《Ch9排队论》PPT课件

1、Queuing theory,第九章 排队论,运筹学 Operations Research,9.1 排队论的基本概念 9.2 排队系统常用分布 9.3 单服务台模型M/M/1 9.4 多服务台模型M/M/s 9.5 其它服务时间分布模型 9.6 排队系统的优化,9.1 排队论的基本概念,2020年7月24日星期五,9.1.1 排队系统的描述,排队系统的例子,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,2020年7月24日星期五,排队的过程可表示为：,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,20

2、20年7月24日星期五,根据服务台的数量及排队方式，排队系统可以分为 (1)单服务台单队,(2)多服务台单队,图9-2单服务台单队系统,顾客到达,服务台,顾客离去,服务台,服务台,图9-3 多服务台单队系统,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,2020年7月24日星期五,(3)多队多服务台,(4)多服务台串联服务,图9-4 多服务台多队系统,图9-5 多服务台串联系统,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,顾客到达,服务台,顾客离去,服务台,服务台,顾客到达,顾客离去,2020年7月2

3、4日星期五,9.1.2排队系统的基本组成,排队系统由输入过程、服务规则和服务台三个部分组成,这是指要求服务的顾客按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也称之为顾客流。 （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。 （2）顾客到达的形式。这是描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达，还是成批到达。 （3）顾客流的概率分布，或称顾客相继到达的时间间隔分布。这是首先需要确定的指标。,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,1.输入过程,2020年7月24日星期五,(1)先到先服务（FCFS，First Come First

4、Serve）； (2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）； (3)有优先权的服务（PR，Priority） (4)随机服务（SIRO，Service in Random Order）,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,2.排队规则,(1)等待制 指顾客到达系统后，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务，一直等到服务完毕以后才离去 ；,(2)损失制 指当顾客到达系统时，所有服务台都已被占用，顾客不愿等待而离开系统。,2020年7月24日星期五,(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是

5、指允许排队，但又不允许队列无限长下去。大体有以下三种： 队长有限。当等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过时间T时，顾客将自动离去，并不再回来。 逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限。,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,2020年7月24日星期五,(1)服务台数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成形式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并联式、多队多服务台并联式、单队多服务台串联式等等

6、，如图9-2到9-5所示； (2)服务方式 指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服务和成批服务两种； (3)服务时间的分布 在多数情况下，对某一个顾客的服务时间是一随机变量，与顾客到达的时间间隔分布一样，服务时间的分布有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布等等。,3.服务台,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,服务台可以从以下三个方面来描述：,2020年7月24日星期五,9.1.3 排队系统的主要数量指标、记号和符号,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,（1）队长和队列长(排队长) 队长

7、是指系统中的顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和） 队列长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和队列长一般都是随机变量 （2）等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。从顾客到达时刻起到他接受服务完止这段时间称为逗留时间。两种时间都是随机变量 （3）忙期和闲期 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务再次成为空闲止的这段时间，服务机构连续忙的时间。这是个随机变量。与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。,1. 主要数量指标,2020年7月24日星期五,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing

8、theory,2. 记号,时刻 t 系统中的顾客数（又称为系统的状态），即队长； 时刻 t 系统中排队的顾客数，即列队长； 时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间； 时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间,L：平均队长，即稳态系统任一时刻顾客数的期望值； Lq：平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值； W：平均逗留时间，即在任一时刻进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值； Wq：平均等待时间，即在任一时刻进入稳态系统的顾客等待时间的期望值；,在平稳状态下:,2020年7月24日星期五,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theor

9、y,：顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数； 1/：平均到达时间间隔； ：平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数； 1/：平均服务时间； s ：系统中服务台的个数； ：服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，一般有/(s)； N：稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）； U：任一顾客在稳态系统中的逗留时间； Q：任一顾客在稳态系统中的等待时间； PnPN=n：稳态系统任一时刻状态为n的概率；特别当n=0时，PnP0，即稳态系统所有服务台全部空闲的概率； e：有效平均到达率，即期望每单位时间内来到系统（包括未进入系统）的概率。,2020年7月24日星期五,3.排

10、队系统的符号,一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式为： XYZ：ABC 或 X/Y/Z/A/B/C 其中 X 顾客到达的概率分布，可取M、D、Ek、G等； Y 服务时间的概率分布，可取M、D、Ek 、G等； Z 服务台个数，取正整数； A 排队系统的最大容量，可取正整数或； B 顾客源的最大容量，可取正整数或； C 排队规则，可取FCFS、LCFS等。 例如 M/M/1：/FCFS 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负指数分布，一个服务台，排队系统和顾客源的容量都是无限，实行先到先服务的一个服务系统。,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuin

11、g theory,2020年7月24日星期五,下一节：排队系统常用分布,9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory,9.2 排队系统常用分布,2020年7月24日星期五,9.2.1 负指数分布,随机变量T服从负指数分布，其分布函数为,密度函数为,T的期望值为,T的方差为,9.2 排队系统常用分布,2020年7月24日星期五,负指数分布具有性质,(1)密度函数,对时间t严格递减,(2)无记忆性或马尔柯夫性，即,(3)当顾客到达过程是泊松流时，顾客相继到达的间隔时间T 必服从负指数分布，这个性质将在定理9.1中予以证明。,若随机变量X的概率密度为,9

12、.2.2泊松分布,则称X服从参数为的泊松(Poisson)分布，记为XP()。其均值和方差分别为,9.2 排队系统常用分布,2020年7月24日星期五,【定义9.1】对于随机过程 ,若满足,1.Poisson流的定义,9.2 顾客到达和服务的时间分布,(1)独立增量性(无后效性) 即对任意n个参数 增量 相互独立 或者说不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。,(2)增量平稳性 即在长度为 t 的时间区间内恰好到达k个顾客的概率仅与区间长度t有关，而与区间起始点无关,(3)普遍性 即当t充分小时，有,称 为Poisson过程，N(t)服从泊松分布,2020年7月24日星期五,2排队系统与泊松过

13、程,9.2 顾客到达和服务的时间分布,若N(t)为时间区间0,t）(t0)内到达系统的顾客数，则N(t)是一个随机变量，且 N(t)|t(0,T)为一个随机过程。若该随机过程满足,（1）在不相重叠的区间内，顾客的到达数是相互独立的； （2）在时间区间t,t+t）内有顾客的到达数只与区间长度t有关，而与区间起始点t无关； （3）对于充分小的t，在时间区间t,t+t）内有2个或2个以上的顾客到达的概率极小，以致于可以忽略,则认为顾客到达系统的过程是泊松过程，且,2020年7月24日星期五,9.2 顾客到达和服务的时间分布,如果一个随机变量，概率分布与时间t有关，则称这个随机变量为一随机过程，排队系

14、统中顾客到达的个数就是一个随机过程。,【定理9.1】在排队系统中，如果到达的顾客数服从以t为参数的泊松分布，则顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布.,证明参看教材。,由定理9.1可以看出，“到达的顾客数是一个以为参数的泊松流”与“顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布”两个事实是等价的,2020年7月24日星期五,【定理9.2】设X1,X2,，Xk ,是k个互相独立的，具有相同参数的负指数分布随机变量，则随机变量,服从k阶爱尔朗(Erlang)分布，X的密度函数为,记为,或简记为,随机变量X的均值和方差分别为：,9.2 排队系统常用分布,2020年7月24日星期五,为单位时间

15、平均到达顾客数目，亦称平均到达率。顾客到达服从泊松分布，亦称顾客到达形成泊松流（最简单流）。,例1：一台仪表由1000个元件组成，每个元件在一年工作时间内发生故障的概率为0.001，并且与其它元件的状况无关，求在一年内不少于2个元件发生故障的概率。 解： 设X=元件发生故障个数，由于n=1000 P=0.001很小，可视发生故障服从泊松分布，其中=nP=1 因此,9.2 顾客到达和服务的时间分布,2020年7月24日星期五,下一节： 单服务台模型,9.2 顾客到达和服务的时间分布,9.3单服务台模型M/M/1,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,9.3.1基本模型,设单位时间到达

16、系统的顾客数为 ，单位时间被服务完的顾客数为。由于是单服务台，且顾客源无限，因此，在各种状态的情况下，系统的“出生率”为，系统的“死亡率”为。系统在稳态情况下的状态转移如图9-6所示,图9-6,根据以上状态转移图，可以得出如下平衡方程,(91),(92),1 系统状态概率Pn(t)的计算,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,由(91)和(92)可以递推求解P1，P2，Pn，得到,(93),(94),表示平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,【例9.1】高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆

17、小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求 (1)收费处空闲的概率； (2)收费处忙的概率； (3)系统中分别有1，2，3辆车的概率。,【解】根据题意, =150辆/小时, 1/=15秒=1/240（小时/辆）,即240（辆/小时）。/=150/240=5/8，则有 (1)系统空闲的概率为：P0=1=1(5/8)=3/8=0.375 (2)系统忙的概率为：1-P0=5/8=0.625 (3)系统中有1辆车的概率为：P1=(1)=0.6250.375=0.234 系统中有2辆车的概率为：P2= 2(1)= 0.2340.625=0.146 系统中有3辆车的概率为：P3=3(1)=0

18、.1460.625=0.091,2020年7月24日星期五,2. 系统的运行指标,(1)系统中的平均顾客数（系统中顾客数的期望值）L,即队长为系统中顾客数的期望值（系统中各种状态的加权平均值）,(2)队列中的平均顾客数,9.3 单服务台模型,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,(3)顾客在系统中的平均逗留时间W,(98),(4)顾客在队列中的平均逗留时间 Wq,(99),(910),Little公式:,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,【例9.2】轻轨进站口售票处设有一个售票窗口，乘客到达服从泊松分布，平均到达速率为200人/小时，售票时间服从负指数分布，平均售票

19、时间为15秒/人。求L、Lq、W和Wq。 【解】根据题意，=200人/小时，=240人/小时，=5/6。,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,9.3.2有限队列模型,如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某一时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。系统状态转移如图9-7,图97,1.系统状态概率的计算,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,由状态转移图9-7，建立系统概率平衡方程如下,(911),(912),(913),2020年7月24日星期五,93 单服务台模型,(914),(915),2020年7

20、月24日星期五,9.3 单服务台模型,根据式912和913可以导出系统的各个指标，对于1，有,(9-16),(1)系统中的平均顾客数L,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,(917),(2)队列中的平均顾客数Lq,(918),e 称为有效到达率，即单位时间内到达并能进入队列的平均顾客数。e 称为有效服务强度,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,(3)顾客在系统中的平均逗留时间W,(9-19),(4)顾客在队列中的平均逗留时间,(9-20),2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,【例9.3】咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来

21、咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求： (1)咨询者到达不用等待就可咨询的概率 (2)咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人数 (3)咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及平均等待的时间 (4)咨询者到达后因客满而离去的概率 (5)增加一个咨询工作人员可以减少的顾客损失率,【解】N=4+1=5，=4人/小时，=6人/小时，=2/3,(1),2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,(2),(3),(4),因客满而离去的概率为0.048,(5) 当N=6

22、时,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,即增加一个咨询工作人员可以减少顾客损失率1.6%,9.3.3 有限顾客源模型,设顾客总数为m。当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中，如此循环往复。由于顾客源的数量有限，因此队列的长度也是有限的，并且队列的长度必定小于顾客源总数 。,有限源系统顾客的平均到达速率：,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,0,1,2,n-1,n,n+1,m-1,m,图9-8 有限顾客源模型状态转移图,状态转移图如图9-8,由图9-8得到系统稳态概率平衡方程组,1系统状态概率的计算,(921),2020年7月24日星期五,9.

23、3 单服务台模型,用递推方法解该方程组，得到,(922),(923),2 有限源系统的运行指标,在求得系统中出现顾客数的概率后，即可求得系统的运行指标(推导过程略),2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,(924),(925),(926),(927),在机器维修问题中，L是待检修及正在检修的平均机器数，而,表示正常运行的平均机器数。,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,【例9.4】某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天（8小时）平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求： (1)修理工忙的概率(记为

24、Pb)； (2)五台机器都出故障的概率； (3)出故障的平均台数； (4)平均停工时间； (5)平均等待修理时间； (6)评价这个系统的运行情况,【解】一天为一个单位时间。认为一天内来修理的机器数平均为4台，修理工一天平均修理机器数为5台。m=5，=4，=5，=0.8,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,由计算结果看出，系统的修理工几乎没有空闲时间，机器的停工时间是平均运行时间的三倍，系统的服务效率很低,2020年7月24日星期五,9.3 单服务台模型,作业：教材P216 T 1，2，3，4，5，6,下一节： 9.4多服务台模型,9.4多服务台模型M/M/s,2020年7月24日

25、星期五,9.4多服务台模型,9.4.1基本模型,规定各服务台工作相互独立且服务速率相同,系统的平均服务速率为 s,令,0,1,2,s-1,s,s+1,n-1,n,图9-9 基本模型状态转移图,系统的状态转移图9-9。,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,稳态概率方程,(928),(929),(930),(931),(932),(933),2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,顾客需要等待 (系统已有s个顾客)的概率,与单服务台系统的方法类似，有,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,【例9.5】银行办理个人储蓄业务有三个窗口，顾客到达服从泊松流，到达速率为0.9

26、人分，办理业务时间服从负指数分布，每个窗口的平均服务速率为0.4人分。顾客到达后取得一个排队号，依次由空闲窗口按号码顺序办理储蓄业务。求： (1)所有窗口都空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均等待时间及逗留时间； (4)顾客到达后必须等待的概率。,(1)所有窗口都空闲的概率，即求P0,2020年7月24日星期五,(2)平均队长，先求Lq ,再求L,(3)平均等待时间和平均逗留时间，即求Wq和W的值,(4)顾客到达后必须等待，即n3,9.4多服务台模型,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,9.4.2有限队列模型,0,1,2,s-1,s,s+1,N-1,N,图9-10 有限队列模

27、型状态转移图,设系统容量为N(Ns)，当系统中的顾客数nN时，到达的顾客进入系统；当nN时，到达的顾客就被拒绝。设顾客到达的速率为，每个服务台服务的速率为，,系统的状态转移图见图9-10,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,稳定状态的状态概率转移方程为：,(938),(939),(940),(941),(942),(943),(944),2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,(945),系统的运行指标:,(946),(947),(948),(949),2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,【例9.6】某旅馆有10个床位，旅客到达服从泊松流，平均速率为6人天，旅客

28、平均逗留时间为2天，求： (1)旅馆客满的概率； (2) 每天客房平均占用数.,旅馆10个床位全满的概率为0.3019,平均占用8.377个床位。客房占用率为83.77%。,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,9.4.3有限顾客源模型,设顾客源为有限数m，服务台个数为s，且ms。这个模型的典型例子是机器维修问题，机器数量为m台，修理工数量为s人,状态概率：,式中：,(951),(950),2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,运行指标,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,【例9.7】车间有5台机器，每台机器的故障率为1次小时，有2个修理工负责修理这5台机器，工

29、作效率相同，为4台小时。求： (1)等待修理的平均机器数； (2)等待修理及正在修理的平均机器数； (3)每小时发生故障的平均机器数； (4)平均等待修理的时间； (5)平均停工时间。,【解】这是一个 模型,2020年7月24日星期五,9.4多服务台模型,P1=0.394， P2=0.197 ,P3=0.074， P4=0.018， P5=0.002,由式(951)可以计算得到,2020年7月24日星期五,作业：教材P216 T 7，8,下一节：其它服务时间分布模型,9.4多服务台模型,9.5其它服务时间分布模型,2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,9.5.1一般分布模型

30、,G表示服务时间T的分布为任意的概率分布，但已知期望值E(T)和方差Var(T)。 该模型被称为“单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型”,在稳态情况下，当 时，可以证明下列PK (PollaczekKhint chine)公式成立：,其他指标为（推导过程略）：,(957),(958),2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,【例9.8】某维修站有一技工修理出故障机器。现已知机器按泊松流发生故障，平均故障率为每小时5台，机器排队有两种类型，一种修理时间为9分钟，另一种是12分钟，资料统计知，1/3故障需要修理12分钟。试求此维修站的运行指标。 【解】服务时间可以看成是二项分

31、布,利用PK公式求得,2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,9.5.2定长分布模型,模型符号中的D表示服务时间为固定长度，即为常数.该模型被称为单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型.,因此，只需将模型中 的方差改为0，即可得到定长排队模型的各个指标。,2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,【解】服务时间定长，该服务系统是一个,排队系统，其中：,代入式(958)计算得,【例9.9】某汽车冲洗站有一套自动冲洗设备，冲洗每辆汽车所需时间为6分钟，到此冲洗站来冲洗汽车的到达过程服从泊松分布，每小时平均到达6辆，求该排队系统的有关运行指标。,2020年7月24

32、日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,9.5.3爱尔朗分布模型,在此模型中，每一个顾客必须依次经过k个服务站，接受k次服务后才构成一个完整的服务过程。该模型假设每个服务站的服务时间Ti服务相同的负指数分布（参数为k）。则总的服务时间,服从k阶爱尔朗（Erlang）分布。其他条件与标准的M/M/1模型相同。,此模型的如下数量指标,(959),(960),(961),2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,(962),(963),在M/EK/1/FCFS排队系统中 ,而当K时，m/EK/1/排队系统可认为为m/D/1排队系统。在m/D/1排队系统中,2020年7月24日星期五,

33、9.8.2 M/D/1: / /FCFS,在m/D/1排队系统中,2020年7月24日星期五,9.5 其它服务时间分布模型,【例9.10】一个质量检查员平均每小时收到2件送来检验的样品，每件样品要依次完成5项检验才能判定是否合格。据统计，每项检验所需时间的期望值都是4分钟，每项检验的时间和送检产品的到达时间间隔都为负指数分布。求检验过程的各项指标。,【解】该检验系统是一个 排队系统，且,2020年7月24日星期五,作业：教材P216 T9，10，11,下一节：排队系统的优化,9.5 其它服务时间分布模型,9.6排队系统的优化,2020年7月24日星期五,9.6排队系统的优化,排队系统的费用包含

34、以下两个方面：一个是服务费用，它是服务水平的递增函数；另一个是顾客等待的机会损失（费用），它是服务水平的递减函数。两者的总和呈一条U形曲线，如图9-11。,服务水平,费用,等待费用,服务费用,总费用,如图9-11,9.6.1排队系统经济分析,2020年7月24日星期五,9.6排队系统的优化,排队系统的优化问题常常分为两类：一类称之为系统的静态最优设计，目的在于使设备达到最大效益，或者说，在保证一定服务质量指标的前提下，要求机构最为经济；另一类叫做系统动态最优运营，是指一个给定排队系统，如何运营可使某个目标函数得到最优。归纳起来，排队系统常见的优化问题有：,（1）确定最优服务率 （2）确定最佳服

35、务台数量 （3）选择最为合适的服务规则 （4）或是确定上述几个量的最佳组合,2020年7月24日星期五,式中：Cs 为 =1 时单位时间内的服务费用；,Cw为每个顾客在系统中逗留单位时间的费用,稳态下取目标函数z为单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和的期望值最小：,M/M/1/:/FCFS,9.6排队系统的优化,9.6.2最优服务水平,的确定,1.基本模型,（965）,(966),2020年7月24日星期五,9.6排队系统的优化,【例9.11】某地欲兴建一座港口码头，但只有一个装卸船只的位置，现要求设计装卸能力，装卸能力用每天装卸的船只数表示。已知单位装卸能力每天平均生产成本为2000元，

36、船只到港后若不能及时装卸，停留一天损失运输费1500元。预计船只的平均到达率为3只/天。设船只到达的时间间隔和装卸时间都服从负指数分布。问港口装卸能力为多大时，每天的总支出最少？,【解】 Cs=2000元/天；Cw=1500元/天； =3只/天。由式(9.66)有,即最优装卸能力为4.5只/天。,2020年7月24日星期五,2.有限队列模型的最优服务率M/M/1/:N/FCFS,单位时间内达到系统的平均顾客数：,设服务一个顾客服务机构的收入为G，单位时间收入的期望值是,给定N及Cs/G 求出* ,或给定Cs/G 及求N* 。,PN为被拒绝的概率，1-PN为能接受服务的概率.,取纯利润最大:,9