人教版高一数学必修一同步课件：2.2.1（第2课时）对数的运算

1、第2课时 对数的运算,一、对数的运算性质 1.前提条件,a0,且a1,M0,N0,2.运算性质 (1)loga(MN)=_. (2)Loga =_. (3)logaMn=_.,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM(nR),判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( ) (2)logaxlogay=loga(x+y).( ) (3)loga(-2)2=2loga(-2).( ) 提示：(1)正确.由对数的运算性质(1)(2)可知正确. (2)错误.由对数的运算性质(1)知其不符合性质的形式，故不正确. (3)错误.loga(-2)2=

2、loga22=2loga2. 答案：(1) (2) (3),二、对数的换底公式 思考：换底公式的作用是什么？ 提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数.,a0,且a1,b0,c0,且c1,【知识点拨】 1.对数的运算性质(1)的推广 对于性质(1),可以推广到若干个正因数的积: loga(M1M2M3Mn)=logaM1+logaM2+logaMn(a0,且a1,Mi0,i=1,2,n).,2.对数运算性质的两个注意点 (1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数 为正”，即a0,a1,M0,N0.若去掉此条件,性质不一定 成立，如log3( )log3(-8)-lo

3、g3(-3).,(2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： logaM+logaN=loga(MN)(a0,a1,M0,N0),如 lg2+lg5=lg10=1； nlogaM=logaMn(a0,a1,M0,nR),如2log23=log232； logaM-logaN=loga (a0,a1,M0,N0),如 lg3-lg2=lg,3.对数换底公式的证明,4.关于换底公式的两个常见结论 (1)logablogba=1. (2)logambn= logab. 其中a0，且a1，b0,且b1,mR,nR,m0.,类型 一 对数运算性质的应用 【典型例题】 1.(2013武汉高一检测)若

4、lgxlgya，则lg( )3lg( )3 等于( ) A.3a B. C.3a-2 D.a 2.计算： (1)2log210log20.04_. (2) _.,3.已知log23=a，log25=b，求下列各式的值. (1)log20.6. (2)log2 (3) 【解题探究】1.根据哪些对数运算性质，可以把本题中所求 对数式与已知等式联系起来？ 2.形如nlogaM的代数式可逆用对数运算的哪条性质？同底的 对数相加减应如何逆用对数的运算性质？ 3.题3中对数的底数都是2，真数情况较复杂，真数如何变形 才可以用对数的运算性质？,探究提示： 1.先用logaMn=nlogaM，再用loga =

5、logaM-logaN，可将lg( )3 化为3(lgxlg2)，可将lg( )3化为3(lgylg2). 2.形如nlogaM的代数式可逆用logaMn=nlogaM.同底的对数相加、减可以逆用对数的运算性质化为积、商的对数. 3.为了用对数的运算性质简化，先要把对数进行如下变形： 即真数的位置出现2，3，5才可以利用已知条件.,【解析】1.选A.lg( )3lg( )3 3(lg lg ) 3(lgxlg2)(lgylg2)3(lgxlgy)3a. 2.(1)2log210log20.04log2(1000.04)log242. (2) 答案：(1)2 (2)1,3.(1)log20.6=

6、log2 =log23-log25=a-b. (2) (3),【拓展提升】底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行,(2)两种常用方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) (3)注意事项 对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=lg10=1”解题. 准确应用以下结论： loga1=0,logaa=1, =N(a0,且a1,N0).,【变式训练】计算：(1)lg14-2lg

7、+lg7-lg18. (2) (3),【解析】(1)方法一：lg14-2lg +lg7-lg18 =lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(322) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0. 方法二：lg14-2lg +lg7-lg18 =lg14-lg( )2+lg7-lg18= =lg1=0.,(2) (3),类型 二 换底公式 【典型例题】 1.(2013重庆高一检测)式子 的值为( ) A. B. C.2 D.3 2.已知2x5y，则 的值为_ 3.已知log189a，18b5，试用a，b表示log3645.,【解题探究】1.题1中分子和分母中的对

8、数底数不同，如何将其化为同底的对数？ 2.为了把题2中x，y表示出来，可以对已知等式作如何处理或变形？ 3.比较题3中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用换底公式应换为以什么数为底？,探究提示： 1.可以用换底公式将分子中的对数化为以2为底的对数，也可 以用 = logab化为同底的对数. 2.可以令2x5yk(k0)，化指数式为对数式，也可以两边 取对数. 3.可换为以18为底的对数，也可以化为常用对数.,【解析】1.选B.方法一： 方法二：,2.方法一：令2x5yk(k0)， 则xlog2k，ylog5k， 方法二：2x5y, 两边取以2为底的对数得log22x=log25y, xlog

9、22=ylog25, 答案：,3.方法一：18b5，log185b， 于是 方法二：18b5，log185b. 于是,方法三：log189a，18b5， lg9alg18，lg5blg18. ,【互动探究】若将题3的条件改为“log32=a，3b=10”，应如 何解答？ 【解析】3b=10，log310=b.又log32=a, log35=log310-log32=b-a, ,【拓展提升】 1.利用换底公式化简求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数. (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用. (3)换底公式的正用与逆用. (4)恰当应用换底公式的两个常用结论.,2.利用换底公

10、式计算、化简、求值的思路,【变式训练】设x，y，z均为正数，且3x4y6z.求证： 【解题指南】先令3x4y6zk，再化指数式为对数式，最 后由换底公式所得结论(即logablogba=1)和对数的运算性 质证明.,【证明】设3x4y6zk， 因为x，y，z均为正数，所以k1. 所以 所以 即,类型 三 对数运算的综合应用和实际应用 【典型例题】 1.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的 质量约是原来的75%，估计约经过_年，该物质的剩余质 量是原来的 (结果保留1位有效数字)？(lg20.3010， lg30.4771) 2.方程log4(3x-1)=log4(x-1)+log

11、4(x+3)的解为_. 3.已知lg(x2y)lg(xy)lg2lgxlgy，求 的值,【解题探究】1.设物质的质量原来为单位“1”，则经过x年，该物质的剩余质量如何表示？ 2.若logaf(x)=logag(x)，则f(x)与g(x)的关系如何？ 3.由题3的已知条件可以得到哪些关于x与y的等量关系和不等关系？,探究提示： 1.经过x年，该物质的剩余质量可以表示为0.75x. 2.f(x)=g(x)且f(x)0,g(x)0. 3.由已知条件可以得到x2y，xy，x，y都大于0，且 (x2y)(xy)2xy.,【解析】1.假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的 根 据题意得：0.75x 故估计

12、约经过4年，该物质的剩余质量是原来的 答案：4,2.原方程可化为3x-1=(x-1)(x+3)，即x2-x-2=0， 解得x=2或x=-1， x=-1使真数3x-1和x-1小于0， 故方程的解是x=2. 答案：x=2,3.由已知条件得 即 整理得 x2y0， 2.,【拓展提升】 1.简单的对数方程及其解法,2.解对数应用题的步骤,【变式训练】若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则 (lg )2的值等于_. 【解析】由题意可知lga+lgb=2,lgalgb= (lg )2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb =4-2=2. 答案：2 【误区警示】本题在

13、求解过程中，因想不到“lga-lgb”同 “lga+lgb”及“lgalgb”的等价互化，而无法求解.,【易错误区】忽视对数运算中的隐含条件而出错 【典例】(2013南阳高一检测)作为对数运算法则： lg(ab)lgalgb(a0，b0)是不正确的但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg2lg2.那么，对于所有使lg(ab)lgalgb(a0，b0)成立的a，b应满足的函数表达式af(b)为_,【解析】lg(ab)lgalgb，lg(ab)lg(ab)， abab，a 又a0，b0， 解得b1，a (b1) 答案：a (b1),【类题试解】已知2lg(x-2y)=lgx+lgy，则 的

14、值为_.,【解析】由已知条件得 2. 2lg(x-2y)=lgx+lgy,lg(x-2y)2=lg(xy)， (x-2y)2=xy,x2-5xy+4y2=0,( )2-5 +4=0， =4或 =1(舍去)， 答案：4,【误区警示】,【防范措施】 1.注意真数的取值范围 在解与对数有关的问题时，一定要考虑真数的取值范围，以 防出现疏漏.例如，本例中的a,b,a+b都在真数上，一定要确 保它们都大于0. 2.注意变量之间的关联关系 多个变量出现在同一个关系式中，变量的取值范围会受到相 互限制，如本例中求b的取值范围时，不仅要满足b0，而且 要满足a 0.,1.已知a0且a1,则loga2+loga =( ) A.0 B. C.1 D.2 【解析】选A.,2.log38log23( ) A.2 B.3 C.4 D.9 【解析】选B.,3.已知alog32，那么log382log36用a表示为( ) A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1 【解析】选A.由log382