0x)和直线y=1包围的封闭图形的面积为_。答案2-三、解答问题15.(2017阳东县校级月考)如图所示，通过点a (6，4 )设曲线f(x)=的切线l。(1)求切线l的方程式(2)求出由切线l、x轴以及曲线f(x)=包围的闭图形的面积s。解(1)f(x)=，切线l的斜率k=f(6)=、切线l的方程是y-4=(x-6 )，即x-2y 2=0。将f(x)=0设为x=2，如果将y=0代入x-2y 2=0，则为x=-2，封闭图形的面积16 .在区间 0，1 中曲线y=x2 .在该区间中确定t的值，使得图中的阴影部分的面积S1和S2的和最小化，从而获得最小值。解面积S1等于边的长度为t和t2的矩形面积去除曲线y=x2和x轴、直线x=t包围的面积，即S1=tt2-x2dx=t3。S2的面积等于曲线y