2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理(一)学案 新人教B版选修2-2

1、1.4.2微积分基本定理(一)明目标、知重点1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分1微积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dxS下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.情境导学从前

2、面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)x3非常简单，但直接用定积分的定义计算x3dx的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？探究点一微积分基本定理思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是yy(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)y(t)设这个物体在时间段a，b内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是yy(t)知：sy(b)y(a)，通过求定积分的几何意义，可得sv(t)dty(t)dt，所以

3、v(t)dty(t)dty(b)y(a)其中v(t)y(t)小结(1)如果f(x)在区间a，b上可积，且F(x)f(x)，则f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理(2)运用微积分基本定理求定积分f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F(x)f(x)的F(x)思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F(x)f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，F(x)cF(x)cf(x)不影响，因为f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a)例1计算下列定积分：(1)dx；(2)(2x)dx；(

4、3)(cos xex)dx.解(1)因为(ln x)，所以dxln x|ln 2ln 1ln 2.(2)因为(x2)2x，()，所以(2x)dx2xdxdxx2|(91)(1).(3)(cos xex)dxcos xdxexdxsin x|ex|1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限跟踪训练1计算下列定积分：(1)(x1)5dx；(3)dx.解(1)因为(x1)5，所以(x1)5dx(21)6(11)6.(2)因为sin3xco

5、s x，所以sin4sin40.(3)令f(x)，取F(x)ln xln(x1)ln ，则F(x).所以dx()dxln .探究点二分段函数的定积分例2已知函数f(x)先画出函数图象，再求这个函数在0,4上的定积分解图象如图1(2)(40)7.反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数跟踪训练2设f(x)求f(x)dx.解f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3|(sin xx)|sin 1.探究点三定积分的应用例3计算下列定积分：sin xdx，sin xdx，sin xdx.由计算结果你能发现什

6、么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论解因为(cos x)sin x，所以sin xdx(cos x)|(cos )(cos 0)2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos )2；sin xdx(cos x)|(cos 2)(cos 0)0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积反思与感悟求平面图形面积的步骤：(1)画函数的图象，联立

7、方程组求出曲线的交点坐标(2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积跟踪训练3求曲线ysin x与直线x，x，y0所围图形的面积(如图所示)解所求面积为S|sin x|dx0sin xdxsin xdxsin xdx12(1)4.1定积分(2xex)dx的值为()Ae2 Be1Ce De1答案C解析(2xex)dx(x2ex)|e.故选C.2若(2x)dx3ln 2，则a的值是()A5 B4 C3 D2答案D解析(2x)dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.3(x2x)dx_.答案解析(x2x)dxx2dxxdx|.4已知f(x)，计算f(x)dx.解取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以即f(x)dx21.呈重点、现规律1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分